Empirische-Regel-Rechner

einfache Standardabweichung: Mittelwert ± 1σ · doppelte: Mittelwert ± 2σ · dreifache: Mittelwert ± 3σ · Anteil innerhalb von kσ = 2Φ(k) − 1, wobei Φ die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung ist

Mittelwert

die Mitte der Verteilung. Die sechs Grenzen liegen symmetrisch um ihn, eine Änderung des Mittelwerts verschiebt also die ganze Gruppe von Bereichen, während sich an den drei Anteilen nichts rührt

Standardabweichung

die Streuung der Verteilung und zugleich die Maßeinheit dieser Regel – das Einfache, das Doppelte und das Dreifache beziehen sich alle darauf. Sie muss positiv sein: Eine Normalverteilung mit einer Standardabweichung von null fällt zu einem Punkt zusammen, und für ihn hat die Regel nichts zu sagen

kσ

das Vielfache der Standardabweichung, also 1, 2 oder 3. Der Anteil innerhalb eines Bereichs hängt allein von k ab, und genau das ist der Grund, warum die drei Prozentzahlen für jeden Mittelwert und jede Standardabweichung dieselben sind

2Φ(k) − 1

der genaue Anteil zwischen −kσ und +kσ. Die empirische Regel verkürzt ihn zum Merken auf 68 / 95 / 99,7, und diese Seite druckt den unverkürzten Wert – also das, wofür die Verkürzung steht

Der Nutzen liegt darin, aus einem Mittelwert und einer Standardabweichung Bereiche zu machen, auf die man zeigen kann. Die empirische Regel tritt meist als ein Satz auf, und ein Satz über Prozentzahlen lässt sich schlecht auf einen konkreten Messwert anwenden; als „alles über 130 liegt mehr als zwei Standardabweichungen darüber“ ist er sofort brauchbar. Zugleich ist sie eine schnelle Prüfung der Standardabweichung selbst: Wenn der Bereich einer Standardabweichung um den Mittelwert unmöglich etwa 68 % der Daten enthalten kann – weil er eine harte Untergrenze überschreitet oder die Daten erkennbar schief liegen –, dann ist das Normalmodell für diese Daten falsch, und diese Prüfung kostet nichts. Diese Seite setzt durchgehend voraus, dass die Daten normalverteilt sind: Sie passt nichts an und sagt Ihnen nicht, ob diese Annahme trägt.

1. Mittelwert 100, Standardabweichung 15

   1. Einfache Standardabweichung: 100 − 15 = 85 bis 100 + 15 = 115
   2. Doppelte Standardabweichung: 100 − 30 = 70 bis 100 + 30 = 130
   3. Dreifache Standardabweichung: 100 − 45 = 55 bis 100 + 45 = 145
   4. Die drei Anteile brauchen Mittelwert und Standardabweichung überhaupt nicht: 68,27 % innerhalb des Einfachen, 95,45 % innerhalb des Doppelten, 99,73 % innerhalb des Dreifachen

   Die drei Prozentzahlen sind in jeder Rechnung dieser Seite dieselben, und das ist der Inhalt der Regel und kein Zufall dieser Zahlen. Eine Normalverteilung ist durch ihre Mitte und ihre Streuung vollständig bestimmt, und der Teil, der innerhalb des k-fachen der Streuung um die Mitte liegt, hängt allein von k ab – Mittelwert und Standardabweichung verschieben also nur die Grenzen und rühren die Anteile nie an. Sollte ein Ergebnis einmal einen Anteil zeigen, der sich mit dem Mittelwert bewegt, wäre der Anteil aus den Grenzen statt aus dem Vielfachen der Streuung berechnet; sie stehen in diesen drei Zeilen, damit genau das sofort auffällt.

2. Standardnormalverteilung: Mittelwert 0, Standardabweichung 1

   1. Eine Standardabweichung um die 0 reicht von −1 bis 1
   2. Zwei reichen von −2 bis 2, drei von −3 bis 3
   3. Die drei Anteile bleiben unverändert bei 68,27 %, 95,45 % und 99,73 %

   Bei Mittelwert 0 und Standardabweichung 1 sind die Grenzen selbst die Vielfachen der Streuung, und damit ist dies die Fassung der Regel, die man sich merkt: −1, −2, −3 und ihre positiven Gegenstücke sind die z-Werte, und jede andere Normalverteilung ist nur diese eine, gestreckt und verschoben. Nebenbei zeigt diese Zeile, warum die Anteile nicht von der Eingabe abhängen können – die Grenzen sind hier wörtlich die Werte von k, und die Prozentzahlen daneben sind genau dieselben wie bei einem Mittelwert von 100.

3. Kleine Standardabweichung: Mittelwert 500, Standardabweichung 0,5

   1. Eine Standardabweichung ist eine halbe Einheit, der erste Bereich reicht also von 499,5 bis 500,5
   2. Zwei reichen von 499 bis 501, drei von 498,5 bis 501,5
   3. Die drei Anteile sind weiterhin 68,27 %, 95,45 % und 99,73 %

   Diese Regel hat nichts damit zu tun, ob die Standardabweichung eine ganze Zahl oder eine große Zahl ist, und bei einer sehr schmalen Verteilung sind die Bereiche nicht mehr auf den ersten Blick zu erkennen. Genau so werden Toleranzbänder in der Fertigung geschrieben – ein Zielwert plus eine deutlich kleinere Streuung –, und dort hilft die Zeile mit den Grenzen und nicht die mit den Prozentzahlen. Die Zeile erinnert außerdem daran, dass drei Standardabweichungen fast alles abdecken, aber nur, wenn die Verteilung wirklich normal ist. Hier ist dieser Bereich in absoluten Zahlen sehr schmal, und jeder reale Prozess mit schwereren Rändern wird weit mehr als 0,27 % außerhalb lassen.

4. Negativer Mittelwert: −2,5 bei Standardabweichung 1,25

   1. Eine Standardabweichung um −2,5 reicht von −3,75 bis −1,25
   2. Zwei reichen von −5 bis 0 – die obere Grenze fällt genau auf die 0
   3. Drei reichen von −6,25 bis 1,25 und überschreiten damit die 0
   4. Die drei Anteile bleiben unverändert bei 68,27 %, 95,45 % und 99,73 %

   Ein negativer Mittelwert ist der Normalfall – Temperaturabweichungen, logarithmische Renditen, die Differenz zweier Messungen –, und dies ist die Zeile, in der die Bereiche die 0 überschreiten, eine Umsetzung mit vertauschtem Vorzeichen kann also in allen positiven Beispielen richtig aussehen. Hier fällt die obere Grenze der zwei Standardabweichungen genau auf die 0, und solche Übereinstimmungen lassen eine falsche Antwort wie Absicht aussehen; deshalb ist diese Zeile als Test festgeschrieben und nicht dem Zufall überlassen. Die Standardabweichung bleibt positiv, gleichgültig ob der Mittelwert positiv oder negativ ist: Sie ist eine Breite und keine Koordinate, ein Vorzeichen hat nur der Mittelwert.

Diese Regel gehört der Normalverteilung und keiner anderen Verteilung. Sie wird oft als Tatsache darüber wiedergegeben, wie Daten allgemein aussehen, ist aber die Eigenschaft einer bestimmten Kurve – anders geformte Verteilungen haben beim Einfachen, Doppelten und Dreifachen der Standardabweichung andere Anteile, und bei schiefen Verteilungen können die Anteile auf den beiden Seiten sehr verschieden ausfallen. Diese Seite setzt die Normalverteilung also voraus und prüft sie nicht, und die Bedeutung des Ergebnisses hängt ganz an dieser Annahme. Drei weitere Einschränkungen: Die Standardabweichung muss positiv sein, bei null fällt die Verteilung zu einem Punkt zusammen, und die Frage, wie viel in einigen Zehnteln einer Standardabweichung liegt, hat dann keine brauchbare Antwort – die Seite lehnt diese Eingabe deshalb lieber ab, als sich für eine der beiden möglichen Antworten zu entscheiden. Die drei Anteile sind exakte Werte der Normalverteilung und weichen deshalb in der zweiten Dezimalstelle von den üblicherweise zitierten 68, 95 und 99,7 ab; die Seite rundet sie nicht, um mit dem Namen übereinzustimmen, denn die Verkürzung ist nur eine Abkürzung und der gedruckte Wert das, wofür sie steht. Und schließlich passt diese Seite keine Verteilung an Ihre Daten an und prüft nicht, ob eine passt: Sie nimmt Mittelwert und Standardabweichung als gegeben und berichtet, was daraus folgt.

Warum steht auf dieser Seite 68,27 %, während die Regel 68 % heißt?

Weil die 68 im Namen eine gerundete Zahl ist und 68,27 % der Wert, auf den sie rundet. Der Zweck der empirischen Regel ist, sich drei Zahlen zu merken, und „etwa 68 %, 95 %, 99,7 %“ ist die Fassung, die die meisten im Kopf behalten; die genauen Anteile einer Normalverteilung innerhalb der einfachen, doppelten und dreifachen Standardabweichung sind dagegen 68,27 %, 95,45 % und 99,73 %, und diese Seite rechnet die letzteren aus, statt die ersteren zu zitieren. Soll mit einem der Werte weitergerechnet werden, ist der ungerundete zu nehmen – eine gerundete Zahl als Eingabe verschiebt das Ergebnis, und hinterher lässt sich die Abweichung nicht mehr auf die Rundung zurückführen.

Ändern sich die drei Prozentzahlen, wenn ich Mittelwert oder Standardabweichung ändere?

Nein, und darin besteht der ganze Inhalt dieser Regel. Eine Normalverteilung ist durch ihre Mitte und ihre Streuung bestimmt, und der Teil, der innerhalb des k-fachen der Streuung um die Mitte liegt, hängt allein von k ab – also von 1, 2 oder 3. Ein anderer Mittelwert verschiebt die sechs Grenzen, eine andere Standardabweichung zieht sie auseinander oder zusammen, und die drei Anteile bleiben unberührt. Bewegt sich in einem Ergebnis ein Anteil mit der Eingabe, dann wurde der Anteil aus den Grenzen statt aus dem Vielfachen der Streuung berechnet; das ist ein Fehler in der Umsetzung und keine Eigenschaft der Daten.

Sind die Anteile, die diese Bereiche angeben, tatsächlich Wahrscheinlichkeiten?

Ja, sie sind als der Anteil der Verteilung zu lesen. Wenn eine Größe wirklich der Normalverteilung mit dem eingegebenen Mittelwert und der eingegebenen Standardabweichung folgt, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein entnommener Wert in einen dieser Bereiche fällt, genau der zugehörige Anteil; der Bereich hat die Aufgabe, „wie viele Standardabweichungen“ in die Einheit zu übersetzen, mit der Sie tatsächlich arbeiten, damit sich der Satz auf einen konkreten Wert anwenden lässt. Es ist keine Aussage über eine vorliegende Stichprobe: Eine Verteilung kann 68 % ihrer Wahrscheinlichkeit in einem Bereich unterbringen, während der Anteil der gerade vorliegenden Daten darin eine andere Zahl ist – diese Seite hat keine Daten, sondern nur die beiden eingegebenen Parameter.

Woran erkennt man, ob die Normalverteilung das richtige Modell ist?

Diese Seite kann die Frage nicht beantworten, weil sie keine Daten sieht. Sie liefert aber eine schnelle Prüfung: Wenn der Bereich einer Standardabweichung um den Mittelwert unmöglich etwa zwei Drittel der Werte enthalten kann – weil er eine harte Unter- oder Obergrenze überschreitet, weil die Werte Zählwerte sind und nicht negativ werden können, oder weil die Verteilung erkennbar schief liegt –, dann führt die Normalverteilungsannahme zu echten Abweichungen, und die Prozentzahlen auf dieser Seite beschreiben eine Kurve, der die Daten nicht folgen. Um die Frage ordentlich zu beantworten, sind üblicherweise ein Histogramm oder ein Normalwahrscheinlichkeitsdiagramm nötig; die Arithmetik hier steht hinter dieser Antwort und ersetzt sie nicht.

Warum darf die Standardabweichung nicht 0 sein?

Weil eine Normalverteilung mit einer Standardabweichung von null zu einem Punkt zusammengefallen ist und die Regel dort ihren Sinn verliert. Alle Werte liegen dann exakt auf dem Mittelwert, die Bereiche einer, zweier und dreier Standardabweichungen haben also alle die Breite null, und auf die Frage, wie viel der Verteilung sie abdecken, gibt es zwei vertretbare Antworten – alles, weil jeder Wert auf dem Mittelwert liegt, oder nichts, weil der Bereich keine Breite hat –, ohne einen Grund, zwischen ihnen zu wählen. Statt sich stillschweigend für eine zu entscheiden, lehnt die Seite diese Eingabe ab und weist darauf hin, dass die Standardabweichung positiv sein muss. Kommt bei einer echten Rechnung eine Standardabweichung von 0 heraus, steckt fast immer nur ein einziger Beobachtungswert oder ein Eingabefehler dahinter und keine solche Verteilung.

Ist das dasselbe wie die Seite, die Wahrscheinlichkeiten aus einem z-Wert berechnet?

Es sind zwei Eingänge in dieselbe Normalverteilung. Die Seite für den z-Wert nimmt einen konkreten Zahlenwert und sagt, wo er liegt und wie groß die Wahrscheinlichkeit unterhalb von ihm ist; diese Seite nimmt Mittelwert und Standardabweichung und breitet die drei Bereiche der Standardabweichungen samt ihrer Anteile aus. Der Unterschied liegt in der Richtung der Frage – einmal geht sie von einem Messwert aus, einmal von der Regel selbst. Die Eingaben sind absichtlich gleich gehalten, Mittelwert und Standardabweichung stehen in denselben beiden Feldern, ein Wechsel zwischen den Seiten erfordert also kein neues Ausfüllen; und sie können für dieselbe Verteilung nicht zu unterschiedlichen Aussagen kommen, weil beide auf derselben Rechnung beruhen.

• Standardabweichung — DWDS, Digitales Wörterbuch der deutschen Sprache: der Terminus, der auf dieser Seite die Maßeinheit der Regel abgibt — Berlin-Brandenburgische Akademie der Wissenschaften
• Mittelwert — DWDS: die Bezeichnung für die Mitte der Verteilung, um die die sechs Grenzen liegen — Berlin-Brandenburgische Akademie der Wissenschaften
• Normalverteilung — DWDS: die Verteilung, deren Eigenschaft die empirische Regel ist, und die einzige, für die die drei Anteile gelten — Berlin-Brandenburgische Akademie der Wissenschaften
• 68-95-997 Rule — MathWorld: the rule stated as «about 68 % / 95 % / 99.7 %», the more precise probabilities behind those figures, and the caveat that the rule holds for the normal distribution only and is not a general statement about arbitrary distributions — Wolfram MathWorld
• 6.2 Using the Normal Distribution — Introductory Statistics 2e: working with the normal distribution in the units of the data, which is what the six boundaries on this page are — OpenStax (Rice University)