Satz-von-Bayes-Rechner

P(A | E) = P(E | A) · P(A) / [ P(E | A) · P(A) + P(E | ¬A) · P(¬A) ]

P(A)

die A-priori-Wahrscheinlichkeit, als Prozentzahl einzugeben – die Einschätzung, bevor der Befund vorliegt. Ihr Gewicht ist größer, als die meisten erwarten: Ist sie klein, braucht es sehr starke Belege, um sie zu bewegen

P(E | A)

die Wahrscheinlichkeit des Befunds, wenn der Sachverhalt zutrifft. Auf einen Test übertragen ist das die Sensitivität, also der Teil der echten Fälle, der erkannt wird

P(E | ¬A)

die Wahrscheinlichkeit desselben Befunds, wenn der Sachverhalt nicht zutrifft. Auf einen Test übertragen die Falsch-Positiv-Rate; ist sie nicht klein, geht der Schaden vor allem von diesem Posten aus

P(¬A)

die Wahrscheinlichkeit, dass der Sachverhalt nicht zutrifft, also 100 % minus A-priori-Wahrscheinlichkeit. Der Nenner gewichtet die beiden Wege, auf denen der Befund entstehen kann, mit der Häufigkeit des jeweiligen Falls

P(E)

die Wahrscheinlichkeit des Befunds, gleichgültig ob der Sachverhalt zutrifft oder nicht – der Anteil in der Gesamtheit, bei dem dieser Befund auftritt. Das ist der Nenner des Bruchs; das Panel gibt ihn getrennt aus, weil ein kleiner Wert genau der Grund dafür ist, dass die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit weit wandert

P(A | E)

die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit, also die Einschätzung nach dem Befund. Das Panel gibt zugleich ihre Gegenwahrscheinlichkeit aus, weil der Satz „der Test ist positiv, und trotzdem sind es 84 % Wahrscheinlichkeit dagegen“ das Ergebnis meist besser erklärt als die Zahl allein

Der Satz von Bayes gehört überall dort hin, wo ein Befund gegen die Frage gelesen werden muss, wie häufig das eigentlich Gemeinte ist: Reihenuntersuchungen in einer Bevölkerung mit niedriger Prävalenz, ein Spamfilter, der ein einzelnes Wort sieht, die Diagnoseprüfung bei einer seltenen Störung, und jeder Moment, in dem ein positiver Befund als Beweis genommen wird. Er taugt auch für die umgekehrte Frage – wie gut ein Test sein muss, damit ein positives Ergebnis etwas bedeutet –, und die Antwort darauf nützt meist mehr als die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit unter einer bestimmten A-priori-Wahrscheinlichkeit. Verwenden Sie ihn, wenn Sie eine A-priori-Wahrscheinlichkeit haben, die Sie vertreten können; wissen Sie überhaupt nicht, welche Sie ansetzen sollen, dann ist die ehrliche Antwort, dass Ihr Urteil von dieser Unwissenheit bestimmt wird – das Panel zeigt Ihnen, wie stark.

1. Prävalenz 1 %, Sensitivität 90 %, Falsch-Positiv-Rate 5 %

   1. Auf 10.000 Personen gerechnet: etwa 100 sind betroffen, 9.900 nicht
   2. Von den 100 Betroffenen werden 90 % erkannt, das sind rund 90 echte Positive
   3. Von den 9.900 Nichtbetroffenen werden ebenfalls 5 % positiv getestet, das sind rund 495 falsche Positive
   4. Der positive Befund stammt damit aus 90 + 495 = 585 Personen, und 90 / 585 = 15,38 %

   Diese Seite ist um genau diese Zeile herum gebaut, und der Grund steht in den Schritten. Zählt man in Personen nach, tritt der Mechanismus offen zutage: Die Falsch-Positiv-Rate wird mit einer Gruppe multipliziert, die neunundneunzigmal so groß ist wie die der Betroffenen, und erzeugt deshalb fünfeinhalbmal so viele Positive wie die Sensitivität. Die 15,38 % besagen nicht, dass der Test schlecht wäre – 90 % Sensitivität ist gut –, sondern dass der Sachverhalt so selten ist, dass die Fehler die Treffer überwiegen. Die Gegenwahrscheinlichkeit von 84,62 % sagt dasselbe von der anderen Seite, und die Verschiebung um 14,38 Prozentpunkte ist das, was ein Test dieser Güte an dieser Stelle tatsächlich wert ist.

2. Prävalenz 2 %, Test mit 99 % Sensitivität und 1 % Falsch-Positiv-Rate

   1. Auf 10.000 Personen gerechnet: etwa 200 sind betroffen, 9.800 nicht
   2. Von den 200 Betroffenen werden 99 % erkannt: rund 198 echte Positive
   3. Von den 9.800 Nichtbetroffenen werden 1 % positiv getestet: rund 98 falsche Positive
   4. Positiv sind damit 198 + 98 = 296 Personen, und 198 / 296 = 66,89 %

   Ein Test, der nur einmal unter hundert danebenliegt, liefert trotzdem ein Drittel falsche Positive, weil die Gruppe, gegen die er antritt, neunundvierzigmal so groß ist. Die beiden Stellschrauben sind dabei nicht gegeneinander austauschbar, und das lässt sich an derselben Ausgangslage nachrechnen: Senkt man die Falsch-Positiv-Rate von 1 % auf 0,1 %, steigt die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit auf 95,28 %; hebt man stattdessen die Sensitivität von 99 % auf 99,9 %, kommt man nur auf 67,09 %. Die Sensitivität bestimmt, wie viele echte Fälle erkannt werden, die Falsch-Positiv-Rate, wie tief diese Treffer im Rauschen liegen – und an einer kleinen Verbesserung der zweiten Stelle hängt hier weit mehr als an einer großen der ersten. Diese Zeile vor einer Investition in einen besseren Test zu rechnen ist die billigste Art, das zu sehen.

3. Ein Befund, der in die andere Richtung zeigt

   1. Ausgegangen wird von einer ausgeglichenen Lage: 50 % dafür, 50 % dagegen
   2. Dieser Befund ist bei Nichtzutreffen achtzehnmal so wahrscheinlich wie bei Zutreffen (90 % gegen 5 %)
   3. Der Nenner ist 0,05 × 0,5 + 0,9 × 0,5 = 0,475, der Befund ist also keineswegs selten
   4. Die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit ist 0,025 / 0,475 = 5,26 %, das sind 44,74 Prozentpunkte weniger

   Die negative Verschiebung ist die Stelle, an der man kurz innehalten sollte, und sie ist der Grund, warum die Einheit Prozentpunkt überhaupt existiert. Von 50 % auf 5,26 % sind es 44,74 Prozentpunkte weniger; es ist nicht ein Rückgang um 44,74 %, damit läge das Ergebnis bei etwa 27,6 %. Die Verschiebung als relative Änderung zu lesen ist die häufigste Art, dieses Panel falsch zu zitieren, und das Vorzeichen sagt bereits, in welche Richtung der Befund zeigt. Bemerkenswert ist außerdem, dass dieser Befund mit 47,5 % gar nicht selten ist und trotzdem viel Information trägt: Die Information steckt im Verhältnis der beiden bedingten Wahrscheinlichkeiten zueinander und nicht in der Seltenheit des Befunds.

Die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit ist nur so verlässlich wie die drei Zahlen, die Sie eingeben, und die A-priori-Wahrscheinlichkeit ist die, die am leichtesten aus dem Bauch kommt. Ist der Sachverhalt selten, wird das Ergebnis von der A-priori-Wahrscheinlichkeit und der Falsch-Positiv-Rate bestimmt; jede optimistische Annahme an diesen beiden Stellen liefert dann eine selbstsichere und falsche Antwort, und das Panel kann nicht erkennen, dass diese A-priori-Wahrscheinlichkeit geraten war. Zwei weitere Hinweise. Die beiden bedingten Wahrscheinlichkeiten werden hier als exakt behandelt, eine Sensitivität aus einer kleinen Validierungsstudie wird also mit einer Genauigkeit verwendet, die sie nicht hat. Und gerechnet wird für einen Befund, der genau einmal abgelesen wird: Derselbe Test zweimal durchzuführen ist nicht dasselbe wie zwei unabhängige Tests, weil das zweite Ergebnis desselben unvollkommenen Geräts mit dem ersten zusammenhängt – wer die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit als neue A-priori-Wahrscheinlichkeit zurückfüttert, überschätzt den Gewinn des zweiten Durchlaufs. Lässt sich der Befund unter keiner der beiden Annahmen beobachten – beide bedingten Wahrscheinlichkeiten null, oder A-priori-Wahrscheinlichkeit 0 % zusammen mit Falsch-Positiv-Rate 0 % –, dann ist der Nenner null und es gibt keine A-posteriori-Wahrscheinlichkeit, weil eine Bedingung auf ein unmögliches Ereignis keine Antwort hat.

Warum bedeutet ein Test mit 90 % Trefferquote nur 15 % Wahrscheinlichkeit?

Weil die Trefferquote bei den Betroffenen und die bei den Nichtbetroffenen zwei verschiedene Zahlen sind, und die zweite mit einer weit größeren Gruppe multipliziert wird. Bei einer Prävalenz von 1 % sind die Nichtbetroffenen neunundneunzigmal so zahlreich wie die Betroffenen; eine Falsch-Positiv-Rate von 5 % erzeugt deshalb mehrere hundert falsche Positive, während eine Sensitivität von 90 % nur einige Dutzend echte hervorbringt. Der Test hat nichts falsch gemacht, der Sachverhalt ist nur so selten, dass seine Fehler seine Treffer überwiegen. Genau das ist die Prävalenz, die hier wirkt, und genau deshalb muss die A-priori-Wahrscheinlichkeit von Ihnen kommen und darf kein stiller Vorgabewert sein.

Was bedeutet die Zeile mit der Verschiebung?

Sie ist die Differenz zwischen A-priori- und A-posteriori-Wahrscheinlichkeit, und ihre Einheit ist der Prozentpunkt, nicht die relative Änderung. Von 50 % auf 5,26 % ist das eine Verschiebung von −44,74 Prozentpunkten; es ist nicht ein Rückgang um 44,74 %, damit läge das Ergebnis bei etwa 27,6 %. Je größer die Verschiebung, desto weiter gehen die beiden Lesarten auseinander, und das Vorzeichen sagt Ihnen, in welche Richtung der Befund drückt: Eine negative Verschiebung heißt, dass der Befund gegen den Sachverhalt spricht.

Darf man die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit als neue A-priori-Wahrscheinlichkeit verwenden?

Nur wenn der zweite Befund vom ersten wirklich unabhängig ist. Denselben Test zweimal durchzuführen ist nicht unabhängig: Nach einem falschen positiven Ergebnis ist das nächste eher ebenfalls falsch positiv, weil es dieselbe Schwäche desselben Geräts ist. Wer die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit trotzdem als neue A-priori-Wahrscheinlichkeit zurückfüttert, überschätzt den Gewinn des zweiten Durchlaufs, mitunter erheblich. Sind die Befunde tatsächlich unabhängig, führt das schrittweise Aktualisieren zum selben Ergebnis wie das gemeinsame Aktualisieren mit beiden Befunden – die Grenze dieser Abkürzung ist also genau die Grenze der Unabhängigkeit.

Was sagt die Zeile mit der Wahrscheinlichkeit des Befunds?

Sie ist die Gesamtwahrscheinlichkeit des Befunds, gleichgültig ob der Sachverhalt zutrifft – der Nenner des Satzes, der die beiden bedingten Wahrscheinlichkeiten mit der Häufigkeit des jeweiligen Falls gewichtet. Sie steht zu Recht getrennt im Panel, weil sie erklärt, wie groß der Sprung ausfällt: Ist der Befund selbst selten, liegt die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit erwartungsgemäß weit von der A-priori-Wahrscheinlichkeit entfernt; ist er häufig, braucht es ein starkes Verhältnis der bedingten Wahrscheinlichkeiten, um überhaupt etwas zu bewegen. Im ersten Beispiel tritt der Befund nur bei 5,85 % der Personen auf, und das ist der Grund, warum ein einziger positiver Befund das Urteil so weit verschiebt.

Wann gibt es keine Antwort?

Wenn der Befund unter keiner der beiden Annahmen auftreten kann, ist der Nenner null, und eine Wahrscheinlichkeit, die auf diesen Befund bedingt, ist nicht definiert. Beide bedingten Wahrscheinlichkeiten null, eine A-priori-Wahrscheinlichkeit von 0 % zusammen mit einer Falsch-Positiv-Rate von 0 %, oder eine A-priori-Wahrscheinlichkeit von 100 % zusammen mit einer Sensitivität von 0 % laufen alle hier hinein – in diesen Fällen tritt der Befund überhaupt nicht auf, „gegeben dieser Befund“ ist also eine leere Bedingung. Das Panel gibt dann eine Fehlermeldung aus statt 0 % oder 50 %, denn hier ist keine Wahrscheinlichkeit zu berichten und nicht etwa eine Wahrscheinlichkeit von null.

Warum wird kein Likelihood-Quotient ausgegeben?

Weil die Quotenform an den beiden Enden des Eingabebereichs zerbricht. Die Quote eines Ereignisses ist seine Wahrscheinlichkeit geteilt durch eins minus Wahrscheinlichkeit; bei einer A-priori-Wahrscheinlichkeit von 100 % ist sie unendlich, und ein solcher Wert würde das Ergebnispanel zum Absturz bringen, ohne etwas mitzuteilen. Die Zeile mit der Verschiebung leistet dasselbe in einer anderen Form und gilt für jede zulässige Eingabe: Sie sagt, wie weit ein Befund das Urteil verschoben hat und in welche Richtung – und das ist meist genau die Frage dessen, der nach dem Likelihood-Quotienten sucht.

• Wahrscheinlichkeit — DWDS, Digitales Wörterbuch der deutschen Sprache: der Terminus, den diese Seite in ihren zusammengesetzten Bezeichnungen A-priori- und A-posteriori-Wahrscheinlichkeit verwendet — Berlin-Brandenburgische Akademie der Wissenschaften
• Bayes' Theorem — Stanford Encyclopedia of Philosophy (English original; the theorem itself, its special forms and the subjectivist reading of probability as degree of belief. Note: this entry does not cover the base-rate fallacy, which is what the first worked example on this page is about) — Stanford Encyclopedia of Philosophy (Stanford University)
• 3.3 Two Basic Rules of Probability — Introductory Statistics 2e (English original; the multiplication rule and conditional probability, which are the two pieces the posterior is assembled from) — OpenStax (Rice University)
• 3.5 Tree and Venn Diagrams — Introductory Statistics 2e (English original; the tree diagram leads to the same posterior, and it is the counting-by-people procedure used in the worked examples above) — OpenStax (Rice University)