Erwartungswert-Rechner

Erwartungswert E[X] = Σ pᵢ xᵢ · Varianz Var(X) = Σ pᵢ (xᵢ − E[X])² · Standardabweichung σ = √Var(X)

xᵢ

der Wert des i-ten Ergebnisses. Er darf negativ und darf eine Kommazahl sein; die Werte werden durch Semikolon, Komma oder Leerzeichen getrennt, höchstens 200 Stück

pᵢ

die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses, als Prozentzahl von 0 bis 100 einzugeben. Die beiden Zahlenreihen werden Stelle für Stelle nebeneinander gelesen, die dritte Wahrscheinlichkeit gehört also zum dritten Ergebnis, und beide Reihen müssen gleich lang sein

E[X]

der Erwartungswert: jedes Ergebnis mit seiner eigenen Wahrscheinlichkeit multipliziert und die Produkte addiert. Das ist das gewichtete Mittel, das das Panel zuerst ausgibt, und zugleich der Bezugswert für die beiden folgenden Zeilen

Var(X)

die Varianz: von jedem Ergebnis wird der Erwartungswert abgezogen, das Ergebnis quadriert und dann mit der Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses gewichtet. Dass quadriert wird, ist der Grund, warum ein weit abliegendes Ergebnis die Varianz allein bestimmen kann

σ

die Standardabweichung, also die Wurzel der Varianz. Sie kehrt in dieselbe Einheit zurück wie die Ergebnisse selbst, deshalb liest man sie, wenn man wissen will, wie breit die Streuung tatsächlich ist

Σ

die Summe über alle Ergebnisse. Kein Posten wird doppelt gewichtet und keiner fällt weg – dass die Wahrscheinlichkeiten zusammen 100 % ergeben, heißt genau, dass diese Reihe alle Möglichkeiten aufzählt

Der Erwartungswert gehört überall dorthin, wo es wenige Ergebnisse gibt, die sich auflisten lassen und für die sich jeweils eine Wahrscheinlichkeit angeben lässt: eine Leistungstabelle, eine Garantie mit fester Prämie und bekanntem Leistungsanteil, eine Entscheidung mit drei Szenarien. Wer stattdessen eine Reihe von Beobachtungen vorliegen hat, braucht den Mittelwert und nicht den Erwartungswert – der Mittelwert teilt durch die Anzahl und unterstellt damit, dass jeder Wert gleich wahrscheinlich ist, während diese Seite genau diese Unterstellung durch Ihre Wahrscheinlichkeiten ersetzt. Lässt sich die Form der Ergebnisse durch eine Formel beschreiben, ist die passende Verteilung der bessere Weg: Die mittlere Zahl der Erfolge bei fester Versuchszahl liefert die Binomialverteilung, und bei einem Poisson-Zähler ist der Mittelwert gleich der Varianz, ohne dass jeder Wert einzeln eingetippt werden muss. Alle diese Zahlen gelten nur im Rahmen des langen Laufs: Der Erwartungswert ist das Ziel, dem der Mittelwert vieler Wiederholungen zustrebt, und keine Vorhersage für den nächsten Durchgang.

1. Fünf Ergebnisse mit ungleichen Wahrscheinlichkeiten

   1. Jedes Ergebnis mit seiner Wahrscheinlichkeit als Dezimalzahl multiplizieren: 5 × 0,10 = 0,5; 10 × 0,20 = 2; 20 × 0,30 = 6; 40 × 0,25 = 10; 100 × 0,15 = 15
   2. Die fünf Produkte addieren: 0,5 + 2 + 6 + 10 + 15 = 33,5 – das ist der Erwartungswert
   3. Für die Varianz wird von jedem Ergebnis 33,5 abgezogen, quadriert und mit der Wahrscheinlichkeit gewichtet: 0,10 × 812,25 + 0,20 × 552,25 + 0,30 × 182,25 + 0,25 × 42,25 + 0,15 × 4422,25 = 920,25
   4. Die Wurzel aus 920,25 ist 30,3356, die Standardabweichung

   Dass die Wahrscheinlichkeiten als Prozentzahlen einzugeben sind, ist die fehleranfälligste Stelle dieser Seite: Wird die 10 als Bruchteil statt als zehn Prozent gelesen, kommt 3,35 statt 33,5 heraus, und an dieser falschen Antwort sieht man nichts Auffälliges. Auch die Streuung lohnt einen zweiten Blick – die Standardabweichung von 30,34 ist fast so groß wie der Erwartungswert von 33,5, der Posten mit nur 15 % Wahrscheinlichkeit macht hier also die meiste Arbeit. Die Varianz von 920,25 sagt dasselbe, nur in quadrierten Einheiten.

2. Fairer Würfel: die Antwort ist eine Seite, die es nicht gibt

   1. Sechs Ergebnisse zu je 16,67 % – das letzte mit 16,65 %, damit die sechs Zahlen genau 100 ergeben
   2. Die Produkte laufen von 1 × 0,1667 bis 6 × 0,1667 und summieren sich zu 3,4995
   3. Die Varianz ist der Mittelwert der quadrierten Abweichungen von 3,4995 und beträgt 2,916
   4. Die Wurzel aus 2,916 ist 1,7076

   Wenn der Erwartungswert unmöglich erscheint, ist dies die Zeile, an die man sich erinnern sollte: Die richtige Antwort für einen sechsseitigen Würfel ist 3,5, und keine Seite zeigt 3,5. Der Erwartungswert beschreibt die ganze Verteilung und ist keine Vorhersage für einen einzelnen Wurf. Diese Zeile zeigt zugleich am deutlichsten, was die Standardabweichung leistet – 1,7076 hat die Einheit Augenzahl, genau wie die Ergebnisse selbst, „im Mittel liegt das Ergebnis also etwa 1,7 von der 3,5 entfernt“ ist damit ein Satz, mit dem sich arbeiten lässt, während die Varianz von 2,916 die Einheit Augenzahl im Quadrat trägt.

3. Eine Versicherungsleistung und ein negativer Erwartungswert

   1. Zwei Ergebnisse: Es passiert nichts, oder es passiert etwas und kostet 5000 – der zweite Fall wird als −5000 geschrieben
   2. Gewichtet: 0 × 0,97 + (−5000) × 0,03 = −150
   3. Die Varianz ist 0,97 × (0 + 150)² + 0,03 × (−5000 + 150)² = 727.500
   4. Ihre Wurzel ist 852,9361

   Ein negativer Erwartungswert ist kein Fehler und kein Grund, diese Rechnung zu meiden – er ist die Antwort auf eine echte Frage, und zwar auf die, mit der die meisten hierher kommen: Wenn dieses Ereignis mit 3 % Wahrscheinlichkeit einen Schaden von 5000 verursacht, dann kostet es im Mittel 150 pro Periode, und jede Prämie über 150 ist der Kauf der Entscheidung, dieses Risiko nicht selbst zu tragen. Beachten Sie außerdem, dass die Standardabweichung von 852,94 für sich genommen kaum etwas aussagt: Sie wird von demselben 3-%-Zweig bestimmt und besagt damit nur, dass dieser Schaden groß und selten ist, nicht wie breit die Ergebnisse streuen.

4. Gewichtetes Mittel ist nicht der gewöhnliche Mittelwert

   1. Die vier Ergebnisse summieren sich zu 160, ihr gewöhnlicher Mittelwert ist also 40
   2. Nach Wahrscheinlichkeit gewichtet: 10 × 0,40 + 20 × 0,30 + 30 × 0,20 + 100 × 0,10 = 4 + 6 + 6 + 10 = 26
   3. Die Varianz ist 0,40 × 256 + 0,30 × 36 + 0,20 × 16 + 0,10 × 5476 = 664
   4. Ihre Wurzel ist 25,7682

   Die beiden Zahlen liegen um mehr als ein Drittel auseinander, und der ganze Unterschied steckt in den Wahrscheinlichkeiten: Das große 100 trägt nur 10 % Gewicht, während die kleinen 10 und 20 zusammen auf 70 % kommen. Wo immer jemand einen Mittelwert nennt und nicht sagt, ob er gewichtet ist, steckt genau diese Lücke hinter dem Wort. Diese Zeile zeigt außerdem, dass eine Wahrscheinlichkeit von 0 ein sinnvoller Eintrag ist und keine leere Stelle: Das Ergebnis behält seinen Platz in der Reihe und trägt nur nichts bei – genau das ist der Unterschied zwischen „unmöglich“ und „nicht gefragt“.

Drei Stellen dieser Seite werden leicht falsch gelesen, und alle drei sitzen in der Eingabe und nicht in der Rechnung. Die Wahrscheinlichkeiten müssen zusammen 100 % ergeben, und die Seite weigert sich, diese Lücke für Sie zu schließen: 40 und 50 stillschweigend auf 44,4 und 55,6 zu strecken ergäbe eine völlig normal aussehende Zahl, die aber die Frage beantwortet, die Sie nicht gestellt haben. Die Toleranz beträgt 0,005 je Eintrag, drei gleiche Drittel als 33,33 je Stück – zusammen 99,99 – sind also zulässig, 40 und 50 nicht. Und beide Zahlenreihen müssen gleich lang sein, weil sie Stelle für Stelle nebeneinander gelesen werden: Eine fehlende Wahrscheinlichkeit ist keine 0, sondern eine Verschiebung, und die Seite weist darauf hin, statt stillschweigend die beiden nicht zusammenpassenden Zahlen einander zuzuordnen. Auch außerhalb der Eingabe ist die Aussage begrenzt. Der Erwartungswert beschreibt sehr viele Wiederholungen und sagt über den einzelnen Durchgang fast nichts; außerdem kann er von einem seltenen, aber extremen Ergebnis bestimmt werden, was man an der einzelnen Zahl nicht sieht – dafür liest man die Standardabweichung oder die Varianz daneben. Er unterstellt zudem, dass die von Ihnen eingegebenen Wahrscheinlichkeiten die tatsächlichen sind: Diese Seite rechnet mit Ihren Zahlen, und ein exakter Erwartungswert auf der Grundlage einer geschätzten Wahrscheinlichkeit ist die exakte Antwort auf eine andere Frage. Schließlich gibt es hier keine Tabelle mit üblichen Erwartungswerten, weil eine solche Tabelle Ihre Ergebnisse und Wahrscheinlichkeiten nicht sehen kann und eine Tabelle, die dem Panel darüber widerspricht, schlechter wäre als gar keine.

Was sagt der Erwartungswert eigentlich aus?

Er sagt, was herauskommt, wenn man dieselbe Sache sehr oft wiederholt und die Ergebnisse dann mittelt, wobei jedes Ergebnis mit seinem Anteil eingeht. Für eine Leistungstabelle ist er der Preis, bei dem sich die Sache gerade trägt: Ein Erwartungswert von −150 heißt, dass 150 ein fairer Preis für die Teilnahme ist und alles darunter für Sie günstig ist. Was er nicht sagt, ist, was beim nächsten Mal passiert. Ein einzelner Durchgang liefert immer eines der Ergebnisse aus der Reihe und niemals diesen Mittelwert, ein positiver Erwartungswert und ein paar verlorene Runden hintereinander widersprechen sich also keineswegs.

Darf der Erwartungswert eine Zahl sein, die nie vorkommt?

Ja, und das ist der Normalfall. Bei einem fairen Würfel hat jede der sechs Seiten 16,67 %, der Erwartungswert ist 3,5 – und keine Seite zeigt 3,5. Der Grund ist, dass der Erwartungswert das gewichtete Mittel der ganzen Reihe ist und selbst nicht in der Reihe steht: Er ist der Schwerpunkt dieser Verteilung, und ein Schwerpunkt darf in der Lücke zwischen zwei Gewichten liegen. Bei einem Lotterielos ist es genauso – der Erwartungswert ist eine kleine negative Zahl, und kein Los kann diesen Betrag auszahlen.

Warum müssen die Wahrscheinlichkeiten zusammen 100 % ergeben?

Weil zwei Reihen, die dieselben Möglichkeiten beschreiben, sie vollständig aufzählen müssen. Summieren sich die Wahrscheinlichkeiten nur auf 90 %, dann fehlt entweder ein Ergebnis in der Reihe, oder eine einzelne Wahrscheinlichkeit ist falsch eingetragen, und die Seite kann nicht unterscheiden, welcher der beiden Fälle vorliegt – deshalb berichtet sie die Summe, statt zu raten. Sie skaliert die Zahlen auch bewusst nicht auf 100 % hoch: 40 und 50 durch ihre Summe zu teilen ergäbe 44,4 und 55,6, also die Antwort auf eine Frage, die Sie nicht gestellt haben, und nirgends im Panel wäre zu sehen, dass das geschehen ist. Die Toleranz liegt bei 0,005 je Eintrag, drei gleiche Drittel zu 33,33 mit einer Summe von 99,99 sind deshalb zulässig.

Worin unterscheidet sich das vom gewöhnlichen Mittelwert?

Der gewöhnliche Mittelwert teilt durch die Anzahl und unterstellt damit, dass jeder Wert gleich wahrscheinlich ist. Der Erwartungswert ersetzt diese Unterstellung durch Ihre Wahrscheinlichkeiten, ein Ergebnis mit nur 10 % Wahrscheinlichkeit zieht das Resultat also nur ein Zehntel so stark wie eines mit 100 %. Beide Verfahren liefern nur dann dieselbe Zahl, wenn alle Wahrscheinlichkeiten gleich sind – bei vier Ergebnissen zu je 25 % stimmen sie überein. Wo sie auseinandergehen, steckt der ganze Unterschied im Gewicht, und deshalb lohnt bei jedem Mittelwert die Rückfrage, ob er gewichtet ist.

Was bedeutet ein negativer Erwartungswert?

Er bedeutet, dass die Ergebnisse auf der Verlustseite entweder groß genug oder häufig genug sind, um alles andere zu überwiegen, dass diese Entscheidung also auf Dauer Geld kostet. Er bedeutet nicht, dass Sie verlieren werden: Ein Erwartungswert von −150 bei 97 % ohne Ereignis und 3 % mit 5000 Schaden heißt, dass die meisten Perioden gar nichts kosten. Diese negative Zahl sagt vielmehr, was dieses Risiko im Mittel kostet, und genau diese Zahl wird mit einer Prämie, einem Angebot oder einem Versicherungstarif verglichen. Hier wird diese Rechnung am häufigsten gebraucht, und ein negatives Ergebnis ist an dieser Stelle ein Resultat und kein Fehlschlag.

Warum gibt es auf dieser Seite keine Tabelle mit üblichen Erwartungswerten?

Weil die Antwort vollständig von den beiden Zahlenreihen abhängt, die Sie eingeben, und eine feste Tabelle sie nicht sehen kann. Die Tabelle, die man sich wünscht, wäre eine kurze Liste vertrauter Fälle – ein Würfel, ein Los, ein Roulette-Einsatz –, aber jeder davon hat seine eigenen Ergebnisse und Wahrscheinlichkeiten, eine gedruckte Zeile beantwortet also eine andere Frage als das Panel, und beide können sich gelegentlich öffentlich widersprechen. Das Panel ist diese Tabelle: Ändern Sie Ergebnisse und Wahrscheinlichkeiten, rechnen sich dieselben drei Zeilen neu. Eine feste Tabelle brauchen die Seiten, deren Tabellen von der Eingabe unabhängig sind, etwa eine Notengrenze oder ein Stufenraster.

• Erwartungswert — DWDS, Digitales Wörterbuch der deutschen Sprache: der Terminus, den diese Seite berechnet, samt seiner Verwendung im Sinne eines gewichteten Mittels — Berlin-Brandenburgische Akademie der Wissenschaften
• 2.5 Measures of the Center of the Data — Introductory Statistics 2e (English original; the mean as the balance point of a data set, and how far a single extreme value can push it — which is why an expected value can sit far away from every outcome in the list) — OpenStax (Rice University)
• 2.7 Measures of the Spread of the Data — Introductory Statistics 2e (English original; the variance as the mean of the squared deviations — this page replaces that «mean» with a weighting by probability) — OpenStax (Rice University)
• 1.3.6.1. What is a Probability Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (English original; a probability distribution says how much of the whole each value carries, and the expected value is the weighted mean taken over those shares) — National Institute of Standards and Technology (NIST)