Sortier-Rechner

7; −3; 12,5; 0; −10; 4 ⇒ −10, −3, 0, 4, 7, 12,5 — Minimum = −10, Maximum = 12,5

n

Wie viele Zahlen in der Liste stehen — zwischen 1 und 200. Auch eine einzelne ist erlaubt und ergibt eine Liste mit einem Eintrag, und das ist keine Entartung, sondern schlicht richtig: Eine einzelne Zahl steht bereits aufsteigend, und sie ist zugleich der kleinste und der größte Wert der Menge

a ≤ b

Der Vergleich, auf dem die Sortierung ruht, und ihre ganze Richtigkeit. Es ist ein Zahlenvergleich, also gelten −10 ≤ −3 und 9 ≤ 10. Ein Textvergleich würde stattdessen die −10 zufällig vor die −3 setzen und die 10 ebenso zufällig vor die 9, weil er Zeichen für Zeichen von links vergleicht und nicht nach Wert

−10, −3, 0, 4, 7, 12,5

Die sortierte Ausgabe und zugleich eine Umordnung der Eingabe — sechs Werte hinein, sechs Werte heraus, dieselben sechs. Das ist die Invariante, an der sich das Ergebnis prüfen lässt: Die Anzahl muss stimmen, und jeder hineingegebene Wert muss genau so oft auftauchen, wie Sie ihn eingegeben haben. Auf dieser Seite wird nichts addiert, nichts entfernt und nichts verschmolzen

Minimum = −10

Das erste Element der sortierten Liste, aus ihr entnommen und nicht in einem zweiten Durchgang gesucht. Auf dem Zahlenstrahl ist es der am weitesten links liegende Punkt. Es ist nicht der am kürzesten aussehende Eintrag der Eingabe: −10 sieht kürzer aus als −3, und es ist trotzdem die kleinere der beiden Zahlen

Maximum = 12,5

Das letzte Element der sortierten Liste, wieder abgelesen statt gesucht. Der Abstand zwischen diesem Wert und dem Minimum ist die Spannweite — die einzige Kennzahl, die außer diesen beiden Ausgaben nichts braucht; der Spannweite-Rechner führt genau diese Subtraktion aus

3, 5, 5

Was Doppelte machen. Die Eingabe 5, 5, 3 wird zu 3, 5, 5 sortiert — die Wiederholung bleibt erhalten. Sie wegzulassen sähe aufgeräumter aus, bräche aber die Invariante oben und würde stillschweigend jede Antwort auf die Frage verändern, wie viele Werte es sind, den Median eingeschlossen

Einen Median abzulesen ist der häufigste Grund zu sortieren: Der Median ist der mittlere Wert der sortierten Liste, bei gerader Anzahl das Mittel der beiden mittleren Werte, und aus einer unsortierten Liste lässt er sich gar nicht ablesen. Dasselbe gilt für Quartile und Perzentile, die über ihre Position in der sortierten Reihenfolge definiert sind. Ein zweiter Zweck ist die Spannweite, also der größte minus dem kleinsten Wert; diese Seite druckt beide Zahlen direkt aus, und der Spannweite-Rechner erledigt die Subtraktion, wenn es Ihnen nur darum geht. Ein dritter ist der ganz alltägliche: Eine Spalte mit Messwerten, Preisen, Altersangaben oder Punktzahlen, die aus einer Tabellenkalkulation eingefügt wird, liest sich viel leichter, sobald sie in Ordnung steht, weil die Extreme herausstechen und Häufungen sichtbar werden — aus demselben Grund ist eine sortierte Liste das Erste, was man zeichnet, denn eine Häufigkeitszählung und ein Histogramm fangen beide damit an. Ein vierter Zweck ist die Kontrolle der Sortierung, die die Tabellenkalkulation selbst vorgenommen hat. Nach Text statt nach Zahlen zu sortieren ist dort ein verbreiteter Fehler, wenn eine Spalte ungünstig formatiert ist, und das Symptom ist genau der Fehler von oben — 10 vor 9 oder 12,5 vor 4. Wenn Ihnen eine sortierte Spalte falsch vorkommt, verrät Ihnen dieselbe Liste auf dieser Seite, welche der beiden die Eingabe falsch liest. Ist die Liste erst in Ordnung, übernehmen die Nachbarseiten: Der Median-Rechner liest die Mitte, der Spannweite-Rechner die beiden Enden, der Quartil-Rechner die Viertelpositionen und der Durchschnitts-Rechner das arithmetische Mittel — die einzige dieser Kennzahlen, der die Reihenfolge gleichgültig ist. Die umgekehrte Richtung, also absteigend sortiert, ergibt sich aus derselben Ausgabe, wenn Sie sie von rechts nach links lesen; die Seite bietet nur die aufsteigende an, weil jede dieser Kennzahlen sie verlangt.

1. Gemischte Vorzeichen und eine Dezimalzahl: 7; −3; 12,5; 0; −10; 4

   1. Zuerst den kleinsten Wert suchen: −10 steht weiter links als alles andere in der Liste
   2. Dann der nächstkleinere, −3, danach die 0, dann die 4, dann die 7
   3. 12,5 ist der größte Wert und steht deshalb am Ende
   4. Die sortierte Liste ist −10, −3, 0, 4, 7, 12,5, und ihre beiden Enden ergeben das Minimum und das Maximum

   Die Standardeingabe, und mit Absicht eine unhandliche: Sie enthält zwei Negative, eine positive Dezimalzahl und eine Null, fordert also beide Fallen auf einmal. Beachten Sie, dass −10 an erster Stelle steht, obwohl −3 die längere Ziffernfolge hat, und dass 12,5 hinter der 7 steht, obwohl 12,5 mit derselben Ziffer beginnt wie die 1. Das Panel gibt diese Liste so aus, wie sie aus der Sortierung kommt: -10, -3, 0, 4, 7, 12.5 — dort steht der Punkt als Dezimaltrenner (12,5), weil die Werte unverändert durchgereicht werden und nicht durch eine Textvorlage laufen. Als Text sortiert ergäbe dieselbe Eingabe −10, −3, 0, 12,5, 4, 7: Das negative Ende sähe zufällig richtig aus, und die Dezimalzahl landete an der falschen Stelle.

2. Die Falle, die einstellige Zahlen verbergen: 9; 10; 100; 2

   1. Nach dem Wert vergleichen, nicht nach der ersten Ziffer: die 2 ist kleiner als die 9
   2. Die 10 ist größer als die 9 und kleiner als die 100
   3. Die Reihenfolge ist 2, 9, 10, 100
   4. Der kleinste Wert ist die 2, der größte die 100

   Vier kurze, durchweg positive Zahlen, und genau die Liste, die die Textsortierung auffliegen lässt. Als Zeichenketten verglichen steht die 10 ganz vorn und die 2 ganz hinten, weil der Vergleich beim ersten Zeichen aufhört: die 1 kommt vor der 2, und die 2 vor der 9. Die richtige Reihenfolge entsteht aus dem Vergleich der Werte, und das Anzeichen dafür, dass etwas schiefgelaufen ist, ist, dass das Ergebnis nicht wie ein Zahlenstrahl aussieht — es gibt keine Anordnung der Ziffern, in der die 10 vor der 2 steht. Das ist der Fall, gegen den sich jede Sortierroutine prüfen lassen sollte, denn eine Liste einstelliger Zahlen sortiert sich in beiden Verfahren richtig. Das Panel gibt die Werte hier in seiner eigenen Schreibweise aus: 2, 9, 10, 100.

3. Negative in der anderen Reihenfolge: −5; −20; −3

   1. Auf dem Zahlenstrahl liegt −20 von den dreien am weitesten links
   2. −5 liegt rechts davon, und −3 ist von den dreien die am weitesten rechts liegende Zahl
   3. Die aufsteigende Reihenfolge ist also −20, −5, −3
   4. Das Minimum ist −20, die Zahl mit den größten Ziffern in der Liste; das Panel gibt dafür -20, -5, -3 aus

   Das Spiegelbild des vorigen Beispiels, und dasjenige, das Leser erwischt und nicht den Code. −20 ist von den dreien der kleinste Wert, obwohl seine Ziffern die größten sind, denn weiter links auf dem Zahlenstrahl heißt kleiner. Beim Zeichenvergleich steht −20 zufällig vor −5, weil die 2 vor der 5 kommt, während die 3 vor der 5 steht und damit −3 fälschlich vor −5 setzt — die negative Liste ist also der Fall, in dem die Textsortierung stellenweise richtig aussieht, während sie bei einer mehrstelligen positiven Liste offen danebenliegt. Zwischen den beiden Beispielen sind damit beide Richtungen abgedeckt, und deshalb stehen sie beide hier.

Die Liste fasst zwischen 1 und 200 Zahlen, getrennt durch Kommas, Semikolons oder Leerzeichen, und alle drei dürfen in einer Liste gemischt auftreten. Die Zweihundert sind eine Grenze dafür, wie lang eine Liste sein darf, und keine Leistungsgrenze — längere Listen sind nicht langsam, sie werden abgelehnt, weil ein so langes Feld nicht mehr bearbeitbar und die Antwort nicht mehr lesbar wird. Zahlen dürfen negativ sein, Nachkommastellen haben und null sein; Doppelte bleiben erhalten, statt entfernt zu werden. Tausendertrenner versteht die Seite nicht: Ein Komma zwischen zwei Ziffern ohne Leerzeichen danach gilt als Dezimaltrenner (1,5 ist eineinhalb), während ein Komma mit Leerzeichen dahinter zwei Einträge trennt. Die Form 1.500 ist weder das eine noch das andere, und weil sich dahinter 1500 und 1,5 nicht auseinanderhalten lassen, wird sie rundheraus abgelehnt statt geraten; dieselbe Ablehnung trifft die englische Schreibweise 1,500. Eine aus der Tabellenkalkulation eingefügte Spalte mit Tausenderpunkt wird also zurückgewiesen und nicht stillschweigend falsch gelesen — entfernen Sie die Trenner vor dem Einfügen (ungruppiert geschrieben: 1500 statt 1.500). Auch die Exponentialschreibweise wird nicht verstanden: 1e5 wird abgelehnt, statt als Hunderttausend gelesen zu werden. Die Ausgabe ist eine kanonische Schreibweise jedes Wertes und keine Kopie dessen, was Sie eingetippt haben: 12,50 wird als 12,5 ausgegeben, +7 als 7 und −0 als 0. Sehr große Werte wechseln in der Ausgabe in die Exponentialschreibweise, ab 10²¹, weil die Umwandlung von Zahl zu Text dort von selbst die Schreibweise wechselt; das abzuflachen hieße, einen zweiten Zahlformatierer zu schreiben, und den hat die Seite nicht. Eine Referenztabelle gibt es auf dieser Seite nicht: Eine Tabelle zeigt, in welches Band ein Ergebnis fällt, und das Sortieren hat keine Bänder. Angeboten wird nur die aufsteigende Richtung — für die absteigende lesen Sie die Ausgabe von rechts nach links.

Wie sortiere ich eine Liste, in der Negative und Dezimalzahlen vorkommen?

Fügen Sie sie ein und lassen Sie die Seite arbeiten — als Trennzeichen dient ein Komma, ein Semikolon oder ein Leerzeichen, und alle drei dürfen gemischt werden. Negative Zahlen und Dezimalzahlen ändern an der Regel nichts, die schlicht lautet: Der kleinere Wert steht weiter links. Worauf Sie achten sollten, ist, dass −20 trotz der längeren Ziffernfolge kleiner ist als −3 und dass 12,5 größer ist als die 4, obwohl es mit einer 1 beginnt. Die Werte zu vergleichen und nicht den Text der Zahlen ist hier die ganze Richtigkeit.

Spielt es eine Rolle, in welcher Reihenfolge ich die Zahlen eintippe?

Keine. Die Seite sortiert, was sie bekommt, und dieselbe Menge von Werten ergibt immer dieselbe Ausgabe, unabhängig von der Reihenfolge der Eingabe. Genau das macht das Ergebnis prüfbar: Sortieren Sie eine Liste, sortieren Sie sie noch einmal, und die Ausgabe ist identisch, weil es für eine gegebene Menge von Werten nur eine aufsteigende Reihenfolge gibt. Nur bei Doppelten bleibt die Form der Eingabe erhalten, denn 5, 5, 3 und 3, 5, 5 ergeben beide die Ausgabe 3, 5, 5.

Werden doppelte Werte entfernt?

Nein, und das ist Absicht. Die Ausgabe ist die umgeordnete Eingabe und muss deshalb genau die Zahlen enthalten, die Sie hineingegeben haben, jede so oft wie eingegeben. Wiederholungen zu entfernen wäre eine andere Operation — sie heißt Deduplizierung und verändert die Antwort auf jede Frage über die Liste, auch darauf, wie viele Werte sie enthält und wie hoch der Median ist. Wenn Sie eine Liste verschiedener Werte wollen, ist das ein eigener Schritt, und er sollte sichtbar sein.

Warum kommt 12,50 als 12,5 zurück?

Weil nachgestellte Nullen nicht Teil eines Wertes sind und die Seite die kanonische Schreibweise jeder Zahl ausgibt, statt abzuschreiben, was Sie eingetippt haben. Dieselbe Normalisierung macht aus +7 eine 7 und aus −0 eine 0. Das ist die einzige Stelle, an der die Ausgabe keine reine Kopie der Eingabe ist, und es lohnt sich, das zu wissen, wenn die Formatierung Ihrer Zahlen für Sie eine Bedeutung trägt — bei Beträgen etwa liest ein Mensch 12,50 anders als 12,5, obwohl es dieselbe Zahl ist.

Kann ich stattdessen von größtem zu kleinstem Wert sortieren?

Die Seite liefert die aufsteigende Reihenfolge, und die absteigende ist dieselbe Ausgabe, von rechts nach links gelesen — es gibt nichts zusätzlich zu rechnen, denn eine sortierte Liste umzudrehen ergibt unmittelbar die umgekehrte Reihenfolge. Angeboten wird nur die eine Richtung, weil jede nachfolgende Kennzahl sie verlangt: Median, Quartile und Spannweite sind alle über die aufsteigende Liste definiert, und eine absteigende Liste müsste erst umgedreht werden, bevor sich eine davon ablesen ließe.

Warum wurde meine eingefügte Tabellenspalte abgelehnt?

Höchstwahrscheinlich wegen der Tausendertrenner. Auf dieser Seite trennt ein Komma mit Leerzeichen dahinter zwei Einträge, während ein Komma zwischen zwei Ziffern ohne Leerzeichen danach als Dezimaltrenner gelesen wird; die Form 1.500 ist beides nicht, und weil sich 1500 und 1,5 dahinter nicht unterscheiden lassen, wird die ganze Liste zurückgewiesen statt geraten. Die Exponentialschreibweise wird ebenso abgelehnt: 1e5 statt Hunderttausend. Entfernen Sie die Trenner vor dem Einfügen.

• Ordering — from Wolfram MathWorld (English original; was eine Ordnung ist und welche Eigenschaften ein Vergleich haben muss, damit sich eine Liste überhaupt nach ihm sortieren lässt) — Wolfram MathWorld (United States)
• Ganze Zahlen — Mathebibel: negative Zahlen, ihre Anordnung auf der Zahlengeraden und der Größenvergleich, bei dem weiter links kleiner heißt — Mathebibel (Deutschland)
• Dezimalbruch — Mathebibel: Dezimalzahlen und ihr Stellenwert, also der Vergleich, bei dem die Länge der Ziffernfolge nichts entscheidet — Mathebibel (Deutschland)
• Brüche vergleichen — Mathebibel: Zahlen der Größe nach ordnen, wobei der Wert entscheidet und nicht die Schreibweise — Mathebibel (Deutschland)