Signifikante-Stellen-Rechner

0.004560 → 4 signifikante Stellen; 0.004560 → 1 Stelle → 0.005; 9.99 → 2 Stellen → 10 = 1.0 × 10¹; 123 → 5 Stellen → 123 (unverändert)

0.004560

Die Zahl, deren Stellen gezählt und gerundet werden. Sie darf als gewöhnliche Dezimalzahl oder in e-Schreibweise eingegeben werden und höchstens fünfzehn signifikante Stellen haben; geführt wird sie als Ziffernfolge, nicht als Gleitkommazahl, weil eine Gleitkommazahl nicht festhalten kann, ob eine abschließende Null geschrieben wurde

0.005 → 1

Führende Nullen zählen nicht. Bei 0.005 tragen die drei Nullen nach dem Dezimalpunkt nur die 5 an ihren Platz und sagen nichts über die Genauigkeit aus; es bleibt eine einzige signifikante Stelle. Nullen am Anfang einer Zahl sind immer Platzhalter, nie Messwerte

1002 → 4

Eingeschlossene Nullen zählen mit. Bei 1002 stehen die beiden Nullen zwischen Ziffern ungleich null, sie gehören also zur Zahl und nicht zur Größenangabe; die Zahl hat vier signifikante Stellen. Dasselbe gilt für die Null in 1002.0, die als fünfte dazukommt

1200 → 2, 1200. → 4

Wo die abschließenden Nullen zu einer Aussage werden. Ohne weitere Angabe sind die beiden Nullen in 1200 nur Größenangabe, die Zahl hat zwei signifikante Stellen. Mit dem Punkt am Ende sind sie hingeschrieben und damit Ziffern, die Zahl hat vier. Es ist derselbe Wert mit zwei verschiedenen Behauptungen über die Messgenauigkeit, und der Rechner entscheidet nicht, welche gemeint war

0.004560 → 4

Die abschließende Null ist hier der ganze Punkt. 0.004560 hat vier signifikante Stellen — die 4, die 5, die 6 und die abschließende Null. Ohne sie hieße die Zahl 0.00456 und hätte drei Stellen; der Unterschied ist eine Aussage darüber, wie fein gemessen wurde

0.004560 → 0.0046 = 4.6 × 10⁻³

Das Runden auf zwei Stellen. Die dritte Stelle ist eine 5, also wird aufgerundet: 0.00456 wird zu 0.0046, und in wissenschaftlicher Schreibweise zu 4.6 × 10⁻³. Die gewöhnliche Form wird ohne Trennzeichen gedruckt, weil sie hier als Ziffernfolge gilt und nicht als deutsch gesetzte Zahl

Wer mit Messwerten rechnet, braucht diese Seite am Ende jeder Rechnung, denn das Ergebnis eines Rechenschritts kann nicht genauer sein als seine ungenauesten Eingaben. Ein Kraftstoffverbrauch, der aus einer gewogenen Masse und einer abgelesenen Strecke berechnet wird, hat so viele signifikante Stellen wie die ungenauere der beiden Größen, und ein Ergebnis, das auf dem Taschenrechner mit acht Stellen herauskommt, behauptet eine Genauigkeit, die die Messung nie hatte. Beim Aufschreiben geht es in die andere Richtung: Ergebnisse werden auf die Stellenzahl gerundet, die die Eingaben zulassen, und genau das macht die zweite Zeile dieser Seite. Praktisch gefragt ist sie außerdem bei Laborprotokollen und Messreihen, wo die Schreibweise selbst zur Angabe wird — ob man 0.00456 oder 0.004560 schreibt, ist keine Geschmacksfrage, sondern die Aussage darüber, bis zu welcher Stelle gemessen wurde. Und wer eine Zahl in eine Tabelle übernimmt und nachträglich Nullen anhängt, um die Spaltenbreite zu füllen, erzeugt signifikante Stellen, die es nie gab. Für die Frage, auf welche Dezimalstelle statt auf wie viele Stellen gerundet wird, ist der Rundungsrechner zuständig; das ist ein anderer Rundungsbegriff mit einer anderen Antwort, und die beiden werden häufig verwechselt. Wer nur die Schreibweise einer Zahl ändern will, ohne zu runden, ist beim Standardform-Rechner richtig, und wer wissen will, welchen Wert eine einzelne Ziffer innerhalb der Zahl hat, beim Stellenwert-Rechner.

1. Die Stellen in 0.004560 zählen

   1. Die führenden Nullen streichen: Sie positionieren nur den Dezimalpunkt und sagen nichts über die Genauigkeit aus
   2. Übrig bleiben die Ziffern 4, 5, 6 und die abschließende Null
   3. Die abschließende Null steht hinter allen Ziffern ungleich null und ist damit hingeschrieben, sie zählt also mit
   4. Das ergibt vier signifikante Stellen
   5. Auf vier Stellen gerundet ändert sich nichts: 0.004560, in wissenschaftlicher Schreibweise 4.560 × 10⁻³

   Der Fall, an dem sich die ganze Seite entscheidet. Ohne die letzte Null hieße die Zahl 0.00456 und hätte drei signifikante Stellen; mit ihr sind es vier, und das ist keine Formsache, sondern die Aussage, dass bis auf die Millionstelstelle gemessen wurde. Bemerkenswert ist auch, was das Runden hier nicht tut: Der Koeffizient in der wissenschaftlichen Schreibweise behält seine abschließende Null, denn 4.56 × 10⁻³ hätte eine Stelle weniger, als verlangt wurde.

2. 0.004560 auf eine Stelle runden

   1. Die Zahl hat vier signifikante Stellen, verlangt ist aber eine
   2. Die erste signifikante Stelle ist die 4
   3. Die nächste Ziffer ist eine 5, also wird aufgerundet: aus 4 wird 5
   4. Alle weiteren Stellen fallen weg: 0.005
   5. In wissenschaftlicher Schreibweise 5 × 10⁻³

   Die erste Zeile der Antwort bleibt bei vier, obwohl auf eine Stelle gerundet wird: Sie beschreibt die Eingabe und nicht das Ergebnis, und die Eingabe hat vier signifikante Stellen. Sehenswert ist das Aussehen des gerundeten Ergebnisses — 0.005 hat nach dem üblichen Zählen nur eine signifikante Stelle, denn seine Nullen sind wieder führende Nullen. Das ist der Punkt, an dem man sich leicht vertut: Das Ergebnis hat so viele Stellen, wie verlangt wurden, und nicht so viele, wie man auf den ersten Blick zählt.

3. Ein Übertrag, der den Exponenten verschiebt: 9.99 auf zwei Stellen

   1. Die Zahl hat drei signifikante Stellen, verlangt sind zwei
   2. Die ersten beiden Ziffern sind 9 und 9, die nächste ist ebenfalls eine 9
   3. Die 9 rundet auf, aus 9.9 wird 10.0
   4. Der Übertrag erzeugt eine neue Stelle links, der Dezimalpunkt wandert also eine Position nach links
   5. In wissenschaftlicher Schreibweise steht deshalb 1.0 × 10¹ und nicht 9.9 × 10⁰

   Der Fall, in dem das Runden die Größenordnung ändert, und der einzige, bei dem man den Exponenten nachziehen muss. Das gerundete Ergebnis 10 hat zwei signifikante Stellen, aber sein Koeffizient in der wissenschaftlichen Schreibweise ist 1.0 und nicht 1: Die abschließende Null sagt, dass zwei Stellen verlangt waren und nicht eine. Genau hier zeigt sich auch, warum die erste Zeile der Antwort den Wert drei trägt — die Eingabe 9.99 hat drei signifikante Stellen, das Ergebnis zwei, und die beiden Zahlen sind nicht dasselbe.

4. Mehr Stellen verlangen, als die Zahl hat: 123 auf fünf

   1. Die Zahl 123 hat drei signifikante Stellen
   2. Verlangt sind fünf, es gibt aber nur drei Ziffern
   3. Es wird nichts hinzugefügt: Das Ergebnis bleibt 123
   4. In wissenschaftlicher Schreibweise 1.23 × 10²

   Das Ergebnis ist die Eingabe, und das ist die richtige Antwort. 123.00 zu schreiben wäre bequem und falsch: Die beiden angehängten Nullen würden behaupten, dass bis auf die Hundertstelstelle gemessen wurde, und das weiß der Rechner nicht. Wer tatsächlich fünf signifikante Stellen braucht, muss sie messen und nicht erzeugen — und wer schon weiß, dass weitere Stellen hingehören, kann sie in der Eingabe schreiben, denn 123.00 gilt hier als fünfstellig.

Verlangte man mehr signifikante Stellen, als die Zahl hat, wird nichts angehängt: 123 auf fünf Stellen bleibt 123. Das ist Absicht, denn Nullen zu ergänzen würde eine Messgenauigkeit behaupten, die die Eingabe nicht hergibt; wer fünf Stellen braucht, muss sie in der Eingabe schreiben, und 123.00 zählt hier tatsächlich als fünfstellig. Die Zählung folgt der üblichen Konvention und nicht der Konvention über den Dezimalpunkt als Genauigkeitsangabe: Eine abschließende Null vor dem Komma zählt nur dann mit, wenn ein Dezimalpunkt dahinter steht. Deshalb sind 1200 und 1200. für diesen Rechner zwei verschiedene Zahlen mit zwei und vier signifikanten Stellen, obwohl sie denselben Wert haben. Die Eingabe ist auf fünfzehn signifikante Stellen begrenzt, weil oberhalb davon eine Gleitkommazahl benachbarte ganze Zahlen nicht mehr unterscheiden kann; längere Zahlen werden abgelehnt und nicht gerundet. Ein Gruppentrennzeichen wird nicht angenommen, und ein 1.234 gilt als Zahl zwischen eins und zwei, weil der Punkt hier der Dezimaltrenner ist. Das Runden von 5 wird nach der kaufmännischen Regel behandelt, also immer aufgerundet; die in der Messtechnik verbreitete Rundung auf die gerade Ziffer, die bei vielen 5-Ziffern einen systematischen Fehler vermeidet, wird nicht angeboten. Und die Antwort sagt nichts darüber, ob die gerundete Zahl physikalisch sinnvoll ist: Ob ein Messwert auf zwei Stellen angegeben werden darf, hängt vom Messgerät ab und nicht vom Rechner.

Wie zähle ich signifikante Stellen?

Alle Ziffern ungleich null zählen. Nullen zwischen zwei Ziffern ungleich null zählen ebenfalls, wie die beiden Nullen in 1002. Führende Nullen zählen nie, weil sie nur den Dezimalpunkt an die richtige Stelle tragen. Abschließende Nullen sind der einzige Fall, der von der Schreibweise abhängt: In 1200 zählen sie nicht, in 1200. zählen sie, weil der Punkt am Ende sagt, dass sie hingeschrieben wurden.

Warum hat 1200 nur zwei signifikante Stellen?

Weil die beiden Nullen ohne weiteren Hinweis nur sagen, wie groß die Zahl ist, und nicht, wie genau sie gemessen wurde. 1200 könnte auf den Hunderter gerundet sein oder exakt sein, und aus der Schreibweise allein ist das nicht zu entscheiden. Mit dem Punkt am Ende schreiben Sie die Nullen bewusst hin, und dann sind es vier signifikante Stellen. Es ist derselbe Wert mit zwei verschiedenen Aussagen.

Was ist der Unterschied zwischen signifikanten Stellen und Dezimalstellen?

Dezimalstellen zählen nur die Ziffern rechts vom Dezimalpunkt, signifikante Stellen zählen die Ziffern, die etwas über die Genauigkeit aussagen, und zwar auf beiden Seiten. 0.004560 hat sechs Dezimalstellen, aber nur vier signifikante Stellen, und 1200 hat null Dezimalstellen, aber zwei signifikante Stellen. Beide Angaben sind nützlich, sie beantworten aber verschiedene Fragen.

Warum werden keine Nullen angehängt, wenn ich mehr Stellen verlange, als die Zahl hat?

Weil das Anhängen von Nullen eine Genauigkeit behaupten würde, die die Eingabe nicht hat. 123 auf fünf Stellen ist 123, nicht 123.00: Die beiden Nullen würden sagen, dass bis auf die Hundertstelstelle gemessen wurde, und das weiß der Rechner nicht. Wenn Sie fünf Stellen brauchen, schreiben Sie sie in die Eingabe — 123.00 gilt hier als fünfstellig.

Warum wird der gerundete Wert auch in wissenschaftlicher Schreibweise angegeben?

Weil die gewöhnliche Form die Stellen nicht immer zeigt. Das gerundete Ergebnis von 9.99 auf zwei Stellen ist 10, und in dieser Schreibweise ist nicht zu sehen, dass zwei Stellen verlangt waren. Als 1.0 × 10¹ ist es zu sehen: Der Koeffizient trägt genau die Stellen, die das Ergebnis beansprucht, und der Exponent sagt, wo der Punkt hingehört.

Wie viele signifikante Stellen hat die Null?

Eine. Eine gemessene Null ist ein Messergebnis wie jedes andere und keine Abwesenheit von Information; die Null hat deshalb eine signifikante Stelle und nicht null. Der Rechner gibt für die Eingabe 0 den Wert 1 zurück, und die Tafel unter der Antwort führt dieselbe Zeile.

• Significant digits — the definition, the rules for counting them and the conventions for rounding a result to a given number of them — Wolfram MathWorld (United States)
• Rounding — the arithmetic of rounding to a given number of digits, including the tie-breaking conventions and the carry that changes an exponent — Wolfram MathWorld (United States)
• NIST Technical Note 1297 — Guidelines for Evaluating and Expressing the Uncertainty of NIST Measurement Results; the reference for how many digits a measured result may carry — National Institute of Standards and Technology (United States)
• Rundung — die deutsche Fachbezeichnung für das Rundungsverfahren; der Artikel unterscheidet kaufmännisches Runden von den in der Messtechnik gebräuchlichen Varianten — DWDS – Digitales Wörterbuch der deutschen Sprache
• Bildungsstandards in Deutschland — Kultusministerkonferenz — die verbindlichen Vorgaben für das Fach Mathematik, in denen der Umgang mit Näherungswerten und das Runden zum Stoff gehören — Sekretariat der Ständigen Konferenz der Kultusminister der Länder in der Bundesrepublik Deutschland