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CalcMax

Wissenschaftliche-Notation-Rechner

Ergebnis

1.28 × 10³

Wissenschaftliche Schreibweise

E-Schreibweise
1.28e3
Gewöhnliche Schreibweise
1280

Dieser Rechner rechnet mit zwei Zahlen in wissenschaftlicher Schreibweise. Er multipliziert, dividiert, addiert und subtrahiert sie und gibt das Ergebnis in drei Fassungen aus: als Koeffizient mal Zehnerpotenz, als e-Schreibweise und als gewöhnliche Dezimalzahl. Die Eingabe erfolgt in e-Schreibweise oder als gewöhnliche Dezimalzahl — 3.2e5 und 320000 sind dasselbe —, und genau darin liegt der Nutzen der Schreibweise: Sie trennt den Wert in zwei kurze Stücke, eine Zahl zwischen eins und zehn und einen Exponenten, und diese Trennung macht große und kleine Größen vergleichbar, ohne Nullen zu zählen. Beim Multiplizieren und Dividieren ist das der ganze Trick. Zwei Zehnerpotenzen werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert: 10ᵐ × 10ⁿ = 10ᵐ⁺ⁿ. Also rechnet man die Koeffizienten getrennt aus, 3.2 × 4 = 12.8, und zählt die Exponenten zusammen, 5 + (−3) = 2. Das Ergebnis 12.8 × 10² ist noch keine saubere wissenschaftliche Schreibweise, weil der Koeffizient nicht zwischen eins und zehn liegt; man schiebt den Dezimalpunkt eine Stelle nach links und hebt den Exponenten um eins an, und heraus kommt 1.28 × 10³. Bei der Division werden die Exponenten subtrahiert statt addiert, alles andere bleibt gleich. Die Addition und die Subtraktion sind der Gegenfall und der Grund, warum diese Seite sie trotzdem anbietet: Hier hilft der Exponent überhaupt nicht. 10² + 10³ ist nicht 10⁵, sondern 1100, denn Potenzen lassen sich nur addieren, wenn sie dieselbe Hochzahl haben. Die beiden Zahlen müssen also erst in dieselbe Zehnerpotenz gebracht und ausgeschrieben werden, bevor man sie verrechnet — weshalb die Aufgabe, die in wissenschaftlicher Schreibweise gestellt wird, für die Addition in gewöhnlicher Arithmetik gelöst wird. Sehenswert ist der dritte Beispielrechner auf dieser Seite: 0.1 + 0.2 ergibt hier exakt 3 × 10⁻¹ und nicht 0.30000000000000004. Der Grund liegt in der Anzeigegenauigkeit: Das Ergebnis wird auf fünfzehn signifikante Stellen gekürzt, und die abweichenden Ziffern stehen erst an der sechzehnten und siebzehnten Stelle. In gewöhnlicher Gleitkommaarithmetik addiert man zwei Zahlen, die beide im Binärsystem periodische Brüche sind, und die abgeschnittenen Reste summieren sich zu einer sichtbaren Abweichung — hier fallen sie weg. Beachten Sie, dass die Antwort die gewöhnliche Form ohne Trennzeichen druckt: 1280 und nicht 1.280, und 30000 und nicht 30.000. Das ist Absicht, denn die gewöhnliche Form ist hier als rohe Gegenprobe zur Potenzschreibweise gedacht und nicht als deutsch gesetzte Zahl. Die Eingabe ist auf fünfzehn signifikante Stellen und auf Exponenten zwischen −99 und 99 begrenzt. Fünfzehn Stellen sind genau die Breite, in der eine 64-Bit-Gleitkommazahl eine Dezimalzahl unverändert zurückgibt. Die ausgeschriebene Form 3.2 × 10⁵ wird nicht angenommen, weil sie sich auf mehrere Arten tippen lässt und ein falsch gelesenes Zeichen ein falsch gerechnetes Ergebnis wäre; die e-Schreibweise steht stattdessen auf dem Panel und lässt sich von dort zurück in das Eingabefeld kopieren. Ein Ergebnis darf die Eingabegrenze überschreiten — 1e-90 ÷ 1e90 ergibt 1 × 10⁻¹⁸⁰ —, und eine Division durch null wird abgelehnt statt als unendlich ausgegeben.

Die Zehnerpotenzen von 10⁻⁹ bis 10⁹, als gewöhnliche Zahl und in e-Schreibweise

Zehnerpotenzgewöhnliche Zahle-Schreibweise
1 × 10⁻⁹0.0000000011e-9
1 × 10⁻⁶0.0000011e-6
1 × 10⁻³0.0011e-3
1 × 10⁻²0.011e-2
1 × 10⁻¹0.11e-1
1 × 10⁰11e0
1 × 10¹101e1
1 × 10²1001e2
1 × 10³10001e3
1 × 10⁴100001e4
1 × 10⁵1000001e5
1 × 10⁶10000001e6
1 × 10⁹10000000001e9

Dieselbe Größe in drei Spalten, von einem Milliardstel bis zu einer Milliarde. Lesen Sie die Tafel als Nachschlagewerk für die Frage, wie viele Nullen eine Hochzahl bedeutet — 10⁻⁶ ist ein Millionstel und hat sechs Nachkommastellen, 10⁹ ist eine Milliarde und hat neun Nullen. Die Zeile 1 × 10⁰ ist die, über die man stolpert: Jede Zahl hoch null ist eins, die Zehnerpotenz mit dem Exponenten null ist also die Eins selbst und nicht die Zehn. Und die Zeile 1 × 10¹ ist die zweite Stolperstelle, denn hier wird der Exponent zum ersten Mal wirklich geschrieben, statt weggelassen zu werden. Die Tafel ist fest und ändert sich nicht, wenn sich die Eingabe darüber ändert; sie ist keine Antwort, sondern der Maßstab, gegen den eine Antwort gelesen wird, und die beiden dürfen deshalb nicht als Widerspruch verstanden werden. Die Reihe ist nicht lückenlos: Zwischen 10⁶ und 10⁹ fehlen die 10⁷ und die 10⁸, weil in der Praxis die Sprünge um drei Zehnerpotenzen die gebräuchlichen sind. Die Zahlen gibt der Rechner unverändert aus: Der Dezimaltrenner ist in der Tabelle der Punkt (0.000001 statt 0,000001), weil die Zellwerte unverändert durchgereicht werden und nicht durch eine Textvorlage laufen.

Formel

3.2e5 × 4e-3 = 1.28 × 10³ = 1.28e3 = 1280; 10ᵐ × 10ⁿ = 10ᵐ⁺ⁿ; 0.1 + 0.2 = 3 × 10⁻¹ = 3e-1 = 0.3

3.2e5 and 4e-3
Die beiden Zahlen, in wissenschaftlicher Schreibweise oder in e-Schreibweise eingegeben. Beide Eingabefelder akzeptieren beide Formen, und ein Koeffizient außerhalb des Bereichs von eins bis zehn wird beim Rechnen normalisiert, sodass die Ausgabe immer in der sauberen Form steht
× ÷ + −
Die vier Rechenarten, die zur Auswahl stehen. Die beiden ersten arbeiten mit den Exponenten, die beiden letzten nicht: Beim Multiplizieren werden die Exponenten addiert und beim Dividieren subtrahiert, beim Addieren und Subtrahieren müssen die Zahlen dagegen erst auf dieselbe Zehnerpotenz gebracht werden
10ᵐ × 10ⁿ = 10ᵐ⁺ⁿ
Die Regel für die Multiplikation, und der Grund, warum die Schreibweise überhaupt erfunden wurde. Zwei Zehnerpotenzen zu multiplizieren heißt, die Exponenten zu addieren; der Koeffizient wird daneben getrennt ausmultipliziert, und danach wird das Ergebnis wieder auf einen Koeffizienten zwischen eins und zehn gebracht
1.5 × 10³ + 2.5 × 10²
Warum die Addition einen anderen Weg braucht. 10² + 10³ ist nicht 10⁵, sondern 1100 — und 1.5 × 10³ + 2.5 × 10² ist 1750 und nicht 4 × 10⁵. Potenzen mit verschiedener Hochzahl lassen sich nicht zusammenfassen, also werden beide Zahlen ausgeschrieben, in gewöhnlicher Arithmetik addiert und das Ergebnis wieder in die Schreibweise gebracht
0.1 + 0.2 = 3 × 10⁻¹
Der Fall, in dem diese Seite ein besseres Ergebnis liefert als ein gewöhnlicher Taschenrechner. In Gleitkomma ergibt 0.1 + 0.2 den Wert 0.30000000000000004, weil beide Summanden im Binärsystem periodische Brüche sind; das Ergebnis wird hier auf fünfzehn signifikante Stellen gekürzt, und die abweichenden Ziffern stehen erst an der sechzehnten Stelle. Heraus kommt 3 × 10⁻¹
1.28 × 10³, 1.28e3, 1280
Die drei Ausgabeformen ein und desselben Ergebnisses: als Koeffizient mal Zehnerpotenz, als e-Schreibweise und als gewöhnliche Dezimalzahl. Die dritte wird ohne Trennzeichen gedruckt, 1280 und nicht 1.280, weil sie hier als Gegenprobe zur Potenzform dient und nicht als deutsch gesetzte Zahl

Die wissenschaftliche Schreibweise ist die Form, in der Naturwissenschaft und Technik Zahlen aufschreiben, die zu groß oder zu klein sind, um sie bequem auszuschreiben. Ein Atomradius von 0.0000000001 m wird zu 1 × 10⁻¹⁰ m, die Lichtgeschwindigkeit von 300000000 m/s zu 3 × 10⁸ m/s, und in beiden Fällen zählt man beim Lesen keine Nullen mehr, sondern liest zwei kurze Stücke. Wer Messwerte verschiedener Größenordnung vergleicht — die Masse eines Elektrons gegen die Masse eines Autos —, sieht in dieser Form sofort, dass der Unterschied in der Hochzahl steckt und nicht in den Ziffern; in gewöhnlicher Schreibweise gehen die relevanten Stellen im Nullenwald unter. Diese Seite rechnet dann, wenn die Zahlen schon in dieser Form vorliegen und die Rechnung selbst das Problem ist: Die Exponentenregeln sind einfach, aber die Normalisierung am Ende wird regelmäßig vergessen, und die Addition zweier Zahlen in wissenschaftlicher Schreibweise ist die Falle, in der die Exponentenregel von der Multiplikation fälschlich weiterverwendet wird. Und der Falldreier, den sie zusätzlich abdeckt: Wenn Sie wissen wollen, was 0.1 + 0.2 auf einem gewöhnlichen Rechner in Gleitkomma ergibt, und die Abweichung erklären möchten, spielt diese Seite das Ergebnis in der exakten Fassung daneben. Für die andere Richtung — eine gewöhnliche Zahl in die Schreibweise zu bringen oder wieder auszupacken, ohne mit ihr zu rechnen — ist der Standardform-Rechner zuständig, und wenn die Frage nicht dem Wert sondern der Genauigkeit gilt, ist es der Signifikante-Stellen-Rechner.

Rechenbeispiele

  1. Multiplizieren: 3.2 × 10⁵ mal 4 × 10⁻³

    1. Die Koeffizienten getrennt multiplizieren: 3.2 × 4 = 12.8
    2. Die Exponenten addieren: 5 + (-3) = 2
    3. Das rohe Ergebnis ist 12.8 × 10²
    4. Der Koeffizient liegt nicht zwischen 1 und 10, also wird der Dezimalpunkt eine Stelle nach links geschoben und der Exponent um eins erhöht
    5. Ergebnis: 1.28 × 10³, in e-Schreibweise 1.28e3, und als gewöhnliche Zahl 1280

    Der Standardfall, und der Schritt, den man vergisst, ist der vorletzte. 12.8 × 10² ist nicht falsch gerechnet, aber es ist nicht die saubere Form: Die Schreibweise verlangt einen Koeffizienten zwischen eins und zehn, und das Nachjustieren ist genau der Teil, in dem sich Punktverschiebung und Exponent gegenseitig aufheben müssen. Die Gegenprobe steht in der dritten Ausgabe: 1280 ist ein Tausenderbereich, und 1.28 × 10³ beschreibt denselben Wert.

  2. Dividieren: 9.6 × 10⁷ durch 3.2 × 10³

    1. Die Koeffizienten getrennt dividieren: 9.6 ÷ 3.2 = 3
    2. Die Exponenten subtrahieren: 7 - 3 = 4
    3. Der Koeffizient 3 liegt schon zwischen 1 und 10, es ist also nichts nachzujustieren
    4. Ergebnis: 3 × 10⁴, in e-Schreibweise 3e4, und als gewöhnliche Zahl 30000

    Der Gegenfall zur Multiplikation, und der einzige Unterschied ist das Vorzeichen der Exponentenrechnung: Beim Dividieren wird subtrahiert. Sehenswert ist außerdem, dass der Koeffizient hier rein zufällig sauber herauskommt; hätte man 9.5 ÷ 3.2 gerechnet, wäre das Nachjustieren wieder nötig gewesen. Die gewöhnliche Form 30000 wird ohne Trennzeichen gedruckt.

  3. Addieren von 0.1 und 0.2

    1. Die Exponentenregel der Multiplikation gilt hier nicht: 10⁻¹ + 10⁻¹ ist nicht 10⁰
    2. Beide Zahlen werden auf dieselbe Zehnerpotenz gebracht, also ausgeschrieben: 0.1 und 0.2
    3. In gewöhnlicher Arithmetik addiert ergibt das 0.3
    4. Wieder in die Schreibweise gebracht: 3 × 10⁻¹, in e-Schreibweise 3e-1
    5. Das Ergebnis ist exakt 0.3, nicht 0.30000000000000004

    Der Fall, für den diese Seite über den Wert hinaus nützlich ist. In gewöhnlicher Gleitkommaarithmetik ergibt 0.1 + 0.2 den Wert 0.30000000000000004, weil beide Summanden im Binärsystem periodische Brüche sind und die Reste sich aufsummieren; hier wird das Ergebnis auf fünfzehn signifikante Stellen gekürzt, und die abweichenden Ziffern fallen weg. Wer den Unterschied erklären will, hat damit beide Zahlen nebeneinander. Bemerkenswert ist auch, dass der Exponent hier negativ ist: 3 × 10⁻¹ beschreibt einen Wert unter eins, und das Minuszeichen gehört zum Exponenten, nicht zum Koeffizienten.

Einschränkungen

Die Eingabe ist auf fünfzehn signifikante Stellen und auf Exponenten zwischen −99 und 99 begrenzt. Die fünfzehn Stellen sind die Breite, in der eine 64-Bit-Gleitkommazahl eine Dezimalzahl unverändert zurückgibt; 12345678901234567890 wird deshalb abgelehnt und nicht stillschweigend gerundet. Ein Ergebnis darf über die Eingabegrenze hinausgehen: 1e-90 ÷ 1e90 ergibt 1 × 10⁻¹⁸⁰, und die gewöhnliche Form dieser Zahl ist eine Zeile mit fast zweihundert Zeichen — genau der Fall, für den die Schreibweise erfunden wurde. Eine Division durch null wird abgelehnt und nicht als unendlich ausgegeben. Bei der Addition und der Subtraktion ist die Ausgabe nur so genau wie die fünfzehn Anzeigestellen: Wer 1 × 10²⁰ und 1 addiert, bekommt 1 × 10²⁰ zurück, weil die Eins in dieser Darstellung keinen Platz mehr hat. Dass 0.1 + 0.2 hier sauber herauskommt, liegt an dieser Kürzung auf fünfzehn Stellen und nicht daran, dass die Gleitkommaarithmetik exakt wäre. Die ausgeschriebene Form 4.5 × 10⁴ wird nicht angenommen, und ebenso wenig ein Gruppentrennzeichen; der Punkt ist hier der Dezimaltrenner, ein 1.234 gilt also als Zahl zwischen eins und zwei und nicht als eintausendzweihundertvierunddreißig. Brüche, Wurzeln und negative Exponenten in der Form 10⁻³ sind überhaupt keine Eingabe. Die Antwort wird nie auf eine bestimmte Stellenzahl gerundet, und die gewöhnliche Form verliert oberhalb von fünfzehn signifikanten Stellen Ziffern. Und schließlich prüft diese Seite nicht, ob die Eingabe physikalisch sinnvoll ist: Sie rechnet mit dem, was dasteht, und sagt Ihnen nicht, ob ein Ergebnis viele signifikante Stellen vortäuscht.

Häufige Fragen

Was ist die wissenschaftliche Schreibweise?
Eine Zahl als Koeffizient zwischen eins und zehn mal einer Zehnerpotenz: 300000000 wird zu 3 × 10⁸, und 0.0000000001 wird zu 1 × 10⁻¹⁰. Der Koeffizient trägt die Ziffern, der Exponent trägt die Größenordnung, und der Nutzen ist, dass man beim Lesen keine Nullen mehr zählen muss.
Was ist die e-Schreibweise, und warum druckt die Seite sie?
Dieselbe Form in einer Zeile, wie Programme und Taschenrechner sie schreiben: 1.28e3 bedeutet 1.28 × 10³. Sie wird gedruckt, weil sie das ist, was Sie in die Eingabefelder tippen können, und weil sie in Quelltexten und Datenblättern überall vorkommt. Beide Formen bezeichnen denselben Wert.
Warum ergibt 0.1 + 0.2 hier genau 0.3?
Weil das Ergebnis auf fünfzehn signifikante Stellen gekürzt wird. In gewöhnlicher Gleitkommaarithmetik ist 0.1 + 0.2 gleich 0.30000000000000004, weil beide Summanden im Binärsystem periodische Brüche sind; die abweichenden Ziffern stehen an der sechzehnten und siebzehnten Stelle und fallen bei fünfzehn Stellen weg. Es ist also eine Frage der Anzeigegenauigkeit und keine Aussage darüber, wie genau die Eingaben gemessen wurden.
Kann ich 4.5 × 10⁴ in die Eingabefelder tippen?
Nein, das Eingabefeld nimmt die Zahl ohne die Potenz entgegen, also 4.5e4 oder 45000. Eine eingetippte Zehnerpotenz wird nicht als Teil der Zahl gelesen, und Brüche oder Wurzelzeichen ebenso wenig. Die Potenzform ist das, was der Rechner ausgibt, und die e-Schreibweise das, was er annimmt.
Wie multipliziere und dividiere ich in wissenschaftlicher Schreibweise?
Beim Multiplizieren werden die Koeffizienten multipliziert und die Exponenten addiert, denn 10ᵐ × 10ⁿ = 10ᵐ⁺ⁿ. Beim Dividieren werden die Koeffizienten dividiert und die Exponenten subtrahiert. Danach wird das Ergebnis auf einen Koeffizienten zwischen eins und zehn normalisiert, indem der Dezimalpunkt verschoben und der Exponent entsprechend angepasst wird.
Sagt die Antwort, wie viele signifikante Stellen sie hat?
Nein. Der Koeffizient zeigt die Ziffern, die gerechnet wurden, aber der Rechner zählt sie nicht für Sie und rundet auch nicht auf eine bestimmte Anzahl. Ob ein Ergebnis mit vier signifikanten Stellen sinnvoll ist, hängt davon ab, wie genau die Eingaben waren, und das ist die Frage des Signifikante-Stellen-Rechners.

Quellen

Verwandte Rechner

Standardform-RechnerWandelt zwischen Standardform und gewöhnlicher Zahl um.Signifikante-Stellen-RechnerZählt signifikante Stellen und rundet auf eine feste Anzahl.Potenz-RechnerErhebt eine Zahl in jede Potenz, auch negative Exponenten.Rundungs-RechnerRundet auf jede Stelle oder auf signifikante Stellen.