Stellenwert-Rechner

205.04 = 2 × 100 + 0 × 10 + 5 × 1 + 0 × 0.1 + 4 × 0.01; die Stellenwerte laufen als 10ⁿ mit n = 2, 1, 0, −1, −2; 4.5e4 listet 4 × 10000 und 5 × 1000, größte Stelle 10000, kleinste Stelle 1000

205.04

Die Zahl, die gelesen wird, als gewöhnliche Dezimalzahl oder in e-Schreibweise angegeben. Jede ihrer Ziffern wird in der Reihenfolge aufgeführt, in der sie geschrieben steht, die Position jedes Terms in der Antwort entspricht also der Position der Ziffer in der Eingabe

0 × 10

Der Term einer Nullziffer, der behalten statt gestrichen wird. Die Zehnerstelle von 205.04 enthält eine Null, und diese Null ist der Grund, warum die Zahl 205 heißt und nicht 25; ihr Stellenwert wird also zusammen mit den übrigen aufgeführt, obwohl die Ziffer nichts zur Gesamtsumme beiträgt

10ⁿ

Der Stellenwert einer beliebigen Position, wobei der Exponent die Schritte von der Einerstelle zählt: positiv für Zehner, Hunderter und Tausender, null an der Einerstelle selbst und negativ für Zehntel, Hundertstel und Tausendstel. Der Exponent ist die Adresse der Stelle

× 10

Das Malzeichen in jedem Term. Die Zeile liest sich durchgehend als Ziffer mal Stellenwert, und genau das macht klar, dass die Ziffer 5 in 205.04 fünf wert ist und nicht fünfhundert, obwohl die beiden in der Antwort nebeneinander stehen

10000 and 1000

Die größte und die kleinste Stelle, die die Zahl benutzt, als ihre Werte gedruckt. In 4.5e4 sind das 10000 und 1000 statt 10000 und 1, weil die e-Schreibweise nur die Ziffern des Koeffizienten benennt und die abschließenden Nullen der ausgeschriebenen Zahl nicht dazugehören

0.1 and 0.01

Zwei Stellenwerte rechts vom Dezimalpunkt, als Dezimalzahlen gedruckt statt in Potenzform, weil man sie so vorliest. 0.1 ist die Zehntelstelle und 0.01 die Hundertstelstelle, und jede ist ein Zehntel der Stelle links von ihr

Die Stellenwerttafel ist das erste Werkzeug, mit dem eine Zahl überhaupt auseinandergenommen wird, und sie bleibt das Werkzeug, mit dem das schriftliche Rechnen geprüft wird. Beim schriftlichen Addieren und Subtrahieren steht jede Ziffer unter der Ziffer derselben Stelle, und wer die Spalten nicht im Kopf hat, verrechnet sich beim Übertrag; beim Entleihen muss man wissen, dass die geliehene Eins aus der nächsten Spalte zehn wert ist, und das ist nichts anderes als der Stellenwert. Diese Seite ist auch die richtige, wenn eine Ziffer einzeln geprüft werden soll: Wie viel ist die 7 in 3.700 wert, und in welcher Spalte steht sie — die Zusammenfassung zur Summe, die der Zahlenzerlegung-Rechner gibt, beantwortet das nicht, weil sie die Nullterme wegwirft und die Stelle damit unsichtbar macht. Praktisch wird die Aufstellung überall dort gebraucht, wo eine Zahl durch ein festes Raster läuft: Wer eine achtstellige Nummer in ihre Felder zerlegt, eine Messreihe auf gleiche Nachkommastellen bringt oder eine Kontonummer prüft, arbeitet mit Stellen und nicht mit Beträgen. Und wer gerade erst anfängt und wissen will, was die Ziffern hinter dem Dezimalpunkt bedeuten, findet hier die Namen: Zehntel, Hundertstel, Tausendstel, jede ein Zehntel der vorigen. Für die andere Richtung — die Stellenwerte zu einer Summe zusammenzuziehen und die Nullterme dabei wegzulassen — ist der Zahlenzerlegung-Rechner zuständig, und wer die Stellenwerte stattdessen zu einer Zehnerpotenz zusammenfassen will, landet beim Standardform-Rechner.

1. Eine Zahl mit je einer Ziffer links und rechts vom Punkt: 205.04

   1. Die Ziffern von links nach rechts lesen: 2, 0, 5, 0, 4
   2. Die 2 steht drei Stellen links von der Einerstelle: 2 × 100
   3. Die 0 auf der Zehnerstelle behält ihren Term: 0 × 10
   4. Die 5 steht auf der Einerstelle, deren Wert 1 ist, ihr Term ist also 5 × 1
   5. Die 0 auf der Zehntelstelle behält ihren Term: 0 × 0.1
   6. Die 4 steht zwei Stellen rechts von der Einerstelle, auf der Hundertstelstelle: 4 × 0.01
   7. Die größte benutzte Stelle ist 100 und die kleinste 0.01, die Zahl reicht also von den Hundertern bis zu den Hundertsteln

   Die Voreinstellung und zugleich der Fall mit je einer Null auf beiden Seiten des Dezimalpunkts, sodass beide Richtungen des Spiegels auf einmal sichtbar sind. Der Vergleich mit derselben Eingabe auf der Seite für die erweiterte Schreibweise lohnt sich: dort lautet die Antwort 200 + 5 + 0.04, also drei Terme statt fünf. Die beiden Terme, die sich unterscheiden, sind genau die beiden Nullen, und der Grund ist, dass die eine Seite Stellen auflistet und die andere Beträge addiert.

2. Eine ganze Zahl mit abschließenden Nullen: 1200

   1. Die Ziffern sind 1, 2, 0, 0, und die Stellen laufen Tausender, Hunderter, Zehner, Einer
   2. Die 1 ist 1000 wert und die 2 ist 200 wert
   3. Beide Nullen bleiben als Terme stehen, weil die Positionen, die sie besetzen, weiterhin existieren: 0 × 10 und 0 × 1
   4. Die größte benutzte Stelle ist der Tausender und die kleinste die Einerstelle, deren Wert 1 ist

   Die Nullen sind hier der Punkt. Ließe man sie weg, blieben 1 × 1000 und 2 × 100 übrig — genau das tut die Seite für die erweiterte Schreibweise, und dort ist es eine völlig richtige Antwort, weil eine Summe keine Terme braucht, die null wert sind. Hier bleiben sie stehen, weil die Zehner- und die Einerstelle echte Positionen in der Zahl 1200 sind und wer eine schriftliche Subtraktion prüft, wissen muss, dass sie besetzt sind. Bemerkenswert ist außerdem, dass die kleinste Stelle 1 ist und nicht 0.01: Die Zahl hat keinen Dezimalpunkt, ihre letzte Ziffer sitzt also auf der Einerstelle, und feiner geht es nicht.

3. Ein in e-Schreibweise angegebener Wert: 4.5e4

   1. 4.5e4 ist eine Schreibweise für 45000, benennt aber nur die Ziffern 4 und 5
   2. Die 4 ist die erste Ziffer des Koeffizienten und landet damit auf der Zehntausenderstelle: 4 × 10000
   3. Die 5 ist die zweite Ziffer und landet auf der Tausenderstelle: 5 × 1000
   4. Die drei Nullen, aus denen der Rest von 45000 besteht, stehen nicht in der Eingabe und werden deshalb nicht aufgeführt
   5. Die größte Stelle ist 10000 und die kleinste 1000 — nicht 1

   Der Fall, der wie ein Fehler aussieht und keiner ist. Wer 45000 tippt, bekommt die Liste bis zur Einerstelle hinunter; wer 4.5e4 tippt, bekommt sie bis zur Tausenderstelle, weil die e-Schreibweise ihre Größe im Exponenten trägt und nicht in geschriebenen Nullen, und diese Seite liest die Ziffern, die sie bekommen hat. Beide Eingaben beschreiben denselben Wert, die zweite benennt nur weniger seiner Ziffern. Auch der Exponent innerhalb der Schreibweise wird nicht in Stellenterme ausmultipliziert, denn ein Term wie 0 × 100 würde eine Ziffer erfinden, die die Eingabe nie geschrieben hat.

Diese Seite liest Ziffern und addiert sie nicht. Die Antwort ist eine Liste von Termen, und wer die Summe will, muss sie selbst bilden oder den Zahlenzerlegung-Rechner nehmen. Nullen bleiben in der Liste, was bedeutet, dass die Aufstellung für 1200 vier Terme hat, obwohl eine Summe mit zwei Termen genügt — das ist kein Fehler, sondern der Zweck der Seite. Eine Ziffer oberhalb der Einerstelle wird nie durch eine führende Null ergänzt: 205.04 hat fünf Stellen und nicht acht, und eine links angehängte Null wäre eine Ziffer, die die Eingabe nicht enthält. Die e-Schreibweise wird so gelesen, wie sie geschrieben steht, weshalb 4.5e4 auf der Tausenderstelle endet und 45000 auf der Einerstelle; beide Eingaben sind derselbe Wert, und die beiden Antworten unterscheiden sich, weil die eine die ungeschriebenen Nullen der anderen nicht kennt. Ausgeschriebene Trennzeichen werden nicht akzeptiert, 1.234 gilt also als Zahl mit Dezimalpunkt und nicht als eintausendzweihundertvierunddreißig. Die Null hat keine Stellen und ergibt deshalb eine leere Liste. Und schließlich kennt diese Seite keine Stellen jenseits der Eingabe: Sie sagt Ihnen nicht, wie viele signifikante Stellen die Zahl hat, sie rundet nicht, und sie kann keine Ziffer liefern, die nicht geschrieben wurde — ob die abschließende Null in 0.004560 gemessen wurde, ist eine Frage für den Signifikante-Stellen-Rechner.

Was ist ein Stellenwert?

Der Wert, den eine Ziffer allein dadurch hat, dass sie an einer bestimmten Stelle steht. In 205.04 ist die 2 zweihundert wert und die 5 fünf, obwohl beide einzelne Ziffern sind; der Unterschied ist ihre Stelle. Die Stellenwerte folgen der Zehnerpotenz 10ⁿ mit der Einerstelle als 10⁰, und jede Stelle links ist zehnmal so viel wert wie die rechts von ihr.

Warum bleiben die Nullen hier in der Liste stehen?

Weil eine Null kein Nichts ist, sondern ein Platzhalter. Die Null auf der Zehnerstelle von 205.04 hält den Platz, der aus zweihundertfünf erst fünfundzwanzig machen würde, wenn man ihn streicht; die Liste soll die Zahl so zeigen, wie sie aufgebaut ist, deshalb bleibt der Term 0 × 10 stehen. Die Seite für die erweiterte Schreibweise streicht ihn, und dort ist das richtig, weil sie addiert.

Warum führt 4.5e4 keine Stelle unterhalb der Tausender auf?

Weil die Eingabe diese Ziffern nicht enthält. 4.5e4 benennt nur die Ziffern 4 und 5 und trägt die Größe im Exponenten; die Nullen von 45000 sind nicht geschrieben, und diese Seite liest nur, was dasteht. Tippen Sie 45000, läuft die Liste bis zur Einerstelle hinunter, denn dort sind die Nullen geschrieben. Es ist derselbe Wert mit zwei verschiedenen Listen, und keine von beiden ist falsch.

Was sind Zehntel, Hundertstel und Tausendstel?

Die Stellen rechts vom Dezimalpunkt. Die erste ist die Zehntelstelle, der Wert 0.1, also ein Zehntel; die zweite ist die Hundertstelstelle mit dem Wert 0.01; die dritte die Tausendstelstelle mit 0.001. Jede ist ein Zehntel der Stelle links von ihr, das ist das ganze Muster. Der Rechner druckt sie als Dezimalzahlen, weil man sie so vorliest, und nicht als 10⁻¹ und 10⁻².

Warum steht in der Antwort 2 × 100 und nicht 2 Hunderter?

Weil die Antwort eine Rechnung ist und keine Spaltenüberschrift. Die Zeile liest sich als Ziffer mal Stellenwert, durchgehend nach demselben Muster, und genau das zeigt, dass die Ziffer 2 in 205.04 zweihundert wert ist und nicht zwei. Die Benennungen der Stellen — Hunderter, Zehner, Einer, Zehntel, Hundertstel — finden Sie in der Tafel unter der Antwort.

Sagt mir diese Seite die Summe der Ziffern?

Nein. Sie listet die Terme auf und hört dort auf; die Summe zu bilden ist ein eigener Schritt, und der Zahlenzerlegung-Rechner führt ihn aus und lässt dabei die Terme weg, die null wert sind. Das ist der ganze Unterschied der beiden Seiten: Diese hier zeigt die Stellen, jene die Summe.

• Place value — how a digit's position determines what it is worth, with the chart on both sides of the decimal point — Math is Fun (United Kingdom)
• Stellenwerttafel — die Tafel, in der jede Stelle eine Spalte bekommt und die Ziffern einer Zahl spaltenweise eingetragen werden — DWDS – Digitales Wörterbuch der deutschen Sprache
• Zehnerpotenz — die Potenz 10ⁿ, mit der die Stellenwerte beschriftet werden; der Exponent zählt die Schritte von der Einerstelle — DWDS – Digitales Wörterbuch der deutschen Sprache
• Bildungsstandards in Deutschland — Kultusministerkonferenz — die verbindlichen Vorgaben für das Fach Mathematik, in denen das Stellenwertschreiben und die Benennung der Stellen rechts vom Komma zur Grundschulmathematik gehören — Sekretariat der Ständigen Konferenz der Kultusminister der Länder in der Bundesrepublik Deutschland