Zahlenzerlegung-Rechner

3456 = 3000 + 400 + 50 + 6 = 3 × 10³ + 4 × 10² + 5 × 10¹ + 6 × 10⁰; 205.04 = 200 + 5 + 0.04 = 2 × 10² + 5 × 10⁰ + 4 × 10⁻²; -550 = -(500 + 50)

3456

Die Zahl, die zerlegt wird, als gewöhnliche Dezimalzahl oder in e-Schreibweise angegeben. Ihre Ziffern werden nicht verändert und nichts wird gerundet; die Zahl wird nur neu ausgedrückt, eine Zerlegung also, die nicht wieder die Eingabe ergibt, ist ein Fehler und keine Rundungsentscheidung

3000 + 400 + 50 + 6

Die erweiterte Schreibweise — ein Term je Ziffer ungleich null, und jeder Term ist diese Ziffer mal dem Wert ihrer Stelle. Die Ziffern erscheinen in ihrer ursprünglichen Reihenfolge von links nach rechts, die Zeile liest sich also so wie die Zahl selbst

3 × 10³

Derselbe Term mit dem Stellenwert als Zehnerpotenz. Der Exponent ist der Abstand der Ziffer von der Einerstelle, nach links positiv und nach rechts negativ gezählt, weshalb die Einerstelle selbst 10⁰ ist und nicht 10¹

200 + 5 + 0.04

Wohin die Nullen gehen. 205.04 hat eine Null auf der Zehnerstelle und eine auf der Zehntelstelle, und beide Terme entfallen, weil das Addieren von null eine Summe nicht ändert. Der Stellenwert-Rechner behält sie; diese Seite nicht, und dieser Unterschied ist der Grund, warum es beide Seiten gibt

4 × 10⁻³ + 5 × 10⁻⁴

Der Teil einer Zerlegung unterhalb des Dezimalpunkts, wo die Exponenten negativ sind. 0.004560 ergibt 4 × 10⁻³ + 5 × 10⁻⁴ + 6 × 10⁻⁵ — die abschließende Null der Eingabe erzeugt keinen Term, denn diese Seite liest einen Wert und bewahrt keine Schreibweise

−(500 + 50)

Wie eine negative Zahl geschrieben wird. Das Vorzeichen gilt für die ganze Summe und steht vor der Klammer, statt wie -500 + -50 auf jeden Term verteilt zu werden, was sich als Summe zweier negativer Zahlen läse

Die erweiterte Schreibweise ist die Form, in der der Stellenwert unterrichtet wird, und sie ist der Schritt zwischen dem Zählen und dem schriftlichen Rechnen. Wer 3456 als 3000 + 400 + 50 + 6 schreiben kann, sieht, warum die 3 und die 4 nicht einfach addiert werden dürfen — genau darauf beruht jede schriftliche Addition. Dieselbe Zerlegung erklärt unter einer Subtraktion das Entleihen und unter einer Multiplikation, warum 3000 × 4 etwas anderes ist als 3 × 4. Lange nach der Schulzeit bleibt sie die lesbare Fassung des Aufbaus einer Zahl: Wer zwei Messwerte derselben Größe vergleicht, sieht in der Zerlegung am schnellsten, in welcher Stelle die Abweichung sitzt, und wer ein Tabellenergebnis prüft, kann die Summe zerlegen und jede Ziffer gegen die Eingaben halten, statt der ganzen Zahl auf einmal zu vertrauen. Die exponentielle Fassung ist die Brücke zur wissenschaftlichen Schreibweise und zur Informatik: 3 × 10³ + 4 × 10² + 5 × 10¹ + 6 × 10⁰ ist ein Schritt von 3.456 × 10³ entfernt, und derselbe Ausdruck mit Zweierpotenzen statt Zehnerpotenzen ist genau die Art, wie eine Binärzahl zerlegt wird, bei der jedes Bit mit dem Wert seiner Position multipliziert wird. In die andere Richtung — eine Zahl wieder zu einem Koeffizienten und einer Zehnerpotenz zusammenzuziehen, wobei die einzelnen Ziffern verloren gehen statt aufgelistet zu werden — arbeitet der Standardform-Rechner. Und wenn die Frage einer bestimmten Ziffer gilt statt allen auf einmal, behält der Stellenwert-Rechner jede Ziffer an ihrem Platz, Nullen eingeschlossen, statt die Terme wegzulassen, die nichts wert sind.

1. Eine vierstellige Zahl: 3456

   1. Die Ziffern von links lesen: 3, 4, 5, 6
   2. Den Stellenwert jeder Ziffer benennen: Tausender, Hunderter, Zehner, Einer
   3. Jede Ziffer mit ihrem Stellenwert multiplizieren: 3 × 1000, 4 × 100, 5 × 10, 6 × 1
   4. Die Terme addieren: 3000 + 400 + 50 + 6
   5. Dieselben vier Terme mit den Stellenwerten als Zehnerpotenzen schreiben: 3 × 10³ + 4 × 10² + 5 × 10¹ + 6 × 10⁰

   Der Standardfall und bewusst der leichte: keine Nullen, kein Dezimalpunkt, kein Vorzeichen, der Aufbau der Antwort ist also zu sehen, bevor überhaupt eine Regel angewendet werden muss. Die Terme wieder zusammenzuzählen ergibt 3456 — die Probe, die zu jeder Zerlegung gehört: Die Terme müssen sich zur Ausgangszahl addieren, und jede Ziffer darf genau einmal vorkommen.

2. Eine Zahl mit Nullen und Dezimalpunkt: 205.04

   1. Die Ziffern sind 2, 0, 5, 0, 4, und ihre Stellen reichen von den Hundertern bis zu den Hundertsteln
   2. Die 2 ist 200 wert und die 5 ist 5 wert; die Nullen auf der Zehner- und der Zehntelstelle sind nichts wert und erzeugen keinen Term
   3. Die 4 steht zwei Stellen rechts vom Dezimalpunkt, ihr Stellenwert ist also 0.01 und ihr Term 0.04
   4. Die Zerlegung ist 200 + 5 + 0.04, was zusammen 205.04 ergibt
   5. Mit Zehnerpotenzen lauten dieselben Terme 2 × 10² + 5 × 10⁰ + 4 × 10⁻², und die Exponenten 2, 0 und -2 sind die Abstände von der Einerstelle

   Der zentrale Fall dieser Seite: zwei Nullen, eine auf jeder Seite des Dezimalpunkts, und keine von beiden erzeugt einen Term. Der Vergleich mit dem Stellenwert-Rechner lohnt sich — er antwortet für dieselbe Eingabe mit 2 × 100, 0 × 10, 5 × 1, 0 × 0.1, 4 × 0.01: fünf Terme gegen drei, und beide Antworten sind richtig, weil sie verschiedene Fragen beantworten. Auch der Exponent null in 5 × 10⁰ ist einen Blick wert: Die Einerstelle ist eine Stelle wie jede andere, und ihr Exponent ist null, weil die Ziffer null Stellen von sich selbst entfernt steht.

3. Eine negative Zahl: -550

   1. Zuerst die Ziffern nehmen und das Vorzeichen beiseitelassen: 5 und 5, auf der Hunderter- und der Zehnerstelle
   2. Ihre Terme sind 500 und 50, und die Null auf der Einerstelle trägt nichts bei
   3. Die Summe dieser Terme ist 550, und die Ausgangszahl ist diese Summe mit negativem Vorzeichen
   4. Das Vorzeichen einmal schreiben, außerhalb einer Klammer um die ganze Summe: -(500 + 50)

   Das Vorzeichen ist eine Eigenschaft der Zahl und nicht einer einzelnen Ziffer, und die Klammer ist die Art, das schriftlich zu sagen. Verteilt ergäbe es -500 + -50, arithmetisch identisch und schlechter zu lesen: Auf einer Seite, deren Ausgabe eine Summe ist, liest man zwei Minuszeichen als zwei addierte Zahlen, und wer die Zeile prüft, muss erst herausfinden, ob negative Ziffern oder eine negative Gesamtsumme gemeint waren.

4. Ein Wert unter eins mit abschließender Null: 0.004560

   1. Die signifikanten Ziffern suchen: 4, 5 und 6; die führenden Nullen positionieren nur den Dezimalpunkt
   2. Die 4 steht auf der Tausendstelstelle, ihr Term ist also 0.004
   3. Die 5 steht auf der Zehntausendstelstelle und ergibt 0.0005, die 6 auf der Hunderttausendstelstelle und ergibt 0.00006
   4. Die letzte Ziffer der Eingabe ist eine Null auf der Millionstelstelle; sie trägt nichts bei und erzeugt keinen Term
   5. Die Terme summieren sich zu 0.00456, dem Wert der Eingabe

   Die abschließende Null ist der interessante Teil, und hier trennen sich diese Seite und der Signifikante-Stellen-Rechner. Hier ist die Null einfach kein Term, weil eine Summe sie nicht braucht. Dort ist sie eine gemessene Ziffer und zählt zu den vier signifikanten Stellen, die 0.004560 trägt. Beide Lesarten stammen aus derselben Eingabe und keine ist ein Fehler — die eine handelt vom Wert der Zahl, die andere von der Genauigkeit der Messung.

Nullen erzeugen keine Terme. 205.04 wird zu 200 + 5 + 0.04 zerlegt und nicht zu 200 + 0 + 5 + 0 + 0.04, die Zerlegung ist also keine Ziffer-für-Ziffer-Abschrift der Eingabe; sie ist die Eingabe als Summe geschrieben, und Terme, die nichts wert sind, entfallen. Wer die Nullen behalten will, nimmt den Stellenwert-Rechner. Die Schreibweise mit Zehnerpotenz ist keine Eingabe: 4.5 × 10⁴ wird abgelehnt, und Tausendertrennzeichen ebenso, ein 3,456 ist also ein Fehler und nicht 3456. Der Punkt ist hier der Dezimaltrenner und nicht das Komma: 4.5 ist eine gültige Eingabe, 4,5 nicht. Eingaben sind auf fünfzehn signifikante Stellen und auf Exponenten innerhalb von ±99 begrenzt. Eine führende Null in einer geschriebenen ganzen Zahl, etwa in 007, bleibt ebenfalls nicht erhalten — sie hat überhaupt keinen Stellenwert, und die Zerlegung dieser Eingabe ist 7. Die Null ist an beiden Enden ein Sonderfall: Die Eingabe 0 wird zu 0 ohne Terme, und die Zerlegung jeder Zahl endet bei ihrer letzten Ziffer ungleich null statt am Ende der geschriebenen Form. Nichts wird gerundet und nichts wird umgerechnet, die Zerlegung von 9.99 ist also 9 + 0.9 + 0.09 und niemals 10. Und schließlich listet diese Seite Ziffern auf; sie addiert sie nicht für Sie, entscheidet nicht, wie viele davon signifikant sind, und schreibt die Zahl nicht als Koeffizient und Zehnerpotenz. Das sind drei verschiedene Aufgaben, und sie gehören zum Stellenwert-Rechner, zum Signifikante-Stellen-Rechner und zum Standardform-Rechner.

Was ist die erweiterte Schreibweise?

Eine Zahl als Summe ihrer Ziffern, jede mit dem Wert ihrer Stelle multipliziert: 3456 ist 3000 + 400 + 50 + 6. Das ist keine andere Zahl und keine kürzere Schreibweise, sondern dieselbe Zahl mit sichtbar gemachtem Stellenaufbau — deshalb ist es die Form, in der der Stellenwert zuerst unterrichtet wird, und die Form, die erklärt, warum das schriftliche Rechnen funktioniert.

Warum fallen die Nullen aus der Zerlegung heraus?

Weil ein Term, der null wert ist, aus einer Summe wegfallen darf, ohne sie zu ändern, und weil er die Zeile nur schwerer lesbar macht: 205.04 ist 200 + 5 + 0.04 und nicht 200 + 0 + 5 + 0 + 0.04. Der Stellenwert-Rechner vertritt die Gegenposition und behält jede Ziffer, weil sein Thema die Ziffern sind und nicht die Summe. Beide Seiten haben über dieselbe Zahl recht.

Worin unterscheiden sich erweiterte Schreibweise und erweiterte Notation?

Die zweite schreibt die Stellenwerte als Zehnerpotenzen: 3 × 10³ + 4 × 10² + 5 × 10¹ + 6 × 10⁰ statt 3000 + 400 + 50 + 6. Diese Seite druckt beide Fassungen untereinander, weil die erste das ist, was ein Stellenwertplan liefert, und die zweite das, was derselbe Plan liefert, sobald seine Spalten mit Exponenten beschriftet sind.

Wie wird eine Dezimalzahl zerlegt?

Genauso, wobei die Stellen rechts vom Dezimalpunkt negative Exponenten bekommen: 205.04 ist 2 × 10² + 5 × 10⁰ + 4 × 10⁻², denn die 4 steht zwei Stellen rechts von der Einerstelle. 0.004560 wird zu 4 × 10⁻³ + 5 × 10⁻⁴ + 6 × 10⁻⁵ zerlegt, und die abschließende Null trägt überhaupt keinen Term bei.

Warum wird -550 als -(500 + 50) geschrieben?

Weil das Vorzeichen zur ganzen Zahl gehört und nicht zu einer einzelnen Ziffer. Verteilt ergäbe es -500 + -50, denselben Wert, aber es liest sich wie zwei addierte negative Zahlen — verwirrend auf einer Seite, deren Ausgabe eine Summe ist. Einmal geschrieben, vor einer Klammer, sagt es: eine Zahl ist negativ, und das sind ihre Teile.

Sagt mir die erweiterte Schreibweise, wie viele signifikante Stellen eine Zahl hat?

Nein. Diese Seite listet die Ziffern und ihre Stellenwerte auf und hört dort auf; die abschließende Null von 0.004560 ist einfach kein Term. Ob diese Null gemessen wurde, ist eine andere Frage, und sie ist die des Signifikante-Stellen-Rechners — dort zählt sie mit, und die Zahl hat vier signifikante Stellen.

• Expanded notation — the same expansion written with powers of ten, under the name used in the United States — Wolfram MathWorld (United States)
• Stellenwert — Bedeutung und Verwendung des Begriffs in der deutschen Fachsprache: Der Wert einer Ziffer hängt davon ab, an welcher Stelle sie steht — DWDS – Digitales Wörterbuch der deutschen Sprache
• Zehnerpotenz — die Potenz 10ⁿ, mit der die Stellenwerte in der exponentiellen Fassung der erweiterten Schreibweise geschrieben werden — DWDS – Digitales Wörterbuch der deutschen Sprache
• Bildungsstandards in Deutschland — Kultusministerkonferenz — die verbindlichen Vorgaben für das Fach Mathematik, in denen Stellenwertschreiben und das Zerlegen von Zahlen zur Grundschulmathematik gehören — Sekretariat der Ständigen Konferenz der Kultusminister der Länder in der Bundesrepublik Deutschland