Zum Hauptinhalt springen
CalcMax

Zahlensystem-Rechner

Bereich: 2 – 36

Ergebnis

10001

Ergebnis

Dezimal
17
Rest
0

Jede Basis ist eine Regel dafür, wie aus einer Ziffernfolge ein Wert wird: Jede Ziffer wird mit der Basis hoch ihrer Stelle multipliziert — von rechts gezählt, die letzte Stelle hat den Exponenten 0, jede Stelle hat also einen festen Stellenwert — und die Ergebnisse werden addiert. Zur Basis 2 gibt es nur die Ziffern 0 und 1, und jeder Schritt nach links verdoppelt: 1011 ist 1×8 + 0×4 + 1×2 + 1×1, also 11. Zur Basis 16 laufen die Ziffern von 0 bis 9 und danach von A bis F, und jeder Schritt nach links multipliziert mit 16: FF ist 15×16 + 15, also 255. Auf dieser Seite wählen Sie eine Basis zwischen 2 und 36 und addieren, subtrahieren, multiplizieren oder dividieren darin. Eine Basis ist keine andere Sorte Zahl, sondern eine andere Art, dieselben Zahlen aufzuschreiben — deshalb lässt sich derselbe Wert in jedes andere Zahlensystem umrechnen, ohne dass sich an der Zahl etwas ändert, und deshalb steht in der Ergebniszeile die Antwort zweimal: einmal in der gewählten Basis und einmal als Dezimalzahl. 1011 plus 110 ergibt zur Basis 2 die Ziffernfolge 10001; das ist 11 plus 6, also 17, und 17 heißt zur Basis 2 eben 10001. Beide Zeilen sagen dasselbe; die Dezimalzeile ist für Leser gedacht, die nicht den ganzen Tag in einer anderen Basis rechnen. Drei Dinge sind vorab wichtig. Ziffern über der Neun brauchen Zeichen, und nach langer Übereinkunft stehen die Buchstaben A bis Z für Zehn bis Fünfunddreißig — deshalb ist die Basis 36 die größte, die sich mit den Zeichen einer Tastatur schreiben lässt. Eine Ziffer ist nur zulässig, wenn sie kleiner als die Basis ist; 2 ist zur Basis 2 keine Ziffer, und 1012 ist keine Dualzahl, obwohl es wie eine aussieht. Und die Basis selbst gehört nicht zur Antwort: 10001 bedeutet nur deshalb Siebzehn, weil Sie die Basis auf 2 gesetzt haben. Die Rechenarten sind gewöhnliche Rechenarten, geändert wird allein die Schreibweise: Ein Übertrag entsteht, wenn eine Spalte die Basis erreicht statt der Zehn, und deshalb rollt FF plus 1 auf 100 über und bleibt nicht bei FG stehen — ein G gibt es nicht, weil Sechzehn keine Ziffer ist. Am deutlichsten wird das beim Dividieren: Der Quotient und der Rest werden beide in Ihrer Basis ausgegeben. Der Rest steht immer da, auch bei den drei anderen Operationen; dort lautet er 0, denn für ganze Zahlen ist «nichts bleibt übrig» dasselbe wie «der Rest ist null». Subtrahieren kann unter null gehen, dann trägt die Antwort ein gewöhnliches Minuszeichen — das Vorzeichen gehört nicht zum Ziffernvorrat.

Die Zahl 255 in den Basen 2, 8, 10 und 16, mit ausgeschriebenen Stellenwerten

BasisSchreibweise in dieser BasisStellenwerte
211111111128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1
83773×64 + 7×8 + 7
102552×100 + 5×10 + 5
16FF15×16 + 15

Lesen Sie die mittlere Spalte von oben nach unten, dann erscheint derselbe Wert viermal: 11111111, 377, 255 und FF. An der Zahl hat sich von Zeile zu Zeile nichts geändert — nur die Zeichen und die Größe der Schritte. Die dritte Spalte ist die Rechnung, die jede Schreibweise zurück in die 255 verwandelt: In der Basis 2 stehen acht Einsen, also treten die Zweierpotenzen von 128 bis 1 alle auf; in der Basis 16 gibt es nur zwei Ziffern, aber die erste wird mit 16 multipliziert und nicht mit 2. Beachten Sie, wie die Breite mit steigender Basis fällt. Für die 255 braucht die Basis 2 acht Ziffern, die Basis 8 drei, die Basis 10 drei und die Basis 16 nur zwei — eine größere Basis sagt denselben Wert in weniger Stellen, weil jede Stelle mehr wert ist. Genau dieser Tausch ist der ganze Grund für die verschiedenen Basen: Die Basis 16 wird für Bytes benutzt, nicht weil sie mathematisch etwas Besonderes wäre, sondern weil zwei ihrer Ziffern genau ein Byte abdecken; und die Basis 2 steht eine Ebene darunter, weil eine Leitung, die nur an oder aus kennt, genau zwei Zustände hat. Die Tabelle folgt nicht den Zahlen, die Sie eingetippt haben — die beantwortet der Ergebnisbereich oben, hier stehen vier Schreibweisen eines einzigen Wertes.

Formel

1011 + 110 = 10001 zur Basis 2, und 11 + 6 = 17 im Dezimalsystem, also ist 10001 zur Basis 2 die 17 — ein Wert in zwei Schreibweisen

b
Die Zahlenbasis, eine ganze Zahl von 2 bis 36. Sie ist ein gewöhnliches Zahlenfeld und keine Liste mit fünfunddreißig Einträgen, deshalb sitzen die Grenzen direkt am Feld: 1 und 37 werden abgewiesen, bevor die Rechnung beginnt. Die Basis 1 ist unmöglich, weil ein einziges Zeichen nicht über die Null hinauszählen kann, und die Basis 37 bräuchte ein siebenunddreißigstes Zeichen, das keine Tastatur hat
1011
Die Elf in der Basis 2 geschrieben: 1×8 + 0×4 + 1×2 + 1×1. Lesen Sie von rechts nach links, denn in diese Richtung wachsen die Stellen. Dieselbe Elf heißt im Dezimalsystem 11, zur Basis 8 13 und zur Basis 16 B
10001
Die Antwort auf 1011 + 110, weiterhin zur Basis 2: 1×16 + 0×8 + 0×4 + 0×2 + 1×1, also 17. Unterwegs gab es zwei Überträge — die Einerstelle erreichte die 2 und die Viererstelle ebenfalls —, und jeder Übertrag rückte eine Stelle nach links, genau wie im Dezimalsystem ein Übertrag wandert, wenn eine Spalte die Zehn erreicht
FF
Fünfzehn mal sechzehn plus fünfzehn, das ist 255. Die Basis 16 passt genau auf ein Byte: zwei Hexadezimalstellen decken jeden Wert von 0 bis 255 ab, deshalb taucht diese Basis überall dort auf, wo Bytes auftauchen. A bis F sind die sechs Ziffern jenseits der Neun
17 ÷ 5 = 3 r 2
Die Division ausgeschrieben. In der Basis 2 lautet dieselbe Division 10001 ÷ 101 = 11 Rest 10, und die Seite druckt den Quotienten als Ergebnis und den Rest in einer eigenen Zeile. Der Rest ist immer kleiner als der Divisor — genau das macht ihn zu einem Rest und nicht zu einem Bruch
A bis Z
Die sechsundzwanzig zusätzlichen Ziffern, die das Dezimalsystem bis zur Basis 36 tragen. A ist Zehn, B ist Elf, Z ist Fünfunddreißig. Groß- und Kleinbuchstaben sind beide zulässig, ausgegeben werden Großbuchstaben

Einem System, das in einer anderen Basis spricht, einen Wert abzulesen ist der Alltagsfall. Ein Speicherauszug druckt jedes Byte als zwei Hexadezimalstellen, eine Dateiberechtigung erscheint als 755, weil jede der drei Ziffern drei Bits bündelt, eine Subnetzmaske besteht aus vier Gruppen zu acht Bits, und eine IPv6-Adresse ist durchgehend hexadezimal. In all diesen Fällen wollen Sie nicht den Dezimalwert sehen, sondern die Schreibweise, die die Maschine sieht. In dieselben Systeme hineinzuschreiben ist der Spiegel dazu: ein Bitmuster in ein Register setzen, eine Farbe aus ihren Rot-, Grün- und Blauwerten bauen oder nachvollziehen, warum ein verschobener Wert negativ geworden ist — immer rechnen Sie dabei in einer Basis, die nicht die Zehn ist. Wer im Kopf Dualzahlen addieren will — eine Prüfsumme nachrechnen, ein Registerbit umlegen —, sieht hier außerdem, wo die Überträge landen und warum eine Spalte bei der 2 überläuft. Im Unterricht dient das Rechnen in anderen Basen als der Beweis, dass das Stellenwertsystem eine Entscheidung und keine Tatsache ist; die Übungen sind genau das, was diese Seite tut — zur Basis 2 übertragen, zur Basis 8 borgen und dann sehen, dass dieselbe Operation in jeder Basis dasselbe liefert, solange beide Seiten in derselben Basis gelesen werden. Ein vierter Nutzen ist die Gegenprobe: Ergibt 1011 plus 110 in der Basis 2 nicht die 10001, dann stimmt eine der beiden Lesarten nicht, und erst beide Zeilen zusammen machen diese Prüfung möglich. Wenn die Basis genau 2 oder 16 ist, gehen die Nachbarseiten tiefer — binary-calculator und hex-calculator sind dieselbe Rechnung mit bereits eingetragener Basis, und die beiden Umrechner-Seiten wechseln die Basis, ohne dazwischen zu rechnen.

Rechenbeispiele

  1. Addieren in der Basis 2: 1011 + 110

    1. Lesen Sie beide Operanden als Dezimalzahl, um zu wissen, was Sie addieren: 1011 ist 11 und 110 ist 6
    2. 11 + 6 = 17
    3. Schreiben Sie 17 in der Basis 2: 17 = 16 + 1, die Ziffern lauten also 1 0 0 0 1
    4. Die Antwort zur Basis 2 heißt 10001, und die Dezimalzeile bestätigt die 17

    Die Voreinstellung und zugleich das Beispiel, das die Tabelle unten in einer anderen Basis durchspielt. Spalte für Spalte addiert ergibt dasselbe: 1 + 0 ist 1, 1 + 1 ist 0 mit Übertrag 1, dann ist 0 + 1 plus dem Übertrag wieder 0 mit Übertrag 1, und der letzte Übertrag landet in einer neuen Spalte links. Dass eine Spalte bei Erreichen der 2 überträgt, ist die ganze Addition zur Basis 2; diese Überträge sind der Grund, warum 10001 fünf Stellen breit ist, obwohl die Operanden vier und drei Stellen hatten.

  2. Über die letzte Ziffer hinaus: FF + 1 in der Basis 16

    1. FF ist 15×16 + 15 = 240 + 15 = 255
    2. Plus 1 ergibt 256
    3. Schreiben Sie 256 in der Basis 16: 256 = 1×256 + 0×16 + 0, die Ziffern lauten also 1 0 0
    4. Die Antwort heißt zur Basis 16 100 — das ist die 256, nicht die Hundert

    Genau die Falle, für die es dieses Beispiel gibt: 100 ist im Dezimalsystem eine kleine Zahl und in der Basis 16 eine viel größere. Spalte für Spalte sieht man, warum sie so breit wird — F plus 1 ergibt Sechzehn, und Sechzehn ist in der Basis 16 keine Ziffer, also wird übertragen und eine 0 bleibt stehen; der übertragene 1 landet auf einem vollen F und trägt erneut. Eine einzige Addition hat die Antwort um zwei Stellen nach oben geschoben. Das ist dasselbe Ereignis wie 99 + 1 = 100 im Dezimalsystem, und es ist der Grund, warum ein Byte, das von 255 auf 256 überläuft, ein zweites Byte braucht.

  3. Division mit Rest: 1011 ÷ 10 in der Basis 2

    1. 1011 ist 11 und 10 ist 2
    2. 11 ÷ 2 = 5 Rest 1
    3. Schreiben Sie 5 in der Basis 2: 5 = 4 + 1, die Ziffern lauten also 1 0 1
    4. Der Quotient heißt 101, die Restzeile zeigt 1 — und 101 ist die 5, was die Dezimalzeile bestätigt

    Die einzige der vier Rechenarten, deren Rest nicht null ist — deshalb steht die Restzeile überhaupt auf der Seite. Beachten Sie, dass der Quotient nur der ganzzahlige Teil ist: 11 geteilt durch 2 ist 5,5, und die Seite druckt 101 mit dem Rest 1 statt 10,1 oder 101,1, weil ein Rest die Antwort bei ganzen Zahlen hält — die Hälfte steckt in dieser 1. Die Probe lautet 5 × 2 + 1 = 11 und gilt in jeder Basis.

Einschränkungen

Die Basis muss eine ganze Zahl von 2 bis 36 sein. Die Eins ist unmöglich, weil eine einzige Ziffer keinen anderen Wert als null ausdrücken kann, und für die Siebenunddreißig bräuchte man ein siebenunddreißigstes Zeichen; beide Werte weist das Feld ab, bevor die Rechnung beginnt. Dezimalbrüche und Brüche werden abgewiesen statt gerundet, und ein Minuszeichen vor einem Operanden ebenso: Die Seite liest Ziffern, und ein Vorzeichen oder ein Trennzeichen ist keine Ziffer. Eine Ziffer, die für die gewählte Basis zu groß ist, ist ein eigener Fall, und es lohnt sich, klar zu sagen, wie er behandelt wird. Tippen Sie 1012 bei eingestellter Basis 2, erhalten Sie eine allgemeine Rechenfehlermeldung und keinen Hinweis auf die störende Ziffer. Das ist ein bewusster Kompromiss und kein Versehen: Die Prüfung am Eingabefeld bekommt nur die Zeichenfolge und kann das danebenstehende Basisfeld nicht lesen; die ehrlichen Möglichkeiten waren, jede Ziffernfolge anzunehmen, die in irgendeiner Basis zulässig wäre, oder alles anzunehmen. Die Seite hat die erste gewählt. Praktisch heißt das: Das Feld bleibt sauber, und der Fehler erscheint im Ergebnisbereich — die Antwort ist nie falsch, sie wird nur knapper erklärt als nötig. Beide Operanden sind auf sechzig Zeichen begrenzt und auf die größte ganze Zahl, die eine Gleitkommazahl mit doppelter Genauigkeit exakt darstellt, nämlich 9.007.199.254.740.991 — das sind sechzehn Stellen im Dezimalsystem und rund fünfzig in der Basis 2. Für das Ergebnis gilt dieselbe Obergrenze: Es wird exakt berechnet und anschließend geprüft, eine Operation mit zu großem Ergebnis wird also abgewiesen und nicht als gerundeter Wert ausgegeben. Buchstaben dürfen groß oder klein getippt werden und werden groß ausgegeben, ff und FF sind also dieselbe Eingabe. Führende Nullen sind erlaubt und werden ignoriert, 00001011 und 1011 sind also dieselbe Zahl und werden beide als 1011 ausgegeben. Die Referenztabelle unten steht fest bei 255 in den Basen 2, 8, 10 und 16 und folgt nicht Ihren Eingaben — der Ergebnisbereich beantwortet Ihre Zahlen, die Tabelle zeigt die vier Schreibweisen eines einzigen Wertes nebeneinander.

Häufige Fragen

Wie addiere ich zwei Zahlen in einer Basis, die nicht die Zehn ist?
Spalte für Spalte von rechts, genau wie im Dezimalsystem — nur übertragen Sie, wenn eine Spalte die Basis erreicht, statt wenn sie die Zehn erreicht. In der Basis 2 gibt es als einzige Übertragsschwelle die 2: 1 + 1 ist 0 mit Übertrag 1. 1011 + 110 ergibt deshalb 10001, weil die Zweierspalte und die Viererspalte übergelaufen sind und jeweils eine 1 in die nächste Stelle geschoben haben. Wenn Sie die Überträge lieber nicht mitführen, rechnen Sie beide Operanden in Dezimalzahlen um, addieren dort und wandeln zurück — genau das zeigt die Dezimalzeile dieser Seite, und sie liefert jedes Mal dasselbe Ergebnis.
Warum schlägt 1012 fehl, wenn die Basis 2 ist?
Weil die 2 in der Basis 2 keine Ziffer ist — dort gibt es nur 0 und 1. Die Regel lautet: Jede Ziffer muss kleiner als die Basis sein. Die Basis 2 lässt also 0 und 1 zu, die Basis 8 die Ziffern 0 bis 7, die Basis 10 die Ziffern 0 bis 9 und die Basis 16 die Ziffern 0 bis 9 sowie A bis F. Sie sehen in diesem Fall eine allgemeine Rechenfehlermeldung und keinen Hinweis auf die störende Ziffer, und das ist eine bekannte raue Kante: Die Prüfung am Eingabefeld sieht nur die getippte Zeichenfolge, nicht die gewählte Basis, nimmt also jede Ziffernfolge an, die in irgendeiner Basis zulässig wäre, und überlässt die basisabhängige Prüfung der Rechnung. Die Antwort ist nie falsch, nur dünner erklärt als sie sein sollte.
Welche Basen kann ich verwenden, und warum endet es bei 36?
Jede ganze Zahl von 2 bis 36. Die Obergrenze setzt die Tastatur und nicht die Mathematik: Ziffern über der Neun brauchen Zeichen, die üblichen Zeichen sind die Buchstaben A bis Z, und davon gibt es sechsundzwanzig — zehn plus sechsundzwanzig ergibt sechsunddreißig. Die Basis 1 ist aus einem anderen Grund unmöglich: Mit nur einer Ziffer lässt sich kein Wert über null schreiben, weil jede Stelle die 1 wert wäre und die 2 damit unerreichbar bliebe.
Ist 100 in der Basis 16 dasselbe wie einhundert?
Nein, und genau diesen Fehler soll das zweite Beispiel der Seite abfangen. In der Basis 16 bedeutet 100 die Rechnung 1×256 + 0×16 + 0, also 256. Die Zeichen sind dieselben, aber jede Stelle ist sechzehnmal so viel wert statt zehnmal so viel, deshalb stehen dieselben drei Zeichen für einen anderen Wert. Die Dezimalzeile auf der Seite ist gerade dazu da, dass Sie nie raten müssen, welche Lesart gemeint ist.
Warum wird der Rest auch bei der Addition angezeigt?
Weil bei ganzen Zahlen «nichts bleibt übrig» und «der Rest ist null» dieselbe Aussage sind und eine Zeile, die mal da ist und mal nicht, schwerer zu lesen ist als eine, die immer steht. Bei Addition, Subtraktion und Multiplikation zeigt sie die 0. Nur die Division kann einen Rest ungleich null erzeugen, und dort trägt die Zeile den Teil, der nicht aufging — 1011 ÷ 10 lässt in der Basis 2 die 1 übrig, also die Hälfte von 11 ÷ 2, die der Quotient weggelassen hat.
Kann ich auf dieser Seite auch im Dezimalsystem rechnen?
Ja, und das ist ein bequemer Weg zu prüfen, ob die Seite mit einem gewöhnlichen Rechner übereinstimmt: Stellen Sie die Basis auf 10, verhält sich alles wie erwartet, weil Ziffern, Überträge und Ausgabeformat unverändert bleiben. Sie gewinnen die Restzeile und die ausdrückliche Nennung der Basis und verlieren nichts. Die Nachbarseiten gehen den anderen Weg — binary-calculator und hex-calculator sind dieselbe Rechnung mit den fest eingestellten Basen 2 und 16, und die Umrechner-Seiten wechseln einen Wert von einer Basis in eine andere, ohne dazwischen zu rechnen.

Quellen

Verwandte Rechner

Binär-RechnerAddiert, subtrahiert, multipliziert und teilt Binärzahlen.Hexadezimal-RechnerRechnen mit Hexadezimalzahlen samt Dezimalwerten.Dezimal-in-Binär-UmrechnerHalbiert eine Dezimalzahl schrittweise in ihre Binärform.Hexadezimal-in-Dezimal-UmrechnerSummiert die Sechzehnerpotenzen einer Hexadezimalzahl.Zahlenzerlegung-RechnerZerlegt eine Zahl in ihre Stellenwerte, Ziffer für Ziffer.