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CalcMax

Hexadezimal-in-Dezimal-Umrechner

Ergebnis

10.815

Dezimal

Stellenwerte
2×4096 + 10×256 + 3×16 + 15

Eine Hexadezimalzahl in eine Dezimalzahl umzurechnen ist echte Rechnung, anders als der Weg nach binär. Der Wert einer Hexadezimalzahl ist die Summe aus jeder Ziffer, multipliziert mit der Sechzehnerpotenz ihrer Stelle, gezählt von null an von rechts. 2A3F hat ein F an der letzten Stelle, das F ist also 15 wert; eine 3 an der nächsten Stelle, 3×16 wert; ein A an der darauffolgenden, 10×256 wert; und eine 2 ganz vorn, 2×4.096 wert. Zusammengezählt ergibt das 10.815. Die Buchstaben sind die Stelle, an der das schiefgeht, und zwar auf zwei Arten. Erstens muss A zu 10 und F zu 15 werden, bevor irgendetwas multipliziert wird — wer A als 1 liest, bekommt eine Antwort, die plausibel aussieht und falsch ist. Zweitens wird der Wert, für den ein Buchstabe steht, mit seiner Stelle multipliziert: Ein F an der letzten Stelle ist 15, und ein F eine Stelle weiter links ist 240; der Buchstabe ist nicht die Menge, sondern ein Koeffizient. Die Sechzehnerpotenzen sind die andere Hälfte der Seite, und sie haben eine Form, die man kennen sollte: 1, 16, 256, 4.096, 65.536, immer so weiter, jede sechzehnmal die vorige. Eine Hexadezimalzahl von rechts nach links gegen diese Liste zu lesen geht schneller, als eine der Potenzen eigens auszurechnen. Weil sechzehn eine Zweierpotenz ist, sind das zugleich die Zweierpotenzen in Viererschritten — 16 ist 2⁴, 256 ist 2⁸, 65.536 ist 2¹⁶ —, und deshalb trägt jede Stelle, die vier Bit hält, genau eine Sechzehnerpotenz. Der Stellenwert einer Ziffer ist hier also nichts anderes als der Wert der Vierergruppe an dieser Position. Die Seite druckt die ganze Summe neben das Ergebnis, damit man sie Summand für Summand nachprüfen kann: 2×4.096 + 10×256 + 3×16 + 15 ist 10.815, und ein Fehler in einer einzigen Hexadezimalziffer zeigt sich als Summe, die nicht wieder auf den erwarteten Wert kommt. Ausgangsbasis ist dabei das Sechzehnersystem, Zielbasis das Zehnersystem. Zu beachten ist außerdem, dass die Stellenwertzeile als Zeichenkette gedruckt wird und deshalb ohne Tausenderpunkte bleibt, während die Dezimalzeile eine gewöhnliche Zahl ist und die deutschen Trennzeichen trägt: Dort steht 10.815 und nicht 10815.

Die Sechzehnerpotenzen, von der rechtesten Stelle bis zur breitesten, die eine angenommene Eingabe erreichen kann

StelleSechzehnerpotenzWert
1316¹³4503599627370496
1216¹²281474976710656
1116¹¹17592186044416
1016¹⁰1099511627776
916⁹68719476736
816⁸4294967296
716⁷268435456
616⁶16777216
516⁵1048576
416⁴65536
316³4096
216²256
116¹16
016⁰1

Vierzehn Zeilen, von 16⁰ bis 16¹³, und die Länge ist nicht beliebig: Vierzehn Zeichen ist die breiteste Eingabe, die diese Familie annimmt, die Tabelle deckt also jede Stelle ab, die eine Antwort benutzen kann, und hört dort auf. Sie von oben nach unten zu lesen heißt, die Stellen der Antwort von rechts nach links zu lesen — die letzte Zeile ist die rechteste Ziffer, die erste die linkeste. Die mittlere Spalte ist die Stelle als Potenz geschrieben, und das ist es, womit die Summe im Feld darüber multipliziert; die dritte Spalte ist dieselbe Potenz ausgerechnet, und damit multipliziert man in der Praxis. Diese Werte decken sich mit den Binärseiten: 16 ist 2⁴, 256 ist 2⁸ und 65.536 ist 2¹⁶, weil eine Hexadezimalziffer vier Bit hält. Dieselbe Tabelle beantwortet damit auch, wie viel eine Vierergruppe wert ist, wenn man sie als Zahl liest und nicht als Bits. Sie steht fest und folgt nicht dem, was Sie eingetippt haben.

Formel

2A3F = 2×16³ + 10×16² + 3×16¹ + 15×16⁰ = 2×4.096 + 10×256 + 3×16 + 15 = 10.815

2A3F
Die umzurechnende Hexadezimalzahl. Buchstaben sind schreibungsunabhängig, 2a3f und 2A3F sind also derselbe Wert; eine führende Null ändert nichts, und ein führendes Minuszeichen ergibt ein negatives Ergebnis
16ⁿ
Die Sechzehnerpotenz, die an einer Stelle hängt, gezählt von null an der rechtesten Ziffer. Die rechteste ist 16⁰ wert, also 1, die nächste 16¹, also 16, und jeder Schritt nach links multipliziert wieder mit sechzehn
2, 10, 3, 15
Die Ziffern als Werte gelesen, mit den bereits ersetzten Buchstaben — A wird zu 10 und F zu 15, bevor irgendetwas multipliziert wird. A als 1 zu lesen ist der Fehler, den diese Zeile verhindern soll, und er ist die häufigste Art, wie diese Umrechnung schiefgeht
2×4096
Ein Summand: der Wert der Ziffer mal der Potenz ihrer Stelle. Jede Ziffer trägt einen Summanden bei, auch die Nullen, wobei ein Nullsummand nichts ändert und in der gedruckten Summe einfach weggelassen wird
= 10815
Die Summe der Summanden. Es ist eine Dezimalzahl und keine Ziffernfolge in einer anderen Basis, und deshalb lässt sich das Ergebnis dieser Seite direkt weiterverrechnen
14 characters
Die breiteste angenommene Eingabe, also 1FFFFFFFFFFFFF. Vierzehn Zeichen ist die Länge, bei der der Wert 9007199254740991 erreicht, und darüber kann eine Maschine benachbarte ganze Zahlen nicht mehr auseinanderhalten; eine längere Eingabe wird deshalb abgelehnt statt umgerechnet

Einen hexadezimalen Wert als dezimalen zu lesen ist das, was man tut, sobald eine für eine Maschine geschriebene Zahl gegen eine für einen Menschen geschriebene gestellt werden soll. Ein Farbwert hat drei Kanäle zu je zwei Zeichen, und zu wissen, dass FF gleich 255 und 80 gleich 128 ist, ist der Unterschied zwischen einer Farbanpassung nach Augenmaß und einer nach Zahl. Bei Größenangaben ist es dasselbe: 400 hexadezimal ist 1.024, eine vertraute Seitengröße, und eine Speicherkarte, die als 0x100000 gedruckt wird, ist 1.048.576 Byte für jeden, der einen zweiten Bereich daran anschließen muss. Wer eine Prüfsumme kontrolliert, ein Hash-Präfix vergleicht oder die Maske aus einem Datenblatt umrechnet, macht diese Umrechnung, und wer eine Seriennummer oder eine Kennung liest, die sich als hexadezimal entpuppt, ebenso. In der Ausbildung begegnet einem die Aufgabe als Hexadezimal in Dezimal umrechnen, meist mit ausgeschriebenen Potenzen — genau die Summe, die diese Seite druckt: ein Summand je Zeichen, mit bereits eingesetzten Buchstaben. Es ist außerdem die Umrechnung, zu der man greift, wenn ein hexadezimales Ergebnis aus einem anderen Werkzeug gegengeprüft werden soll, denn die Dezimalsumme ist die eine Zahl, gegen die sich alle anderen vergleichen lassen.

Rechenbeispiele

  1. 2A3F lesen

    1. Die Sechzehnerpotenzen von rechts unter die vier Zeichen schreiben: 1, 16, 256, 4.096
    2. Die Buchstaben durch ihre Werte ersetzen: A ist 10 und F ist 15
    3. Jede Ziffer multiplizieren: 2×4.096 ist 8.192, 10×256 ist 2.560, 3×16 ist 48, 15×1 ist 15
    4. Die vier Summanden addieren: 8.192 + 2.560 + 48 + 15 = 10.815

    Der Standardfall und der, in dem beide Buchstaben umgesetzt werden müssen. Das A ist keine 1 und das F ist keine 5 — die Zeichenkette zu lesen, als wären die Buchstaben Ziffern, ergäbe eine Antwort von etwa zweitausend, und das ist weit genug daneben, um aufzufallen. Der subtilere Fehler ist ein Buchstabe, der richtig umgesetzt, aber mit der falschen Potenz multipliziert wurde.

  2. Ein volles Byte, FF

    1. Zwei Zeichen, die Stellen sind also 16 und 1 wert
    2. F ist 15, das linke Zeichen trägt also 15×16 = 240 bei
    3. Das rechte Zeichen trägt 15×1 = 15 bei
    4. 240 + 15 = 255

    Zwei Zeichen und der größte Wert, den sie halten können — deshalb ist FF gleich 255 und nicht 256: Der Bereich beginnt bei 00. Dieses Paar sollte man auswendig wissen, es begegnet einem in Farbwerten, in bytegroßen Feldern und in jeder Hexadezimalzeichenkette mit genau zwei Zeichen.

  3. B2 lesen

    1. B ist 11, das linke Zeichen trägt also 11×16 = 176 bei
    2. Das rechte Zeichen trägt 2 bei
    3. 176 + 2 = 178

    B liegt eins über A, also 11×16 statt 10×16 — der Unterschied zwischen B als 11 und B als 10 beträgt sechzehn, eine ganze Hexadezimalstelle. Es ist derselbe Wert, den die Binärseiten als Acht-Bit-Beispiel verwenden, und 10110010 ist das, was er zur Basis zwei ist.

  4. Die größte Eingabe, 1FFFFFFFFFFFFF

    1. Vierzehn Zeichen, die Stellen laufen also von 16¹³ bis hinunter zu 16⁰
    2. Die führende 1 ist 16¹³ wert, also 4.503.599.627.370.496
    3. Jedes der dreizehn F-Zeichen ist 15, multipliziert mit der Potenz seiner eigenen Stelle
    4. Die vierzehn Summanden addiert ergeben 9.007.199.254.740.991

    Vierzehn Summanden, weiter wird diese Summe nie, und es ist dieselbe Obergrenze, auf die die Dezimalseiten bei 9007199254740991 stoßen und die Binärseiten bei dreiundfünfzig Stellen. Am Verfahren ändert sich bei dieser Größe nichts — es ist dasselbe Multiplizieren und Addieren, vierzehnmal wiederholt —, und genau das ist das Nützliche an diesem Beispiel.

Einschränkungen

Die Eingabe ist hier eine Hexadezimalzeichenkette und keine Dezimalzahl, es gibt also keinen Dezimalpunkt abzulehnen: Zeichen außerhalb von 0 bis 9 und A bis F werden abgewiesen. Die Eingabe darf höchstens vierzehn Zeichen lang sein, also 1FFFFFFFFFFFFF; das ist der Wert 9007199254740991, den die Anzeige als 9.007.199.254.740.991 druckt. Alles Längere wird mit einer Meldung abgelehnt und nicht abgeschnitten. Führende Nullen werden angenommen und ändern nichts, und ein führendes Minuszeichen ergibt ein negatives Dezimalergebnis — die Summe wird für die Ziffern gebildet und das Vorzeichen auf das Ergebnis angewendet. Die Schreibung der Eingabe spielt keine Rolle, die Stellenwertsumme wird jedoch immer mit Großbuchstaben gedruckt. Die Tabelle unten listet die Sechzehnerpotenzen von 16⁰ bis 16¹³ auf und steht fest, sie folgt also nicht dem, was Sie eingetippt haben; sie ist dazu da, das Gewicht jeder Stelle nachschlagen zu können. Der umgekehrte Weg, von einer Dezimalzahl nach hexadezimal, ist eine eigene Seite, und diese Seite rechnet über die Summe hinaus, die sie druckt, nichts an ihrem Ergebnis aus.

Häufige Fragen

Wie rechne ich Hexadezimal von Hand in Dezimal um?
Die Sechzehnerpotenzen unter die Zeichen schreiben, rechts mit 1 beginnend und bei jedem Schritt nach links mit sechzehn multipliziert, dann jede Ziffer mit der darunterstehenden Potenz multiplizieren und die Ergebnisse addieren. Die Buchstaben müssen zuerst ersetzt werden: A ist 10, B ist 11, C ist 12, D ist 13, E ist 14 und F ist 15. Für 2A3F ergibt das 2×4.096 + 10×256 + 3×16 + 15, also 10.815.
Was bedeuten die Buchstaben A bis F?
Sie sind die Werte zehn bis fünfzehn, in dieser Reihenfolge: A ist 10, B ist 11, C ist 12, D ist 13, E ist 14, F ist 15. Die Basis sechzehn braucht sechzehn einzelne Zeichen, die Dezimalziffern liefern aber nur zehn, also werden sechs weitere Zeichen gebraucht, und Buchstaben sind die vereinbarte Lösung. Jeder Buchstabe ist ein Koeffizient, genau wie eine Ziffer einer ist, ein F ist also fünfzehn mal das wert, was seine Stelle trägt — fünfzehn an der letzten Stelle, 240 eine Stelle weiter links.
Was ist die größte Hexadezimalzahl, die ich hier umrechnen kann?
Vierzehn Zeichen. 1FFFFFFFFFFFFF ist die Obergrenze und ergibt 9.007.199.254.740.991, dieselbe Grenze, die die Dezimalseiten als dreiundfünfzig Binärstellen angeben. Eine längere Zeichenkette wird mit einer Meldung abgelehnt und nicht abgeschnitten oder gerundet, denn jenseits dieser Breite kann eine Maschine benachbarte ganze Zahlen nicht mehr auseinanderhalten, und die Antwort wäre nicht verlässlich.
Warum ist FF gleich 255 und nicht 256?
Weil das Zählen bei 00 beginnt und nicht bei 01. Zwei Hexadezimalzeichen ergeben 256 verschiedene Zeichenketten, von 00 bis FF, der größte darstellbare Wert ist also 255 — eins weniger als die Anzahl der Möglichkeiten. Derselbe Eins-daneben-Effekt zeigt sich im Binären, wo acht Bit von 0 bis 255 laufen, und deshalb ist der Höchstwert eines Bytes in jeder Sprache, die Bytes kennt, 255.
Ist Hexadezimal in Dezimal dasselbe wie Hexadezimal in Binär?
Nein. Der Weg nach binär ist eine Ersetzung, die ohne Rechnen auskommt: Jedes Zeichen wird zu vier Bit, und das ist das ganze Verfahren. Der Weg nach dezimal ist eine gewichtete Summe, weil die Stellen Potenzen von sechzehn tragen und nicht Potenzen von zwei — 2A3F ist 2×4.096 + 10×256 + 3×16 + 15, und die Buchstaben müssen zu Werten werden, bevor multipliziert wird. Das Binärergebnis derselben Zeichenkette ist 10101000111111, und die beiden Antworten sind dieselbe Größe in zwei Schreibweisen.
Warum druckt die Seite die Sechzehnerpotenzen in einer Tabelle?
Weil die Potenzen die Gewichte sind, mit denen jeder Summand multipliziert wird, und Nachschlagen schneller geht, als sie auszurechnen. Die Tabelle läuft von 16⁰ bis 16¹³ und ist für diese Seite vollständig: Vierzehn Zeichen ist die breiteste angenommene Eingabe, keine angenommene Antwort benutzt also eine Stelle, die die Tabelle nicht aufführt. Sie neben der Summe im Ergebnisfeld zu lesen zeigt, welches Gewicht zu welchem Zeichen gehört.

Quellen

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