Doppelwinkel-Rechner

sin 2θ = 2 sin θ cos θ cos 2θ = cos²θ − sin²θ tan 2θ = 2 tan θ ÷ (1 − tan²θ)

θ

Der Winkel, mit dem Sie starten, in Grad oder Bogenmaß. Er darf negativ sein und jenseits einer vollen Umdrehung liegen; verdoppelt wird dieser Winkel und nie die Zahl, die er liefert

2θ

Der verdoppelte Winkel. Er wird zuerst ausgegeben, in Grad, weil alles andere auf dieser Seite an diesem Winkel abgelesen wird und nicht an dem, den Sie eingetippt haben

sin θ, cos θ

Sinus und Kosinus des Ausgangswinkels. Die Identität multipliziert die beiden miteinander, statt einen von ihnen zu verdoppeln, weshalb die Antwort nichts Zweifaches ist

Greifen Sie zu dieser Seite, wenn der Winkel verdoppelt wird und Sie wissen wollen, wo er landet, ohne die Identitäten von Hand auszurechnen — eine zweimal angewendete Drehung, eine Phase, die um den doppelten Schritt weiterrückt, eine Wellenlänge oder eine Periode bei doppelter Frequenz. Die Doppelwinkelformeln weiter unten sind dieselben drei Identitäten, die der Rechner anwendet, die Seite taugt also zugleich als Probe einer Handrechnung. Wenn Sie die verdoppelte Anzeige haben und den Ausgangswinkel zurückwollen, ist das die Halbwinkelrichtung, und die führt diese Seite nicht aus. Und wenn Sie die drei Verhältnisse beim eingetippten Winkel statt bei seinem Doppelten wollen, macht der Trigonometrie-Rechner genau das, und die beiden stimmen überall überein, wo beide definiert sind.

1. Ein Winkel von 30 Grad, der sich zu 60 verdoppelt

   1. Zweimal 30 Grad sind 60 Grad, alles wird also dort abgelesen
   2. sin 60 ist √3/2, also etwa 0,866, und cos 60 ist ein halb
   3. Der Tangens ist ihr Verhältnis, √3, also etwa 1,7321

   Der Winkel, mit dem die Seite lädt, und der, welcher zeigt, warum es sie gibt. Der Sinus von 30 Grad ist 0,5, das Doppelte davon wäre also 1 — der Sinus von 60 Grad ist aber 0,866, und keine noch so häufige Verdopplung der ersten Anzeige erzeugt die zweite. Die Identität erklärt, woher die 0,866 kommt: zweimal 0,5 mal 0,866, das Produkt aus Sinus und Kosinus von 30 Grad. Der verdoppelte Winkel ist um den Faktor zwei größer als der Ausgangswinkel; das Verhältnis nicht.

2. Ein Winkel von 22,5 Grad, der sich zu 45 verdoppelt

   1. Zweimal 22,5 sind 45 Grad
   2. Bei 45 Grad liegt der Punkt auf der Geraden y = x, Sinus und Kosinus sind also gleich
   3. Gleiche Anzeigen bedeuten, dass der Tangens genau eins ist, ohne Rundung

   22,5 ist die Hälfte von 45, womit diese Zeile die Halbwinkelformel in der Richtung ist, in der man sie gewöhnlich braucht. 45 ist einer der wenigen Winkel mit exakten Verhältnissen, und er liegt außerhalb der üblichen Tafel, der Weg dorthin führt also über einen verdoppelten Wert statt über einen auswendig gelernten. Beide Verhältnisse kommen als 0,7071 heraus, weil an diesem Winkel die beiden Koordinaten gleich sind, und der Tangens ist genau eins und nicht 0,9999.

3. Ein Winkel von 90 Grad, der sich zu 180 verdoppelt

   1. Zweimal 90 sind 180 Grad, also eine halbe Umdrehung
   2. Der Punkt liegt auf der negativen x-Achse, der Kosinus ist also minus eins und der Sinus null
   3. Der Tangens ist null geteilt durch minus eins, das ist null

   Die eine Zeile, in der der verdoppelte Winkel einen Extremwert erreicht: Der Kosinus ist auf seinem kleinstmöglichen Wert, minus eins. Auf dieser Seite fällt bei 90 Grad nichts aus, obwohl 90 der Winkel ist, den die Trigonometrie-Seite ablehnt — der Tangens wird dort ja gar nicht abgelesen, sondern bei 180, wo er sich vollkommen wohlerzogen verhält und gleich null ist. Die Anzeige auf einen anderen Winkel zu verschieben genügt, um sie von einer Definitionslücke wegzubewegen.

4. Ein Winkel jenseits einer vollen Umdrehung, 750 Grad

   1. 750 Grad sind 30 Grad plus zwei volle Umdrehungen
   2. Verdoppelt ergibt das 1500 Grad, also 60 Grad plus vier volle Umdrehungen
   3. Vier volle Umdrehungen ändern nichts, die Anzeige ist also dieselbe wie bei 60

   Die vier Spalten sind mit der Zeile bei 30 Grad identisch, und das müssen sie sein: 750 und 30 sind derselbe Winkel, haben also dasselbe Doppelte und dort dieselben drei Verhältnisse. Nichts hier behandelt einen großen Winkel als Sonderfall — der verdoppelte Winkel wird in den Bereich zurückgeholt, bevor er abgelesen wird, und ganze Umdrehungen werden verworfen. Fünf Grad unter einer Million verhält sich aus demselben Grund genauso.

Drei Dinge tut diese Seite nicht. Erstens wird der Tangens eines verdoppelten Winkels bei 45, bei 135 und bei jedem Winkel abgelehnt, der sich zu einem rechten Winkel oder zu drei Vierteln einer Umdrehung verdoppelt — die negativen und die jenseits einer Umdrehung liegenden Fassungen eingeschlossen. Die Ablehnung nimmt den ganzen Winkel mit, obwohl Sinus und Kosinus des verdoppelten Winkels dort ganz gewöhnliche Zahlen sind. Zweitens sind die Anzeigen auf vier Nachkommastellen angegeben, und die meisten davon sind irrational: Der exakte Sinus eines verdoppelten 30 Grad ist Wurzel drei durch zwei, und 0,866 ist das, was nach dem Runden herauskommt. Der Kosinus verhält sich hier schlechter als der Sinus — die Identität subtrahiert zwei Quadrate, und in der Nähe von 45 Grad sind die beiden fast gleich, die kleine Antwort, die herauskommt, ist also die Differenz zweier größerer Zahlen. Drittens kehrt die Seite nicht um. Bei einem Sinus von 0,866 für einen verdoppelten Winkel könnte dieser verdoppelte Winkel 60 oder 120 sein, und der Ausgangswinkel jeder der unendlich vielen Winkel, die sich zu einem der beiden verdoppeln — aus einem Verhältnis einen einzelnen Winkel zurückzugewinnen braucht eine Entscheidung, die diese Seite nicht trifft.

Ist der Sinus eines verdoppelten Winkels das Zweifache des Sinus?

Nein, und um diesen Fehler herum ist die Seite gebaut. Der Sinus von 30 Grad ist 0,5, der Sinus von 60 Grad aber 0,866 und nicht 1. Einen Winkel zu verdoppeln ist keine Skalierung seiner Verhältnisse. Was der Sinus des verdoppelten Winkels tatsächlich ist, ist das Zweifache des Produkts aus Sinus und Kosinus des Ausgangswinkels — eine Multiplikation zweier verschiedener Anzeigen statt einer Verdopplung einer einzigen.

Warum lehnt die Seite 45 Grad ab?

Weil 45 sich zu 90 verdoppelt und der Tangens von 90 Grad keinen Wert hat. Sinus und Kosinus bei 90 sind in Ordnung — eins und null —, aber die Seite gibt auch den Tangens aus, und eine Teilantwort, die als ganze präsentiert wird, ist schlechter als keine. Dieselbe Ablehnung trifft 135 Grad, das sich zu 270 verdoppelt, und jeden Winkel, der eine halbe Umdrehung von einem der beiden entfernt liegt.

Wie lauten die drei Doppelwinkelformeln?

Der Sinus eines verdoppelten Winkels ist das Zweifache des Produkts aus Sinus und Kosinus des Ausgangswinkels. Der Kosinus eines verdoppelten Winkels ist das Quadrat des Kosinus minus das Quadrat des Sinus, was sich auch als eins minus das Zweifache des Sinusquadrats oder als das Zweifache des Kosinusquadrats minus eins schreiben lässt — alle drei sind dieselbe Zahl, und man nimmt die Form, deren Ausgangsverhältnis man schon hat. Der Tangens eines verdoppelten Winkels ist der doppelte Ausgangstangens geteilt durch eins minus das Quadrat dieses Tangens.

Warum lohnt es sich, 22,5 Grad zu kennen?

Weil sein Doppeltes 45 ist, und 45 einer der wenigen Winkel mit exakten Verhältnissen ist — ein halb und ein halb für Sinus und Kosinus und genau eins für den Tangens. 22,5 steht auf keiner üblichen Tafel, ist aber die Hälfte eines Winkels, der dort steht; erreichbar ist er also dadurch, dass man eine Doppelwinkelformel rückwärts liest. Genau dieses Rückwärtslesen sind die Halbwinkelformeln.

Darf der Winkel negativ oder größer als eine volle Umdrehung sein?

Ja, und beides wird gleich behandelt: Der Winkel wird verdoppelt und das Ergebnis in den Bereich zurückgeholt, 750 Grad lesen sich also genau wie 30 und minus 30 genau wie 330. Ganze Umdrehungen werden verworfen, weil sie daran, wohin der verdoppelte Winkel zeigt, nichts ändern. Zu beachten ist nur, dass die Anzeige immer im Bereich von null bis zu einer vollen Umdrehung ausgegeben wird.

Kann ich den Winkel im Bogenmaß eingeben?

Ja — neben dem Feld sitzt eine Auswahl für die Einheit, und der verdoppelte Winkel wird in beiden Fällen in Grad ausgegeben, weil das die Einheit ist, die die Ausgabe angibt. Ein Drittel pi im Bogenmaß und 60 Grad sind derselbe Winkel und ergeben dieselben vier Zahlen. Prüfen Sie wie immer, welche Einheit eine Quelle annimmt, mit der Sie vergleichen, denn die meisten veröffentlichten Tabellen meinen Grad.

• Double-Angle Formulas — the three identities this page applies, and how they follow from the addition formulas — Wolfram MathWorld (United States)
• Trigonometric Addition Formulas — the identities the double angle ones are a special case of, with everything derived rather than asserted — Wolfram MathWorld (United States)
• Trigonometric Functions — the definitions of sine, cosine and tangent, and where each of them has no value — Wolfram MathWorld (United States)
• Additionstheoreme für Sinus und Kosinus — die Herleitung, aus der die Doppelwinkelformeln als Sonderfall a = b hervorgehen — Mathepedia (Deutschland)