Halbwinkel-Rechner

sin(θ/2) = √((1 − cos θ) / 2) cos(θ/2) = √((1 + cos θ) / 2) tan(θ/2) = (1 − cos θ) / sin θ = sin θ / (1 + cos θ)

θ

Der Winkel, mit dem Sie starten, in Grad oder Bogenmaß. Er darf negativ sein und größer als eine volle Umdrehung, und er wird in den Bereich geholt, bevor irgendetwas halbiert wird

θ/2

Der halbe Winkel, immer im Bereich von null bis zu einer halben Umdrehung ausgegeben. Jede andere Zahl auf dieser Seite wird hier abgelesen und nicht beim eingetippten Winkel

cos θ

Der Kosinus des ganzen Winkels. Er ist die einzige Größe, die die Sinus- und die Kosinusformel brauchen — beide Wurzeln sind aus ihm gebaut, weshalb eine Anzeige an einem krummen Winkel trotzdem exakt sein kann

sin θ

Der Sinus des ganzen Winkels, den die beiden Bruchformen des Tangens verwenden. Er steht im Nenner, darf also nicht null sein — und die Winkel, an denen er null ist, sind genau die, an denen der halbe Winkel auf einen rechten Winkel trifft

Greifen Sie zu dieser Seite, wenn der Winkel halbiert wird und Sie die drei Verhältnisse am halben Winkel berechnen wollen, ohne die Formeln von Hand auszurechnen — ein Oszillator mit der halben Antriebsfrequenz, der Winkel zwischen zwei Spiegelflächen, eine Sehne, die man unter dem halben Mittelpunktswinkel sieht, ein Schritt, der die Hälfte einer vollen Umdrehung oder ein Viertel davon ist. Die Formeln weiter unten sind dieselben drei Identitäten, die der Rechner anwendet, die Seite taugt also zugleich als Probe einer Handrechnung. Zwei Nachbarseiten decken den Rest ab. Wenn Sie den Winkel statt seines Halben haben, gehen die Doppelwinkelformeln in die andere Richtung, und die beiden Seiten stimmen überall überein, wo beide definiert sind. Und wenn Sie die drei Verhältnisse beim eingetippten Winkel statt bei seinem Halben wollen, liest der Trigonometrie-Rechner sie dort ab und halbiert nichts.

1. Ein Winkel von 30 Grad, der sich zu 15 halbiert

   1. Die Hälfte von 30 Grad sind 15 Grad, alles wird also dort abgelesen
   2. Die Sinusformel: Der Kosinus von 30 ist 0,866, eins minus das ist 0,134, die Hälfte davon 0,067, und deren Wurzel ist 0,2588
   3. Der Kosinus ist dieselbe Wurzel mit einem Plus darin: eins plus 0,866 ist 1,866, die Hälfte davon 0,933, und deren Wurzel ist 0,9659
   4. Der Tangens ist ihr Verhältnis, 0,2588 geteilt durch 0,9659, das ergibt 0,2679 — und die Bruchform stimmt zu: 0,134 geteilt durch 0,5 ist 0,268

   Der Winkel, mit dem die Seite lädt, und der, welcher den Fehler zeigt, auf den die Seite zielt. Der Sinus von 30 Grad ist 0,5, die Hälfte davon wäre also 0,25 — der Sinus von 15 Grad ist aber 0,2588, ein wenig mehr als die Hälfte. Die beiden Anzeigen liegen so nah beieinander, dass die falsche Antwort plausibel aussieht, und genau deshalb druckt die Seite die richtige. Beachten Sie außerdem, dass der ganze Winkel hier einen exakten Kosinus hat, nämlich die halbe Wurzel aus drei, und der halbe Winkel trotzdem irrational geworden ist: Einen Winkel zu halbieren führt von der Tafel herunter statt auf sie hinauf.

2. Ein Winkel von 90 Grad, der sich zu 45 halbiert

   1. Die Hälfte von 90 Grad sind 45
   2. Der Kosinus von 90 ist null, beide Formeln schrumpfen also auf die Wurzel aus einem Halben, das ist 0,7071
   3. Die beiden Wurzeln sind hier dieselbe Zahl, weil das, was in ihnen steht, dasselbe ist: eins minus null und eins plus null
   4. Gleiche Anzeigen bedeuten, dass der Tangens genau eins ist, ohne Rundung

   Die eine Zeile, in der ein berühmter Winkel aus einem Winkel herauskommt, der für diese Sache nicht berühmt ist. 45 Grad ist einer der wenigen Winkel, deren drei Verhältnisse sich exakt aufschreiben lassen — Sinus und Kosinus sind beide die halbe Wurzel aus zwei, und der Tangens ist eins. Der Weg dorthin führt über einen halben Winkel statt über eine auswendig gelernte Tafel, und diese Zeile ist dieser Weg. Es ist zugleich die Zeile, in der Sinus und Kosinus gleich sind, was bei 45 und bei 225 Grad geschieht und nirgends sonst in der Tabelle.

3. Ein Winkel von 400 Grad, der derselbe ist wie 40

   1. 400 Grad sind 40 Grad plus eine volle Umdrehung
   2. Eine volle Umdrehung ändert daran, wohin der Winkel zeigt, nichts, abgelesen wird also bei 40
   3. Die Hälfte von 40 ist 20, die drei Verhältnisse sind also die von 20 Grad: 0,342, 0,9397 und 0,364

   Geben Sie 40 Grad in dasselbe Feld ein, und jede der vier Zahlen ist identisch — darum geht es in dieser Zeile. Erst halbieren und dann normalisieren ergäbe hier 200 und dort 20, also zwei verschiedene Antworten auf dieselbe Frage; deshalb ist die Reihenfolge andersherum festgelegt. Dasselbe gilt für 750 Grad, das auf die Anzeige eines Winkels von 15 Grad halbiert wird.

4. Ein Winkel von minus 30 Grad, der sich zu 165 halbiert

   1. Minus 30 Grad sind 330 Grad, ein Drittel einer Umdrehung vor einer vollen
   2. Die Hälfte von 330 sind 165
   3. 165 liegt im zweiten Quadranten, sein Sinus ist also positiv und sein Kosinus negativ
   4. Der Tangens ist damit negativ, minus 0,2679

   Die Zeile, die Leute erwischt. Ein negativer Winkel halbiert sich nicht zu einem negativen halben Winkel, weil der Winkel zuerst in den Bereich geholt wird; die Hälfte eines negativen Winkels ist ein Winkel in der oberen Hälfte des Kreises. Der Sinus ist hier dieselbe 0,2588 wie in der Zeile bei 30 Grad, und das ist kein Zufall — 15 und 165 sind Spiegelbilder an der senkrechten Achse, sie teilen sich also den Sinus, und ihre Kosinusse sind Gegenzahlen. Der Tangens kippt mit dem Kosinus das Vorzeichen.

Drei Dinge tut diese Seite nicht. Erstens wird der Tangens bei 180 Grad abgelehnt, bei 540, bei minus 180 und bei jedem Winkel, den diese plus oder minus einer vollen Umdrehung darstellen, weil der halbe Winkel dort ein rechter Winkel ist und der Tangens dort keinen Wert hat. Die Ablehnung nimmt die ganze Anzeige mit, obwohl Sinus und Kosinus am halben Winkel dort ganz gewöhnliche Zahlen sind — eins und null. Zweitens sind die drei Verhältnisse auf vier Nachkommastellen angegeben, und die meisten davon sind irrational; der ausgegebene halbe Winkel ist ein anderer Fall, denn das Halbieren einer ganzen Gradzahl ergibt höchstens einen halben Grad, und zwei Nachkommastellen reichen, um ihn exakt zu halten. Drittens lässt sich die Seite nicht rückwärts laufen. Der halbe Winkel eines Winkels gehört allem, was eine volle Umdrehung davon entfernt liegt, und sonst nichts, eine Anzeige von 20 Grad sagt Ihnen also, dass der Ausgangswinkel 40 war, oder 400, oder jeder der unendlich vielen dazwischen — und ein halber Winkel von 195 Grad käme von einem Ausgangswinkel außerhalb des Bereichs, den das Feld annimmt, diese Richtung hat hier also gar keine Antwort.

Ist der Sinus des halben Winkels die Hälfte des Sinus?

Nein, und um diesen Fehler ist die Seite gebaut. Der Sinus von 30 Grad ist 0,5, die Hälfte davon wäre 0,25 — der Sinus von 15 Grad ist aber 0,2588. Die beiden liegen so nah beieinander, dass die falsche Antwort vernünftig aussieht, und deshalb druckt die Seite die richtige mit den Zwischenschritten. Was der Sinus des halben Winkels tatsächlich ist, ist die Wurzel aus eins minus dem Kosinus des ganzen Winkels, durch zwei: eine Wurzel aus einem Kosinus, kein Bruchteil eines Sinus.

Wie lauten die drei Halbwinkelformeln?

Der Sinus des halben Winkels ist die Wurzel aus eins minus dem Kosinus des ganzen Winkels, durch zwei. Der Kosinus des halben Winkels ist dieselbe Wurzel mit einem Plus darin statt eines Minus. Der Tangens des halben Winkels lässt sich auf drei Arten schreiben — eins minus dem Kosinus durch den Sinus, der Sinus durch eins plus den Kosinus, oder die Wurzel aus eins minus dem Kosinus durch eins plus den Kosinus — und alle drei ergeben dieselbe Zahl. Die Bruchformen sind gewöhnlich die, zu denen man greift, weil sie ganz ohne Wurzelziehen auskommen.

Warum halbiert sich ein negativer Winkel nicht zu einem negativen Winkel?

Weil der Winkel in den Bereich geholt wird, bevor er halbiert wird, und nicht danach. Minus 30 Grad sind 330 Grad, und die Hälfte von 330 ist 165. Erst zu halbieren ergäbe minus 15, was ein wirklicher Winkel ist, aber nicht in dem Bereich liegt, den die Ausgabe angibt, und der Rest der Seite würde über die Frage widersprechen, welcher der beiden spiegelbildlichen Winkel gemeint ist. Abgelesen wird immer der in der oberen Hälfte des Kreises.

Warum lehnt die Seite 180 Grad ab?

Weil die Hälfte von 180 gleich 90 ist und der Tangens von 90 Grad keinen Wert hat. Sinus und Kosinus bei 90 sind in Ordnung — eins und null —, aber die Seite gibt den Tangens zusammen mit ihnen aus, und eine Teilantwort, die als ganze präsentiert wird, ist schlechter als keine. Dieselbe Ablehnung trifft 540 Grad und minus 180, die derselbe Winkel sind wie 180, sowie jeden Winkel eine volle Umdrehung von diesen entfernt.

Worin unterscheidet sich das von den Doppelwinkelformeln?

Es sind dieselben drei Beziehungen, in entgegengesetzte Richtungen gelesen. Die Doppelwinkelformeln starten bei einem Winkel und geben Sinus, Kosinus und Tangens bei seinem Doppelten; die Halbwinkelformel startet bei einem Winkel und gibt die drei Verhältnisse bei seiner Hälfte. Der Unterschied, auf den es ankommt, sitzt im Runden. Verdoppeln bleibt auf ganzen Graden, die Anzeige beim Doppelten von 30 ist also exakt 60; Halbieren führt oft von der Tafel herunter, die Hälfte von 30 ist 15 und ihre Anzeigen sind irrational.

Kann ich den Winkel im Bogenmaß eingeben?

Ja — neben dem Feld sitzt eine Auswahl für die Einheit, und der halbe Winkel wird in beiden Fällen in Grad ausgegeben, weil das die Einheit ist, die die Ausgabe angibt. Ein Sechstel pi im Bogenmaß und 30 Grad sind derselbe Winkel und ergeben dieselben vier Zahlen. Zu beachten ist nur, dass die Einheit für den eingetippten Winkel gilt und nicht für die Hälfte, die immer in Grad erscheint.

• Half-Angle Formulas — the three identities this page applies, with the sign questions the page resolves by keeping the half in the upper half of the circle — Wolfram MathWorld (United States)
• Double-Angle Formulas — the same relations read the other way, and the page these identities are usually met from first — Wolfram MathWorld (United States)
• Trigonometric Functions — the definitions of sine, cosine and tangent, and where each of them has no value — Wolfram MathWorld (United States)
• Rechtwinkliges Dreieck — Sinus, Kosinus und Tangens als Seitenverhältnisse, aus den Definitionen hergeleitet statt behauptet — Mathepedia (Deutschland)