Anleiherendite-Rechner

Marktpreis = Σ [ Kupon × (1 + i)^−k ] + Nennwert × (1 + i)^−n, nach i aufgelöst (k = 1 … n; Kupon = Nennwert × Kuponsatz ÷ Perioden pro Jahr; n = Jahre bis zur Fälligkeit × Perioden pro Jahr)

Marktpreis

Was die Anleihe heute kostet — die eine Größe, die diese Seite vorgegeben bekommt, statt sie zu berechnen

Kupon

Nennwert × Kuponsatz ÷ Perioden pro Jahr — bei der voreingestellten Anleihe 20, zweimal im Jahr gezahlt

Nennwert

Der bei der Fälligkeit zurückgezahlte Betrag und die Basis, aus der sich der Kupon berechnet

Jahre bis zur Fälligkeit

Die verbleibende Laufzeit in Jahren, mal der Anzahl der Zahlungen pro Jahr genommen, ergibt die Anzahl der noch kommenden Zahlungen

Rendite bis zur Fälligkeit (i)

Die gesuchte Größe: der Jahressatz, mit dem jede noch ausstehende Zahlung genau auf den Marktpreis abgezinst wird

Nutzen Sie sie, sobald Ihnen ein Kurs genannt wird und der Kuponsatz nicht ausreicht, um die Anleihe mit irgendetwas zu vergleichen. Der Kuponsatz steht für die gesamte Laufzeit fest und sagt nichts darüber, was Sie dafür bezahlen: Eine alte 4-%-Anleihe und eine neue 4-%-Anleihe haben denselben Kuponsatz und völlig verschiedene Renditen, wenn die eine 922,05 kostet und die andere 1.000. Lesen Sie die Rendite bis zur Fälligkeit als die Rendite, die Sie tatsächlich erzielen würden, wenn Sie bis zum Ende hielten und jeden Kupon zum selben Satz wieder anlegten, und lesen Sie die laufende Rendite daneben als die ehrliche Zahl für das laufende Jahr allein: Liegen beide weit auseinander, ist der Kurs weit von pari entfernt, und der größte Teil Ihrer Rendite stammt dann aus der Annäherung an pari und nicht aus den Kupons. Der Fall, der die Seite nützlich macht, ist ein Kurs in der Nähe der Summe alles dessen, was die Anleihe je zahlen wird oder darüber: Dort sieht die laufende Rendite noch nach einem Kupon aus, während die Rendite bis zur Fälligkeit bei null liegt oder darunter.

1. Nennwert 1.000, 4 % Kupon, zehn Jahre, halbjährlich, zum Kurs von 922,05

   1. Kupon: 1.000 × 4 % ÷ 2 = 20, über die zehn Jahre zwanzigmal gezahlt
   2. Bei einer Rendite von 5 % ist der Satz je Periode 5 % ÷ 2 = 2,5 %
   3. Barwert der 20 Kuponzahlungen: 20 × (1 − 1,025⁻²⁰) ÷ 0,025 = 311,78
   4. Barwert des Nennwerts: 1.000 × 1,025⁻²⁰ = 610,27
   5. Zusammen 311,78 + 610,27 = 922,05, also genau der eingegebene Kurs — damit ist 5 % die gesuchte Rendite
   6. Laufende Rendite: die 40 im Jahr ÷ 922,05 = 4,34 % — die 77,95 Abschlag, die diese Anleihe zusätzlich zu ihren Kupons zurückzahlt, lässt sie genau weg

   Das ist der Voreinstellungsfall der Seite zum Anleihekurs, nur rückwärts gelesen, und dieser Weg ist die billigste Probe darauf, dass beide Seiten dieselbe Arithmetik benutzen: Dort wurde die Anleihe mit 5 % bewertet und ergab 922,05, hier wird 922,05 hineingegeben und 5 % kommen zurück. Auffällig ist außerdem, wie weit die beiden Renditen bei einer Anleihe auseinanderliegen, die nur 7,8 % unter pari notiert: 0,66 Punkte. Dieser Abstand wächst schnell, wenn der Kurs weiter fällt, was das nächste Beispiel zeigt.

2. Dieselbe Anleihe bei 728,19 — eine Rendite von 8 %

   1. Der Kupon bleibt bei 20 alle sechs Monate, bewegt hat sich nur der Kurs
   2. Bei einer Rendite von 8 % ist der Satz je Periode 4 %
   3. Barwert der 20 Kuponzahlungen: 20 × (1 − 1,04⁻²⁰) ÷ 0,04 = 271,8066
   4. Barwert des Nennwerts: 1.000 × 1,04⁻²⁰ = 456,3869
   5. Zusammen 271,8066 + 456,3869 = 728,1935, gerundet der eingegebene Kurs 728,19
   6. Laufende Rendite: 40 ÷ 728,19 = 5,49 % gegen eine Rendite bis zur Fälligkeit von 8 %

   Die Lücke von 2,51 Punkten zwischen 5,49 % und 8 % ist genau der Betrag von 271,81, den diese Anleihe über ihren Kaufpreis hinaus zurückzahlt, und sie ist der ganze Grund, warum sich eine tief im Abschlag notierende Anleihe weder nach ihrem Kupon noch nach ihrer laufenden Rendite beurteilen lässt. Wer hier nur die laufende Rendite liest, unterschätzt die Rendite um etwa ein Drittel.

3. Eine Nullkuponanleihe: Nennwert 1.000, kein Kupon, Kurs 610,27

   1. Kuponsatz auf null setzen: Die Anleihe zahlt bis zur Fälligkeit überhaupt nichts
   2. 1.000 × 1,025⁻²⁰ = 610,27, bei 5 % Rendite besteht der gesamte Kurs also aus dem abgezinsten Nennwert
   3. Es gibt keinen Kupon zu teilen, die laufende Rendite ist deshalb null — eine Nullkuponanleihe hat in keinem brauchbaren Sinn eine laufende Rendite
   4. Die 389,73 Abschlag sind die gesamte Rendite, und sie kommt auf einmal bei der Fälligkeit

   Der sauberste Beweis dafür, dass die Rendite weder der Kupon noch die laufende Rendite ist: Diese Anleihe zahlt 0 % und bringt 5 %, und keine andere Spalte als die Rendite bis zur Fälligkeit sagt das. Sie ist auch der Grund, warum die Seite für eine Anleihe eine Rendite ausweisen kann, deren laufende Rendite bedeutungslos ist — und das ist ein großer Teil dessen, was eine Anleiheabteilung den ganzen Tag tut.

Dies ist die aufgeräumte Fassung einer Anleiherendite, und die tatsächliche Abwicklung ist in mehreren Punkten unordentlicher. Diese Seite rechnet nach US-amerikanischer Konvention: Nennwert 1.000, halbjährliche Kuponzahlung als Voreinstellung und ein Kurs, der auf 100 Nennwert bezogen gedacht ist. In Deutschland heißen die entsprechenden Papiere Bundesanleihen und Bundesschatzbriefe; sie zahlen ihre Kupons in der Regel jährlich, und der Handel notiert sie ebenfalls in Prozent des Nennwerts. Diese Seite rechnet das weder um noch bildet sie es ab — sie löst die Rendite in der Konvention auf, in der ihre Voreinstellungen stehen. Sie bewertet außerdem eine Anleihe, deren nächste Kuponzahlung eine volle Periode entfernt ist, und behandelt deshalb keine Stückzinsen: Zwischen zwei Kuponterminen steht dem Verkäufer der Teil des laufenden Kupons zu, der bereits verstrichen ist, weshalb der hier verwendete Kurs ein Kurs ohne Stückzinsen ist und nicht der Betrag, der bei einem echten Abschluss fließt. Sie unterstellt, dass jede verbleibende Kuponzahlung eine volle Periode ist, sodass eine Anleihe mit unregelmäßiger erster oder letzter Periode nicht abgebildet wird. Sie behandelt den Kuponsatz als Jahressatz, der gleichmäßig auf die Zahlungsperioden verteilt wird, und nicht nach tatsächlichen Tagen; die Zinstagskonventionen, nach denen echte Abschlüsse auf den Cent genau abgerechnet werden, werden nicht unterschieden. Die ausgegebene Rendite bis zur Fälligkeit unterstellt, dass jeder Kupon bis zum Ende zum selben Satz wieder angelegt wird — das ist die übliche Definition und zugleich der übliche Vorbehalt: Legen Sie zu einem niedrigeren Satz wieder an, ist die tatsächlich erzielte Rendite niedriger. Die Genauigkeit der Antwort ist durch den Kurs begrenzt, den Sie eingetippt haben — ein auf zwei Nachkommastellen gerundeter Kurs legt die Rendite auf etwa ein Tausendstel Punkt fest, und eine Änderung um einen Cent verschiebt sie. Umgekehrt hat ein Kurs oberhalb der Summe alles dessen, was die Anleihe je zahlen wird, überhaupt keine positive Rendite; die Seite sagt das dann, statt eine negative Zahl auszugeben. Nichts hiervon bildet Ausfallrisiko, Liquidität, Steuern, ein Kündigungsrecht des Emittenten oder einen Tilgungsfonds ab, und an keiner Zahl hängt eine Währung.

Was ist die Rendite bis zur Fälligkeit?

Es ist der eine Jahressatz, mit dem jede Zahlung, die die Anleihe Ihnen noch schuldet — jeder ausstehende Kupon und der Nennwert am Ende —, genau auf den Kurs abgezinst wird, den die Anleihe heute kostet. Es ist die Rendite, die Sie erzielen würden, wenn Sie zu diesem Kurs kauften und bis zur Fälligkeit hielten, und die einzige Rendite, mit der sich Anleihen mit unterschiedlichen Kupons und unterschiedlichen Kursen vergleichen lassen. Im Voreinstellungsfall — Nennwert 1.000, 4 % Kupon bei halbjährlicher Zahlung, zehn Jahre Restlaufzeit, Marktpreis 922,05 — beträgt sie 5 %.

Wieso lässt sich die Anleiherendite nicht direkt ausrechnen?

Weil die Kursformel sich nicht nach dem Zinssatz umstellen lässt, sobald mehr als eine Periode aussteht. Die Gleichung lautet: Marktpreis gleich der Summe der abgezinsten Kupons plus dem abgezinsten Nennwert. Der gesuchte Satz steht darin als Basis einer Potenz mit wechselnden Hochzahlen, und dafür gibt es keine geschlossene Auflösung. Die Seite probiert deshalb Sätze aus und grenzt ein: Bei der voreingestellten Anleihe ergeben 5 % genau 311,78 an Kupons plus 610,27 an Nennwert, zusammen 922,05 — also den eingegebenen Kurs.

Warum unterscheidet sich die laufende Rendite von der Rendite bis zur Fälligkeit?

Weil die beiden Unterschiedliches messen. Die laufende Rendite ist der Jahreskupon geteilt durch den Kurs und hört dort auf: 40 ÷ 922,05 = 4,34 %. Die Rendite bis zur Fälligkeit zählt zusätzlich die 77,95 mit, die diese Anleihe über ihren Kaufpreis hinaus zurückzahlt, verteilt auf die zehn Jahre bis zur Fälligkeit; deshalb liest sie sich als 5 %. Bei einer Anleihe nahe pari ist der Abstand klein, bei einer weit darunter groß: Bei einem Kurs von 728,19 beträgt die laufende Rendite 5,49 % gegen eine Rendite bis zur Fälligkeit von 8 %.

Was ist eine Anleihe mit Abschlag?

Eine, die weniger kostet als der Nennwert, den sie zurückzahlt. Das passiert, wenn die vom Markt verlangte Rendite über dem Kuponsatz liegt, den die Anleihe zahlt. Die voreingestellte Anleihe ist eine solche: Sie kostet 922,05 und zahlt 1.000 zurück, trägt also einen Abschlag von 77,95, und ein Teil Ihrer Rendite kommt als diese Kursdifferenz an und nicht als Kuponertrag. Je tiefer der Abschlag, desto mehr der Gesamtrendite stammt daraus — bei 728,19 zahlt die Anleihe 271,81 mehr zurück, als sie kostet.

Was bedeutet es, wenn die Rendite über dem Kuponsatz liegt?

Dass Sie unter pari kaufen und der Kuponsatz deshalb unterschätzt, was Sie verdienen werden. Eine 4-%-Anleihe mit einer Rendite von 8 % zahlt genau dieselben 40 im Jahr wie eine 4-%-Anleihe mit einer Rendite von 4 %; der Unterschied ist, dass die erste 728,19 kostet und 1.000 zurückzahlt. Liegt die Rendite bis zur Fälligkeit über dem Kuponsatz, muss der Kurs unter dem Nennwert liegen, und liegt sie darunter, muss er darüber liegen.

Wann ist die Rendite eines Kuponpapiers trotzdem null oder negativ?

Wenn der Kurs so hoch ist, dass er die Summe alles dessen erreicht oder überschreitet, was die Anleihe noch zahlen wird — also den Nennwert plus jeden ausstehenden Kupon. Dann gleicht keine positive Rendite die Differenz noch aus, denn Sie zahlten heute mehr, als Sie je zurückbekommen. In der Tabelle sieht man den Rand dieses Bereichs: Bei einem Marktpreis von 1.400, also genau der Summe aller Zahlungen, ist die Rendite bis zur Fälligkeit 0 %, während die laufende Rendite noch 2,86 % meldet. Die Seite gibt in diesem Fall keine negative Zahl aus, sondern sagt, dass es keine positive Lösung gibt.

• 31 CFR Part 356, Appendix B — Formulas and Tables: the present value factors and the price formula this page solves in reverse — U.S. Department of the Treasury rule, via the Electronic Code of Federal Regulations (United States)
• Understanding Pricing and Interest Rates — why the price of a note or bond moves in the opposite direction to its yield — U.S. Department of the Treasury, Bureau of the Fiscal Service (TreasuryDirect), United States
• Current Yield — Investor.gov glossary (the ratio of the interest paid on a bond to its market price, the figure printed beside the yield to maturity) — U.S. Securities and Exchange Commission, Investor.gov (United States)
• Zinssätze und Renditen — die deutschen Zins- und Renditereihen, an denen eine Anleiherendite zu messen ist — Deutsche Bundesbank