功计算器

功 = 力 × 距离 × cos θ，θ 是力与位移的夹角

F

做功的那个力，单位牛顿，同一格里也能选千牛、磅力与千克力。只有沿着运动方向的那一份算数，所以同一个力偏得越远，做成的事越少：60 度时这一格里有一半在做功，另一半没有

d

力作用期间物体移动了多远，单位米、英尺、厘米、英寸或千米。它量的是力作用点走过的距离——简单地推一下，它等于物体的位移；换成杠杆，两者就不是一回事了。这一格不收零：没有移动就没有功，使多大劲都一样

θ

力与运动方向之间的夹角，单位可以是度、弧度或百分度。它从 0 度走到 180 度，而整个故事由余弦承担：0 度全额、60 度减半、90 度归零、超过 90 度就出现负功。180 度上，一个往回拉的力做的功，正好是同样大小往前推的力取负号

W

这个力所做的功，主结果用焦耳，下面两行是千焦与英尺磅。它带正负号，而那个符号是信息不是错误：负值说明这个力正在从运动里拿走能量，摩擦力与刹车做的正是这件事，所以负功不是算错了。一焦耳就是一牛顿米，100 N 推 5 m 是 500 焦耳

F cos θ

力沿位移方向的那一份，单位牛顿，也就是力乘以夹角的余弦。它是那个力输入框的老实版本，把它和功并排看，最快明白答案是怎么来的：100 N 在 60 度上做的是 50 N 的功，在 90 度上做的是零的功

当您要知道一次拉、一次推、一次拖究竟做成了什么的时候用这一页：斜着拉雪橇时绳子的张力有多少在做有用的功、一辆车跑完一段路电机要供多少能、箱子滑到停下来摩擦力拿走了多少功。让它区别于「两个数相乘」的是那个余弦，因为答案通常比人以为的小，有时干脆是零——与运动方向垂直的力一点都不做功，而反向的力做的是负功。这个余弦也正是动能定理长成那个样子的原因：对一个物体做的功等于它动能的变化，而这句话在力学这一组页面里只在这里说一次。

1. 默认值：100 N 沿运动方向推 5 m

   1. 力 100 N，距离 5 m，夹角 0 度
   2. 力整份都沿运动方向：F cos 0 = 100 × 1 = 100 N，这就是面板上那第二行
   3. 做功：W = 100 × 5 = 500 J
   4. 换成千焦：500 ÷ 1000 = 0.5 kJ
   5. 换成英尺磅：500 ÷ 1.3558179483 = 368.7811，显示为 368.78 ft·lb

   这是夹角为零时公式塌缩成的那一种情形，在角度进来之前值得先看一眼：功的单位是焦耳，一焦耳就是一牛顿米，而 500 J 是一个人稳稳推着小半个房间所花的力气。它大约是八分之一千卡——这就是为什么搬东西在您的肌肉感觉里是「做功」，而在这件物体的能量账本上几乎不占地方。您身体为这 500 J 付出的远不止 500 J，因为肌肉的效率不是百分之百，而且举着重物不动也在耗能。

2. 同样的力偏 60 度：一半的力在做功

   1. 力 100 N，距离 5 m，夹角 60 度
   2. 沿运动方向的那一份：F cos 60 = 100 × 0.5 = 50 N——一半，面板上就是这么写的
   3. 做功：W = 50 × 5 = 250 J
   4. 换成千焦：250 ÷ 1000 = 0.25 kJ
   5. 换成英尺磅：250 ÷ 1.3558179483 = 184.3905，显示为 184.39 ft·lb

   这一条的看点是旁边那一行。只改夹角，有效力与功同时减半，因为余弦在两处都出现：100 N 的力只剩 50 N 在拉，功跟着掉一半。以为「功只由力的大小决定」的读者在这一条上会差一倍，在下一行上会差无穷倍。页面之所以要把「沿位移方向的力」单列一行，就是因为它把一个余弦变成了能在同一屏上和功对照着看的东西。

3. 提着箱子平着走：功恰好是零

   1. 力 100 N，距离 5 m，夹角 90 度——力是竖直向上的，运动是水平向前的
   2. 沿运动方向的那一份：F cos 90 = 100 × 0 = 0 N
   3. 做功：W = 0 × 5 = 0 J
   4. 千焦与英尺磅也都是零，三行能量输出一起读 0
   5. 力是真的，距离也是真的，而功仍然是零

   这是让定义一下子站住的那一行，也是最有争议的一行。您提着很重的箱子穿过一间屋子，胳膊酸得不行，而您对箱子做的机械功恰好是零——因为手臂给的力朝上、箱子朝前走，力与位移成直角，乘积就消失了。您身体烧掉的能量变成了热、变成了维持肌肉紧绷的那份张力。它没有进到箱子里去。这一页量的只是后一件事。

4. 摩擦力：夹角 180 度，功算出来是负的

   1. 力 100 N，距离 5 m，夹角 180 度——力正好指着反方向
   2. 沿运动方向的那一份：F cos 180 = 100 × (−1) = −100 N
   3. 做功：W = −100 × 5 = −500 J
   4. 换成千焦是 −0.5 kJ，英尺磅是 −368.78 ft·lb
   5. 每一行都是 0 度那一条把符号翻过来

   负功不是算错，也不是可以忽略的符号约定，它就是摩擦力、空气阻力与刹车一整天在做的事。一个滑到停下来的雪橇，摩擦力沿运动的反方向，于是摩擦力做 −500 J 的功，而雪橇正好损失 500 J 的动能。把这两条对着读就是一次对账：推力把能量放进去，摩擦力把能量拿出来，差值是物体留下的那一部分。一个在 compute 里对功取绝对值的实现说不出这句话，而它在页面上看起来完全正常。

这里只处理恒力：力在移动过程中改变方向或大小时，功要写成积分，那几行就不适用了。距离写的是力作用点走过的距离，杠杆与滚动的轮子上它不等于物体本身的行程。页面一次只算一个力，而真实物体通常同时受好几个力。举着箱子不动，您的肌肉在耗能，但机械功是零。

功的公式是什么？

W = F × d × cos θ，力乘以距离再乘以力与位移夹角的余弦。100 N 的力沿运动方向推 5 m 是 500 J，同样的力偏 60 度就只剩 250 J，偏到 90 度是零。余弦不是装饰，它挑出来的正是那个真正在做功的力分量，所以页面把这一份也单列成一行。

为什么夹角会改变功的大小？

因为只有沿位移方向的那一份力在把物体往它前进的方向上推。把力拆成沿运动和垂直于运动的两份：沿运动的那一份做全部的功，垂直的那一份一点都不做，不管它有多大。60 度时有用的是力的一半，90 度时一点不剩。用一根偏 60 度的绳子拉雪橇，就雪橇的运动而言，您确实有一半力气白费了。

功可以是负的吗？

可以，而且这个符号是有信息的。力与运动方向相反时余弦为负，功就是负的：那个力在从物体身上拿走能量，而不是给它添能量。摩擦力与刹车做的都是负功，这正是滑行的箱子会慢下来的原因。这一页保留了符号而不取绝对值，所以 100 N 的摩擦力走 5 m 读作 −500 J，把它与推力的 +500 J 相加，才是净变化。

提着箱子在屋里走，做功吗？

按这一页的定义，不做功。您的手臂把箱子往上托，而箱子水平地往前移，力与位移成 90 度，所以机械功是零。您的肌肉确实消耗了能量，而且不少，但那些能量变成了热、变成了维持张力，没有进到箱子里去。这个区别恰恰是物理定义有用的地方：它量的是转移给物体的那部分能量。

功与动能是什么关系？

对一个物体做的功等于它动能的变化，这就是动能定理。给雪橇做 500 J 的净功，它就多出 500 J 的动能；让摩擦力做 −500 J 的功，它就损失那么多。所以动能计算器拿走质量与速度、给出能量，而这一页拿走力、距离与夹角，从另一个方向给出同一个量，两者在中间相遇。

• GB/T 3102.3-1993《力学的量和单位》（等效采用 ISO 31-3:1992；功与能量为 J、力为 N、长度为 m——这一页四个输出的单位口径出自这里） — 国家市场监督管理总局 国家标准全文公开系统
• Work: The Scientific Definition（英文原文，College Physics 2e §7.1）——功为什么等于力乘位移再乘夹角余弦，以及它取零与取负值的两种情形 — OpenStax