三棱柱体积计算器
结果
体积
三棱柱体积计算器收三角形底面的面积和棱柱的棱长，回给你这个棱柱能装多少，单位是立方厘米。它是一次乘法。整页就这么点，而这份简短是有意的、不是偷懒：一旦你有了截面的面积，任何棱柱的体积就是这个面积乘上它延伸了多远，再多的输入也改变不了这条算术。之所以还是值得单独有一页，是因为那个面积往往正是你已经有的数。图纸会把一个三角形截面标成多少平方厘米，上一个计算会把它算出来，供货商的数据表上会列着它——而要求你把这个面积倒推回三条边长、只为了让页面再把它们乘回去，是白做工。它不是伞页的替代品。如果你手上是三角形的三条边而不是它的面积，这一页没有框可以放，诚实的答案是去三棱柱那一页，或者先在三角形面积页、海伦公式页把面积算出来再回来。关于这次乘法，值得知道的一点是它有多宽松：底面积 6、棱长 10 正好得 60，同样的底面积配棱长 1 正好得 6，因为整条路径上既没有除法、也没有根号。
由底面积与棱长求三棱柱的体积
| 底面积（平方厘米） | 棱长（厘米） | 体积（立方厘米） |
|---|---|---|
| 6 | 10 | 60 |
| 6 | 1 | 6 |
| 1 | 10 | 10 |
| 0 | 10 | 0 |
| 6 | 0 | 0 |
| 2.5 | 4 | 10 |
| 3 | 2.5 | 7.5 |
| 1.5 | 1.5 | 2.25 |
八个棱柱、三列，因为这一页只有一次乘法、一个答案。第一行是对账行，也是值得记住的那一行：底面积 6、棱长 10 得 60，而 6 正是底面 3-4-5 的三角形的面积，所以伞页对那三条边、同样的棱长印出来的也是同一个 60。第二行是自检——棱长取一时体积等于底面积，确认这次乘法没做别的事。第三行是它的镜像，底面积取一时体积等于棱长。第四、第五行是得到零体积的两种方式，而它们是两种不同的情形：面积为零是底面被压成了一条线，棱长为零是棱柱一点厚度都没有。最后两行带小数——第七行是棱长带小数，第八行是两个输入都带小数——乘法在那里仍然是精确的，因为整条路径上没有任何一次除法。表里每个数都是构建时由它那两个输入现算出来的，单位都是厘米，四位小数与结果面板用的是同一个宽度。
公式
体积 ＝ 底面积 × 棱长
- 底面积
- 三角形底面的面积，单位是平方厘米。这就是截面——把棱柱垂直于棱长方向切一刀，看到的那个形状
- 棱长
- 棱柱延伸了多远，单位是厘米——两个相同的三角形底面之间的距离，沿着延伸的方向量
- 体积
- 这个棱柱能装多少，单位是立方厘米。底面积乘棱长，没有别的东西了
- 底面积 × 棱长
- 一次乘法。这一页上没有任何除法、也没有任何根号，所以只要输入本身是精确可表示的，答案就是精确的而不是舍入过的
- 任何棱柱
- 这是所有棱柱的规则，不只是三角形底面的。长方体是矩形截面乘长度，圆柱是圆截面乘长度，而这一页是三角形截面乘长度
- 四位小数
- 答案印出来的宽度。两个整数永远得到整数，所以只有底面积或棱长带小数时，这些小数位才会用到
- 立方厘米
- 答案的单位，与输入框选的是哪个单位无关。这是体积，所以换算要立方——用英寸量的棱柱算回来是立方厘米，要读成立方英寸除以 16.387
这一页是给手里拿着面积而不是三条边的人用的。混凝土与土方是最大的一群：三角形的路缘、护坡、三角形截面的沟槽，图纸上给的都是一个面积，要问的是这么长一段要用多少混凝土。这些按立方米下单、到场就结账，所以数得在车来之前就对，而图纸上的面积才是权威的数，不该再从边长倒推一遍。卷材与涂层这类活，在按截面面积报价时用的也是这一页。然后是一小群活，那里的截面根本不是一个方便的三角形——一个弧形或不规则的截面，面积是量出来或估出来的而不是算出来的。那是这一页唯一能做到而伞页做不到的事：任何截面，只要面积已知，在这里都成立，因为这次乘法从来不过问那个面积是从什么形状来的。页面上到处说三角形，是因为人们就是这么搜的，而不是因为这条算术在乎。
算例
底面积 6、棱长 10
- 把底面积乘上棱长：6 × 10 ＝ 60
页面打开时就是这一组，也是对账的那一行：面积 6 正是底面 3-4-5 的三角形所具有的，所以伞页对底面 3-4-5、棱长 10 印出来的也是同一个 60。两页填同样两个数得到同一个体积——一页是从三条边把面积算出来的，另一页是被直接告知的。
底面积 6、棱长 1
- 把底面积乘上棱长：6 × 1 ＝ 6
自检那一行。棱长取一时，体积在数值上就等于底面积，这是确认这次乘法确实在做你以为的那件事、路上没有混进别的东西最快的办法。
底面积 2.5、棱长 4
- 把底面积乘上棱长：2.5 × 4 ＝ 10
带小数的面积，折半算出来的三角形面积或量出来的截面常常就是这样。乘法是精确的，后面也没有除法跟着，所以答案是干净的 10，而不是一个被修得像 10 的近似值。
底面积 6、棱长 0
- 把底面积乘上棱长：6 × 0 ＝ 0
棱长为零意味着这个棱柱一点厚度都没有，装不下东西。0 在这里是真实的值而不是空框，所以这是个真答案——而它与把底面积取零得到的那个退化底面确实是两种不同的情形，尽管两者印出来的体积都是零。
局限
这一页只收一个底面积和一条棱长，别的不收。它算不了「已知三角形的三条边」——那是三棱柱那一页的活，或者你也可以先在三角形面积页、海伦公式页把面积算出来再回来。它不出表面积、也不出侧面积，那两样伞页给，所以如果你要知道包一圈要多少材料，这一页是错的。它假设这是一个正棱柱：两个底面平行且全等、侧面与它们垂直。答案永远是立方厘米，与输入框选的是哪个单位无关；而这是体积，所以换算要立方——用英寸量的截面算回来是立方厘米，要读成立方英寸除以 16.387，不是 2.54。四位小数是印出来的宽度，不是精度承诺。两个框都收 0，体积是 0，那是真答案而不是缺答案。这一页不处理空心的棱柱、不管壁厚、不管收窄或倾斜的形状，也不管下料时会剩多少废料。
常见问题
- 底面积从哪里来？
- 如果你量到的是三角形底面的三条边，用海伦公式那一页，或者直接去三棱柱那一页，它会替你算完并直接给出体积。如果面积已经写在图纸或供货商的数据表上，直接填进来——这一页正是为这种情形准备的，而这次乘法从来不过问那个数是从哪来的。
- 为什么这一页要单独存在？
- 因为输入不同，用它的人也不同。三棱柱那一页从三条边长出发、给三个读数；这一页从一个你已有的面积出发、给一个。手里拿着标了截面面积的图纸的人，用不上一个问三条边的页面；而手里拿着三条边的人，在这一页没东西可填。
- 这里的「底」就是朝下的那个面吗？
- 不一定，这一点值得说清楚。这里的「底」指的是截面——把棱柱垂直于棱长方向切一刀看到的那个三角形端面。一个躺在某个矩形侧面上的棱柱，立着的是三角形，朝下的那个面是矩形；而这一页要的面积仍然是那个三角形的。
- 这条规则对其他形状也成立吗？
- 成立——任何棱柱的体积都是截面积乘长度，无论那个截面是什么形状。长方体是矩形乘长度，圆柱是圆乘长度。这次乘法从来不看形状，这也正是这一页对「面积是量出来的而不是算出来的」那种截面同样好用的原因。
- 单位有影响吗？
- 下拉框改的是你填进去的数，不是出来的数。结果永远是立方厘米；而这是体积，所以换算要立方：把立方厘米的答案读成立方英寸除以 16.387，不是 2.54。要提防的是「按平方英寸填截面、把体积当立方英寸读」这一种。
- 棱长是 0 会怎样？
- 体积是 0，而且是对的：棱长为零的棱柱两个底面合到了一起，装不下任何东西。0 在这里被当成一个真实的值而不是空框，所以页面照样给出结果。把框留空是另一回事——那时没有东西可乘，结果区一个数都不显示。
参考资料
- Prism — 什么样的立体算棱柱，以及为什么它的体积永远是截面积乘长度 — Wolfram MathWorld（美国）
- Volume — 本页作为特例所属的那个一般概念，以及在不是棱柱的时候体积还有哪几种求法 — Wolfram MathWorld（美国）
- Heron's Formula — 当你真正量到的是三角形底面的三条边时，怎么得到本页要的那个底面积 — Wolfram MathWorld（美国）
- 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022 年版）的通知——该通知的附件清单第 5 项是《义务教育数学课程标准（2022 年版）》；棱柱的体积是义务教育阶段数学课程的内容，课标的原文与学段划分以该附件为准 — 中华人民共和国教育部