三棱柱计算器
结果
体积
- 侧面积
- 120.0000 cm²
- 表面积
- 132.0000 cm²
三棱柱计算器收三角形底面的三条边和棱柱的棱长，回给你三个读数：能装多少、侧面包一圈要多少材料、整个表面又要多少。三棱柱是帐篷、三角巧克力条、一块楔形奶酪、屋脊和一根三角形线脚的形状——任何一端是三角形、笔直延伸到另一端同样三角形的立体都是它。三个答案里有两个很好想象。体积是三角形底面的面积乘上棱柱延伸了多远，因为棱柱就是把一个平面图形不打转地拖过去扫出来的立体，凡是这样扫出来的东西，体积都是截面积乘行程。侧面积是绕三角形一圈的长度乘上同一个棱长，因为把侧面展开，任何棱柱的侧面都是一个矩形，而它的宽就是三角形的周长。把这两个凑在一起，第三个就跟着出来了：总表面积是侧面那一圈再加上两个三角形的底面，一端一个，这就是底面要算两遍的原因。三条边还得真能构成一个三角形，这一点值得说一句，因为它是人们最容易忘掉的那道检查。三个长度只有在任意两个之和大于第三个时才是三角形。不满足时，棱柱没有底面可以起步，也就没有体积可报，页面会直说，而不是悄悄返回一个数。两条短边之和正好等于最长边时，底面是一条平的线而不是三角形，页面接受这种输入：体积确实是零，页面就印零。
由底面与棱长求三棱柱的体积
| 边 a（厘米） | 边 b（厘米） | 边 c（厘米） | 棱长（厘米） | 体积（立方厘米） |
|---|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | 10 | 60 |
| 6 | 6 | 6 | 10 | 155.8846 |
| 5 | 5 | 6 | 4 | 48 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 14.5237 |
| 1 | 1 | 2 | 10 | 0 |
| 3 | 4 | 5 | 0 | 0 |
| 2.5 | 3.5 | 4 | 7.5 | 32.476 |
| 5 | 6 | 10 | 2 | 22.798 |
八个棱柱、五列。表里只给体积而不给三个读数，是因为五列已经是这张表能承载的宽度，而体积是人们来这一页主要要的那个。第一行是对账行：底面 3-4-5 的面积正好是 6，所以体积正好是 60，而体积页用底面积 6、棱长 10 印出来的也是同一个 60。第二行是同一个检查换成一个不好看的数——边长 6 的等边底面得 155.8846，而体积页从底面积 15.5884572 也能走到这个数。第五行是退化的底面，1 ＋ 1 ＝ 2、三角形被压成一条线：面积为零，体积也就是零，页面接受它。第六行是棱长为零，体积同样是零，但原因完全不同——棱柱已经不存在了。第八行的底面接近退化——5 ＋ 6 只比 10 大一点点——面积因此很小，是浮点最吃紧的一档。表里每个数都是构建时由它那四个输入现算出来的，单位都是厘米，四位小数与结果面板用的是同一个宽度。
公式
体积 ＝ 底面积 × 棱长
- 边 a
- 三角形底面的第一条边，单位是厘米。三条边合起来必须能构成一个三角形，页面在回答之前会先检验这一条
- 边 b
- 底面的第二条边，单位是厘米。它与 a、c 一起把底面的面积、从而把体积完全定死
- 边 c
- 底面的第三条边，单位是厘米。三条边的顺序不影响结果——它们是通过周长与半周长对称地进入计算的
- 棱长
- 棱柱延伸了多远，单位是厘米——两个相同的三角形底面之间的距离，沿着延伸的方向量
- 底面积
- 三角形底面的面积，由三条边经海伦公式算出。底面 3-4-5 的面积正好是 6 平方厘米，这也是它在这一组里反复出现的原因
- 体积
- 这个棱柱能装多少，单位是立方厘米。底面积乘棱长；无论截面是什么形状，任何棱柱都是这么算
- 周长与侧面积
- 绕底面一圈的长度，以及这个长度乘棱长。把侧面展开，任何棱柱的侧面都是一个矩形，而这就是它的面积
混凝土与土方是最老的用户：三角形的护坡、顶部削平的土堆、三角形截面的混凝土路缘——凡是按体积下单或计价的东西，而按车或按立方米卖的东西大多如此。卷材与板材是第二类，它们要的是侧面积：帐篷脊上那块帆布、三角包裹外面的收缩膜、山墙上的覆板、三角形风管用的铁皮。这些活按面积算钱，而它们要的数是周长乘棱长，不是总表面积，因为两个端面通常是敞开的或者另有覆盖。刷漆和做涂层要的则是总表面积，因为端面也是要刷的，报价时把它漏掉是标准的少算方式。然后是第三个读数，它顺手就出来了，但值得知道：任何棱柱的体积都是截面积乘长度，看明白这一点之后，长方体、圆柱和这个形状就塌缩成同一条规则。这条推广正是本页与「三棱柱体积」那一页配成一对的理由——一个从三条边出发，另一个从一个你手里已经有的面积出发，而在数对得上的时候，两边落到同一个答案上。
算例
底面 3-4-5、棱长 10
- 先由海伦公式求底面积：半周长 6，于是 √(6 × 3 × 2 × 1) ＝ 6
- 乘棱长得体积：6 × 10 ＝ 60
- 三条边相加再乘棱长得侧面那一圈：12 × 10 ＝ 120
- 再加上两个三角形底面：120 ＋ 2 × 6 ＝ 132
页面打开时就是这一组，也是把两页拴在一起的那一组：底面积正好是 6，所以体积正好是 60，而体积页用底面积 6、棱长 10 印出来的也是同一个 60。三个读数都出自同一小组数字，这正是伞页的意义。
边长 6 的等边底面、棱长 10
- 先求等边底面的面积：√3 ÷ 4 × 36 ＝ 15.5884572…
- 乘棱长得体积：15.5884572… × 10 ＝ 155.884572…
等边底面，面积不是整数，答案必须在最后舍一次。体积页用底面积 15.5884572、同样的棱长，落到的也是这个 155.8846——两页之间的第二处对账。
腰 5、底 6 的等腰底面、棱长 4
- 先求底面的面积：半周长是 8，于是 √(8 × 3 × 3 × 2) ＝ 12
- 乘棱长得体积：12 × 4 ＝ 48
最普通的一种：底面面积正好是整数，棱柱也不长。这里面没有特殊形状，也没有哪条边是特意量成好算的角度的——现实里的活大多长这样。
底面 3-4-5、棱长 0
- 先求底面的面积：6
- 乘棱长：6 × 0 ＝ 0
棱长为零意味着两个底面合到了一起，棱柱已经不存在了——体积确实是零。表面积在这种情形下也不为零，因为那两个三角形底面还在、还得算进去；侧面积则不然，它等于底面周长乘棱长，棱长为零就跟着归零。一个留下、一个归零，是看清「表面积与体积答的不是同一个问题」的一个好办法。
局限
这一页收三角形底面的三条边和棱柱的棱长，别的不收。它假设这是一个正棱柱——两个底面平行且全等、侧面与它们垂直——这是「棱柱」这个词的含义，但不是每一个三角形立体的含义；朝一端收窄的楔形体要另算。截面必须是三角形：底面是一般四边形的棱柱是另一个形状，另有页面。三条边必须满足三角不等式，两条短边之和小于最长边时页面会拒绝而不是给答案。正好等于最长边时底面是退化的，体积按零接受。答案永远是厘米、平方厘米与立方厘米，与输入框选的是哪个单位无关，而三者换算并不一样：长度对英寸是 2.54，面积是 6.4516，体积是 16.387。四位小数是印出来的宽度，不是精度承诺，带根号的体积本来就比印出来的位数更多。侧面积不含两个三角形底面——包材要的正是这个，但刷漆估算要的不是它，刷漆请用总表面积。这一页不处理空心的棱柱、不管壁厚，也不管下料时会剩多少废料。
常见问题
- 侧面积和表面积差在哪里？
- 侧面积只是侧面那一圈——三角形的周长乘棱长。表面积把两个三角形底面也算进去，所以是侧面积再加两倍的底面积。要哪个取决于活：包材、标签、覆板要侧面积，因为一捆东西的两端是敞开的；刷漆、电镀、下板材要总面积，因为端面也得盖住。
- 哪一个是棱长？
- 棱柱延伸了多远——从一个三角形底面到另一个的距离，沿着形状延伸的方向量。它不是三角形的高；而一个平放在桌上的棱柱，这两个数看起来常常差不多，所以正因如此才值得确认手上的是哪一个。如果这个棱柱是顶帐篷，棱长就是屋脊。
- 三条边随便填什么数都行吗？
- 不行。三个长度只有在任意两个之和大于第三个时才能构成三角形。两条短边之和小于最长边时没有底面，页面会拒绝而不是给答案。正好等于最长边时底面是一条平的线，体积确实是零，所以那一档是接受的，印出来就是零。
- 为什么体积那一页有时给出同样的答案？
- 因为两页是同一条规则从不同的起点走过去。任何棱柱的体积都是截面积乘长度，所以如果你已经知道底面的面积，三条边整段都可以跳过。底面 3-4-5 的面积正好是 6，于是棱长 10 时两页都给 60——一页是先把面积算出来，另一页是被直接告知的。
- 哪条边叫 a、哪条叫 b 有讲究吗？
- 没有。三条边是对称地进入计算的——在周长里它们只是相加，在海伦公式里只用到了半周长与三个差值，而无论你按什么顺序填，这三样都是同一组数。标成 a、b、c 只是给框起个名字，没有别的意思。
- 能拿来算圆柱或长方体吗？
- 在这一页不行，因为这里的底面是三角形，字段问的就是三条边。但规则是同一条：任何棱柱的体积都是截面积乘长度，任何棱柱的侧面积都是周长乘长度。这一组里的长方体页就是同一个算法换成矩形底面，圆柱页是同一个算法换成圆形底面。
参考资料
- Prism — 什么样的立体算棱柱、为什么它的体积永远是截面积乘长度，以及侧面积是怎么定义的 — Wolfram MathWorld（美国）
- Heron's Formula — 仅由三条边求出三角形底面的面积、从而求出整个棱柱体积的那条公式 — Wolfram MathWorld（美国）
- Triangle Inequality — 底面的三条边必须满足的条件，以及为什么有些三个长度背后根本没有棱柱 — Wolfram MathWorld（美国）
- 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022 年版）的通知——该通知的附件清单第 5 项是《义务教育数学课程标准（2022 年版）》；棱柱的体积与表面积是义务教育阶段数学课程的内容，课标的原文与学段划分以该附件为准 — 中华人民共和国教育部