方差计算器

方差 = Σ (xᵢ − x̄)² ÷ (n − 1)，总体口径把同一个和除以 n

xᵢ

数据集里的一个数。它是以「离平均数多远」的身份进入计算的，而这个距离要先平方再相加

x̄

这组数的平均数：所有数之和除以个数。它和结果一起印出来，方便核对

n

这组数有几个，本页最多 200 个。样本口径除以 n − 1，总体口径除以 n，这是两个方差唯一的差别

Σ (xᵢ − x̄)²

离差平方和：每个离差先平方、再相加。平方让远离平均数的数获得大得多的权重——离平均数 10 个数加 100，离 2 个数只加 4

σ²

方差本身。它的单位是平方的，这使它成为适合相加、却不适合直接读的那个量

要用平方过的那个量时就用方差：独立来源的方差可以直接相加——总量的方差等于各方差之和，而标准差不能这样加——方差分析、回归，以及建在它们上面的绝大多数方法，输入的都是方差而不是标准差。反过来，凡是这个数要给人读，就用标准差：4.5714「平方分」说明不了任何事，而 2.1381 分可以和分数本身摆在一起比。上面两块结果都给了，选哪个只是引用哪一个的问题。还有一点：方差对单个极端值的敏感程度远高于标准差，因为那个数的距离是先平方再参与计算的。

1. 八个数，样本方差

   1. 总和：2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9 = 40，共 8 个数，平均数 5
   2. 各数的离差：−3、−1、−1、−1、0、0、2、4
   3. 离差平方和：9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16 = 32
   4. 样本方差：32 ÷ (8 − 1) = 4.5714
   5. 作为对照的标准差：√4.5714 = 2.1381

   方差是 4.5714，标准差是 2.1381，这不是巧合：其中一个正是另一个的平方。答案出来之前先看中间那两步——离差平方和是整个计算里唯一没法用眼睛估的量，所以面板把它印了出来，不必凭信任接受它。

2. 同一组数按总体口径

   1. 离差平方和不变：32
   2. 总体方差：32 ÷ 8 = 4
   3. 总体标准差：√4 = 2

   同一组数得到两个方差，4.5714 与 4，差别只在除数。值得拿自己的数把下拉框切一次：如果某个表格软件与这一页对不上，原因几乎总是除数。两者之中方差对这个选择更敏感，因为它没有被开根号缩小过。

3. 四个一模一样的读数，离散程度恰好是零

   1. 每个数都是 3，所以平均数是 3，每个离差都是 0
   2. 离差平方和：0
   3. 总体方差：0 ÷ 4 = 0
   4. 总体标准差：√0 = 0

   方差为零意味着这组数完全没有离散，这也是「方差是 0」唯一算真实答案而不是出错信号的情形。它也说明了变异系数的条件为什么是「均值为正」而不是「方差不等于零」：零离散除以一个正的平均数，得到的正是一个完全正当的 0%。

这是「一串数的算术方差」，没有加权能力：一个数填一次就只算一次，频数表或加权调查要另换算法。它的单位是平方的——克变成克的平方——所以这个数没法与它来自的那批数据相比，旁边那个标准差就是为此而印的。因为每个离差都平方了，一个极端值会盖过其余所有数：一个大了十倍的读数，贡献是「比平常远一倍」那个数的 100 倍。偏态的数据用四分位数描述比用方差或标准差合适。列表上限 200 个数，像 1,500 这样的写法会被拒收而不是替读者猜：夹在两个数字中间的逗号在有些国家是小数点，改写 1500 或 1.5 都可以。

方差怎么算？

四步。先把所有数加起来除以个数得到平均数；再拿每个数减平均数；把每个差平方后加起来，这个和就是离差平方和；最后除以 n − 1（样本）或 n（总体）。以 2、4、4、4、5、5、7、9 为例，离差平方和是 32，所以样本方差是 32 ÷ 7 = 4.5714，总体方差是 32 ÷ 8 = 4。

方差和标准差有什么区别？

差一次开根号。标准差是方差的算术平方根，两者互为平方：这里方差是 4.5714，标准差是 2.1381。适合相加的是方差——独立来源的方差可以直接相加，标准差不能——所以方差分析那类方法要的输入是方差。适合读的是标准差，因为它回到的是数据的原始单位，而不是平方单位。

为什么每个数都加上同一个数，方差不变？

因为方差只看各数与平均数的距离，而每个数都加同一个数时，平均数也跟着加同一个数。给 2、4、4、4、5、5、7、9 每个数加 100，平均数从 5 变成 105，而每个离差一个都没变，离差平方和仍然是 32。乘一个常数正好相反：方差乘那个常数的平方，标准差只乘那个常数本身。

方差会是负数吗？

不会。离差平方和里的每一项都是平方，所以和不会是负的，除数又是正个数，所以方差最小只能是零——只有所有数完全相同时才会取到零，比如四个都是 3 的读数，方差就是 0。屏幕上出现负的方差只可能是计算出错，不是数据特殊。

可以从表格里直接粘一列吗？

可以。换行、制表符、分号、空格，以及「逗号加空格」都算分隔符，从 Excel 粘一列直接就能读，空段会被跳过而不是判错。最多读 200 个数。像 1,500 或 1.500 这样的写法是故意拒收的：分隔符后面跟着三位数字，在有些国家是千分位、在另一些国家是小数点，改写 1500 或 1.5 都可以。

• GB/T 3358.1-2009《统计学词汇及符号 第1部分：一般统计术语与用于概率的术语》（推荐性国家标准，现行：2009-10-15 发布 / 2010-02-01 实施，采标；该站注明因涉及国际版权不提供在线阅读，全文需另寻） — 国家市场监督管理总局 国家标准全文公开系统
• Measures of Scale — e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.6（方差与标准差的定义、平方带来的权重、方差受尾部影响） — 美国国家标准与技术研究院（NIST）
• Measures of the Spread of the Data — Introductory Statistics 2e, section 2.7（方差是离差平方的平均，样本除以 n − 1） — OpenStax（莱斯大学）