标准差计算器

标准差 = √( Σ (xᵢ − x̄)² ÷ (n − 1) )，总体口径把同一个和除以 n

xᵢ

数据集里的一个数。每个数都是以「离平均数多远」的身份进入计算的，而把它平方，是为了让高于平均数的距离与低于平均数的距离不会互相抵消

x̄

这组数的平均数：所有数之和除以个数。它和答案一起印出来，方便逐步核对

n

这组数有几个，本页最多 200 个。样本口径除以 n − 1，总体口径除以 n，这就是两个标准差唯一的差别

Σ (xᵢ − x̄)²

离差平方和：每个数与平均数的距离先平方、再相加。它的单位是原单位的平方，这正是最后要开一次根号的原因

s

标准差，单位与原始数据相同。每个数都加上同一个常数，它不变；每个数都翻倍，它跟着翻倍

凡是需要用一个数代表一组数据的离散程度时就用它：同一个量的反复测量、考试成绩、每日营业额、一批零件的重量。手上的数只是更大总体的一份样本时用样本标准差，只有这串数本身就是全部时用总体口径。它也是把原始数值换算成 Z 分数的那一步，大多数离群值判据都建在它上面。有两件事它答不了：这组数的分布对不对称，以及某个极端值是不是敲错了——偏态的数据用四分位数与中位数描述比用标准差合适。另外，开根号这一步换来的东西值得说清：离差平方和带着平方单位，开根号才把它还原成原始数据的单位，而方差把单位平方了。

1. 八个数，样本与总体口径并排看

   1. 个数：8 个；总和：2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9 = 40
   2. 平均数：40 ÷ 8 = 5
   3. 各数与平均数的离差：−3、−1、−1、−1、0、0、2、4
   4. 离差平方和：9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16 = 32
   5. 样本方差：32 ÷ (8 − 1) = 4.5714
   6. 样本标准差：√4.5714 = 2.1381

   同一组数按总体口径算是 32 ÷ 8 = 4，标准差正好是 2。选错除数是「两个计算器给出不同标准差」最常见的原因，这里它让答案差了约 7%——数少时差得多，数多了差别就淡了。

2. 五门课的成绩

   1. 总和：85 + 90 + 78 + 92 + 88 = 433，共 5 门
   2. 平均数：433 ÷ 5 = 86.6
   3. 离差平方和：2.56 + 11.56 + 73.96 + 29.16 + 1.96 = 119.2
   4. 样本方差：119.2 ÷ 4 = 29.8
   5. 样本标准差：√29.8 = 5.4589

   把离差与离差平方两行对着看：78 分那一门比平均数低 8.6 分，一个人就贡献了 73.96，比其余四门加起来还多。平方是远端的数获得权重的来源，也是「一门考砸」对标准差的影响大于对平均数的影响的原因。

3. 只有三个数时，两个口径差得最远

   1. 总和：4 + 8 + 6 = 18，共 3 个数，平均数 6
   2. 离差：−2、2、0；平方：4、4、0，离差平方和为 8
   3. 总体方差：8 ÷ 3 = 2.6667
   4. 总体标准差：√2.6667 = 1.633

   三个数是这一页允许当作样本的最小规模，也正是除数最见效果的地方：样本口径把同一个 8 除以 2，给出 2 而不是 1.633，差了 20% 以上。样本标准差永远比总体标准差大，数据越多两者越接近。

这是「一串数的算术标准差」，它没有加权的能力：一个数填一次就只算一次，频数表或加权调查要另换算法。它描述的是离散程度，不是形状——偏态的数据一边短一边拖着长尾，这时候标准差帮不上什么忙，四分位数与中位数更合适。每个数都算数，所以一个敲错的极端值会把答案整个抬上去。列表上限 200 个数。像 1,500 这样的写法会被拒收而不是替读者猜：夹在两个数字中间的逗号在有些国家是小数点、在另一些国家是千分位，判不了就不判，改写 1500 或 1.5 都可以。最后，这串数字在任何语言下都按同一个规则读，你用什么语言看这一页，都不会改变列表的含义。

样本标准差与总体标准差差在哪？

只差一个除数。两者都从同一个离差平方和出发，样本口径除以 n − 1，总体口径除以 n。以 2、4、4、4、5、5、7、9 这八个数为例，离差平方和是 32，所以样本标准差是 √(32 ÷ 7) = 2.1381，总体标准差是 √(32 ÷ 8) = 2。样本的答案永远更大一些，数据越多两者越接近。

标准差怎么算？

五步。先把所有数加起来除以个数，得到平均数；再拿每个数减平均数，得到各自的离差；把每个离差平方——平方是为了让高于平均数的部分不与低于平均数的部分互相抵消；把平方加起来；最后除以 n − 1（样本）或 n（总体），再开根号。上面那个结果面板把个数、总和、平均数与离差平方和都印了出来，任何一步都可以单独核对。

为什么样本口径除的是 n − 1 而不是 n？

因为减掉的那个平均数是拿同一批数算出来的，每个数都把这个平均数往自己这边拉了一点。用「数据自己选出来的平均数」量离差，量出来的平均会比真实离散程度略小，除以 n 就会偏小；除以 n − 1 正是对这个偏差的修正。数少的时候修正最明显——三个数时差了 22%——数多了就几乎看不出来。

可以从表格里直接粘一列吗？

可以。换行、制表符、分号、空格，以及「逗号加空格」都算分隔符，所以从 Excel 粘一列、或者自己用分号敲一行都读得对。空段会被跳过而不是判错，所以末尾多一个换行没有影响。最多读 200 个数。有一种写法是故意拒收的：1,500 或 1.500 这种分隔符后面跟着三位数字的形状——它在有些国家是千分位、在另一些国家是小数点，判不了就不判，改写 1500 或 1.5 都可以。

标准差的单位是什么？

与数据本身的单位相同。按克称的一批零件，标准差也是克。这正是最后开一次根号换来的：离差平方和的单位是「克的平方」，方差也是，开了根号才回到克。用 NIST 的话说，标准差把离散程度的单位还原成原始数据的单位，而方差把单位平方了。也正因如此，标准差可以和数据摆在一起读，方差不能。

为什么我算出来和别人算的不一样？

十有八九是除数。不少计算器只给总体标准差、或者只给样本标准差，而且不写明是哪一种，先去看对方的文字里除的是 n − 1 还是 n。另外两种可能也值得排除：某个数用了小数逗号而被对方当成了分隔符；以及某个极端值一边算进去了一边没有——标准差对每一个数都敏感，多一个数就会变。

• GB/T 3358.1-2009《统计学词汇及符号 第1部分：一般统计术语与用于概率的术语》（推荐性国家标准，现行：2009-10-15 发布 / 2010-02-01 实施，采标；该站注明因涉及国际版权不提供在线阅读，全文需另寻） — 国家市场监督管理总局 国家标准全文公开系统
• Measures of Scale — e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.6（离散程度的度量：方差、标准差、极差等） — 美国国家标准与技术研究院（NIST）
• Measures of the Spread of the Data — Introductory Statistics 2e, section 2.7（样本标准差 s 与总体标准差 σ 的定义与除数 n − 1） — OpenStax（莱斯大学）