相对标准差计算器

相对标准差 = (s ÷ x̄) × 100%

s

这组读数的标准差，单位与数据相同。下面是样本还是总体由你选，它会改变这个数、因而也改变答案

x̄

这组读数的平均数。它必须严格为正：平均数为 0 时分母为 0，平均数为负时算出来的比值作为相对离散程度没有任何意义

相对标准差

报成百分数的相对标准差。它是无量纲的——标准差的单位与平均数的单位在除法中消掉了——所以不同仪器、不同量程上的结果可以并排比较

n

一共几个读数，本站上限 200 个。把同一个量多测几次会让标准差变小，所以报精密度时把次数一起报出来才算诚实

只要一个离散程度需要相对被测量的那个量本身来判断，就用它：同一样品的多次重复测定、标准曲线的散点、某次测定日与日之间的波动、输出会漂移的传感器上的噪声。这条公式与变异系数那一页是同一条，两个名字也总是同时出现——说哪个取决于你在哪个行当。分析化学、计量与临床实验室报的是相对标准差，通常缩写为 RSD，而 5% 以下常被当作重复性良好，尽管那个可接受的数是由方法定的、不是某条普适规则定的。社会经济类的工作对同一套算术更常说变异系数，用在收入、价格或收益率上。读者期待哪个名字就用哪个；数是同一个。

1. 八个数，样本标准差口径

   1. 平均数是 40 / 8 = 5
   2. 样本标准差是 2.1381
   3. 2.1381 / 5 = 0.427618…，写成百分数：42.76%

   这组数本来就是有意铺开的，42.76% 如实这么说：典型偏离平均数的距离差不多是平均数本身的一半。一个百分数就带上了整个比较——同一组数换成毫米作单位，结果一模一样，因为单位在除法里消掉了。

2. 同一组数据换成总体口径

   1. 只换了除数：用 n 而不是 n − 1，标准差因此是 2 而不是 2.1381
   2. 平均数不变，仍是 5
   3. 2 / 5 = 0.4，所以相对标准差是 40.00%

   这里两个除数相差 √(8/7)，把标准差挪动约 7%，把百分数从 42.76 挪到 40.00。同一个样品测五次属于从一个更大过程里抽样，所以通常用 n − 1；只有当这张列表确实就是全部存在的东西时，才该用总体口径。

3. 同一样品的五次重复测定

   1. 五个读数的平均数是 241 / 5 = 48.2
   2. 它们的样本标准差是 0.255
   3. 0.255 / 48.2 = 0.005289…，写成百分数：0.53%

   这是一次真实精密度检查的样子：同一个测量重复五次，围绕 48.2 散开约四分之一个单位。进报告的是 0.53% 这个数，不是 0.255 这个标准差——离开「读数本身在 48 附近」这个背景，0.255 什么都说明不了。同一个 0.255 如果平均数是 1，就是 25.5%，这正是要报比值而不报标准差的全部理由。

4. 所有读数完全相同

   1. 平均数是 10，标准差是 0——两个读数之间没有差别
   2. 0 / 10 = 0，所以相对标准差是 0.00%

   这里的 0 是算得出来的真答案，不是失败：它说的是这次测量完全重复了。读数位数固定的仪器确实做得到这一点，而这也是唯一一种情况——相对标准差分不出「精密度极好」与「根本没测出变化」，说话的是那个 0。

平均数必须严格为正，这是一条实打实的限制而不是技术细节。平均数为 0 时标准差要除以 0，答案没有定义；平均数为负时比值算得出来但没有意义，因为拿离散程度去除一个负的中心并不度量相对波动。跨过零点的数据——摄氏温度、盈亏、海平面上下的海拔——因此不在这个工具的适用范围内，任何落在间隔尺度而非比率尺度上的测量也一样，因为百分比变化取决于零点画在哪里。两组数据可以有同一个相对标准差而形状完全不同：这个数只用到平均数与标准差，看不出偏斜、厚尾，也看不出有没有第二个聚集区。数值小也不自动等于更好——接近 0 的相对标准差可能只说明仪器分辨率粗，把什么都四舍五入成同一个读数。什么叫「好」没有普适阈值：可接受的数来自方法、规格或行业惯例，这也是这一页只印数、不给结论的原因。列表上限 200 个数，而 1,500 这种写法会被直接拒绝而不是猜：「数字中间一个逗号」在一些国家是小数点，在另一些国家是千位分隔符。

相对标准差是什么？

它是标准差除以平均数、再报成百分数：相对标准差 = (s ÷ x̄) × 100%。对 2、4、4、4、5、5、7、9 这组读数，标准差是 2.1381、平均数是 5，得到 42.76%。除以平均数是让这个数与被测量的大小可比的那一步——读数 48.2、标准差 0.255 是 0.53%，而同一个 0.255 在平均数 1 旁边就是 25.5%。

它和变异系数是一回事吗？

是——两个名字说的是同一套算术，差别只在乘不乘 100。多数软件（包括这里引用的那份手册）叫它变异系数，报的是纯比值（0.4276 而不是 42.76%）；实验室与计量类文档更常叫它相对标准差，且习惯写成百分数。所以同一组数据在这一页得到的值，正好是变异系数那一页的 100 倍，而能让两个工具算出不同结果的另一件事只有样本或总体那个除数。

精密度有没有一个「多少算好」的界？

没有普适的界，这一页也有意不提供阈值。分析化学里常说相对标准差低于 5% 算重复性良好，但那个数来自某个行当的惯例与某个方法的要求——地球化学分析的要求与临床测定的接受限可以差得很远。把公开的阈值当作那个学科的经验法则，而不是这个统计量本身的性质。该做的是拿它去跟方法或仪器被规定要给出的精密度比。

我的数据里有负数，会怎样？

计算会被拒绝，这是有意的。相对标准差需要一个严格为正的平均数：平均数为 0 就是在除以 0；平均数为负时，拿离散程度去除它会得到一个负的百分数，对相对波动什么都说明不了。根本原因是这个数只对比率尺度上的测量才有意义——那种有真正零点的尺度，2 公斤才确实是一公斤的两倍。摄氏温度、盈亏、海平面上下海拔都在间隔尺度上，它们的零点是约定出来的，所以这类比值对它们没有意义。

精密度和准确度有什么区别？

精密度说的是重复测量彼此之间有多接近，准确度说的是这些测量离真值有多近。相对标准差量的是前者：同一个样品测五次，读数都落在 48.0 到 48.5 之间，相对标准差很小；但如果真值是 50，那么这五次既精密又不准，而这一页给出的数完全看不出后一件事。要评准确度得拿测量跟一个已知的参考值比，那是另一件事，也不在这一页的范围内。

样本和总体这两个口径该选哪个？

只要这些读数是某个更大东西的样本，就用 n − 1 那个口径——同一个样品测五次这个最常见的情形也算，因为这五次代表的是你本可以做出的全部测量。只有这张列表确实就是全部存在的值时，才用 n。列表长的时候差别很小，短的时候看得出来：八个值这里，样本口径给 42.76%，总体口径给 40.00%，差了将近三个百分点。

• Measures of Scale — NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.6（定义了这一页所依据的标准差，并指出「与平均数之差的平方」会让远离平均数的值获得更大权重） — National Institute of Standards and Technology（美国国家标准与技术研究院）
• Normal Distribution — NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.6.6.1（在分布的常用汇总量里列出变异系数 σ / μ，也就是这一页报成百分数的那个量；该手册用的是 coefficient of variation 这个名字） — National Institute of Standards and Technology（美国国家标准与技术研究院）
• GB/T 3358.1-2009 统计学词汇及符号 第 1 部分：一般统计术语与用于概率的术语（覆盖标准差与相对离散程度的术语标准；记录页注明不提供在线全文） — 国家市场监督管理总局