平方和计算器

平方和 = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)² / n

x

列表里的每一个数，一个一个来。每个数都贡献自己那一段平方，所以少算一个数就会改变总数

x̄

这些数的平均数。离差就是从它量起的，而选它正是因为绕在它周围的那些离差正好抵消成 0

平方和

离差平方和——本页的主结果。当且仅当每一个数都相同时它等于 0；它既随离差本身变大而变大，也随离差的个数变多而变大

Σx²

各值的平方之和，也叫各值平方之和。它是恒等式右边第一项，也是两个「平方和」里最容易被认错的那个——两个都叫平方和

Σx

各值先不平方、直接相加得到的和。把它平方再除以 n，就是那个把 Σx² 修正成离差平方和的项

n

一共几个数，本站上限 200 个。它出现两次——一次是修正项里的除数，一次是印出来供核对的那个个数

当你要看的是中间那一步而不是最后那个量的时候用它：手算核对方差或标准差的时候、要讲清那两个量为什么把离差平方的时候、要比较一个模型吃掉了总变动的多少的时候。当你在跟「和」打交道而不是跟「平均数」打交道时，它也是最自然的写法，比如方差分析——那套方法通篇就是在对平方和做账。在有截距的回归里，这个量与人们说的总平方和是同一个量，模型的拟合优度就是看拟合出来的直线吃掉了它里面的多少。右边那半条恒等式还值得知道另一个理由：在机器出现之前它就是算法，而今天仍有很多公式照这么写，只是当数值很大而离散很小时，这条路会损失精度。所以上面的计算器走的是定义式那条路，把恒等式的几项印出来只是为了让你核对两条路给出的数一样。

1. 八个数：两条路都给出 32

   1. 平均数是 40 / 8 = 5
   2. 离差是 −3、−1、−1、−1、0、0、2、4，它们加起来是 0——每次都如此
   3. 把它们平方得到 9、1、1、1、0、0、4、16，加起来是 32
   4. 另一条路：各值平方之和是 232，(Σx)² / n = 1600 / 8 = 200，于是 232 − 200 = 32

   两条路都落在 32 上，而看见这件事正是这一页大半的意义。前三个离差是负的、后两个是正的，这正是非要平方不可的原因——不平方的离差加起来是 0，分不出两组数据有什么不同。

2. 两个数，平均数带小数

   1. 平均数是 3 / 2 = 1.5，所以离差是 −0.5 与 +0.5
   2. 平方得到 0.25 与 0.25，于是平方和是 0.5——不是 1
   3. 另一条路：5 − 3² / 2 = 5 − 4.5 = 0.5，小数出现在减法那一步

   两个数的平方和最大也就是它们间距平方的一半，而这是最小的那一种情形：两个离差各承担距离的一半。最常见的错法是直接把间距平方，那在这里会得到 1 而不是 0.5——间距本身就是两个离差之差，它被算了两遍。

3. 一个数：0 对 1764

   1. 一个数的平均数就是它自己，所以平均数是 42
   2. 离差是 42 − 42 = 0，0² 还是 0，所以离差平方和是 0
   3. 各值平方之和完全是另一个量：42² = 1764

   两个都叫平方和的数，差了三个数量级，出现在同一块面板上。正是这一格让它们分得开：列表长一点的时候这两个数通常同一个量级，很容易顺手拿错。离差平方和是 0，因为一个数无法偏离它自己——这是算得出来的真答案，不是失败，也正是这一页不像方差那样要求至少两个数的原因。

4. 四个相同的数

   1. 平均数是 12 / 4 = 3，所以每一个离差都是 0
   2. 离差平方和是 0
   3. 各值平方之和是 3² + 3² + 3² + 3² = 36，它不等于 0，也永远不会等于 0

   这里的 0 说的是这组数据没有任何离散，而它与上面那一格虽然都印 0，却是两件事：这里有四个观测而它们完全一致，那里只存在一个观测。各值平方之和走的是相反的方向——每多一个数它就变大，与离散程度无关。

这一页最大的风险在名字上。有两个不同的量都叫平方和，而两个都出现在这块面板上：离差平方和 Σ(x − x̄)² 是本页的答案，各值平方之和 Σx² 只是恒等式里的一项。只有一个数的时候两者差三个数量级。报一个数之前先看清是哪一行。第二个限制是这一页不做的事：回归会把总平方和拆成拟合直线解释掉的那部分与残差那部分，而这个拆分在这里拿不到。它需要第二组数（自变量）和一条穿过数据的拟合直线，而本节里没有任何一页拟合直线——协方差那一页算到相关系数就停了。有一件事是真的，而且值得知道：有截距的回归里，总平方和与这一页算的是同一个量，只是作用在被解释的那个变量上；缺的只是那个拆分。还有一条实际的理由让计算器走定义式而不走恒等式：两个很大又很接近的数相减会丢精度，所以在一串很大的数、离散又很小的时候，右边那条路给出的答案会明显不对。恒等式印出来是供核对的，不是用来提速的。列表上限 200 个数，而 1,500 这种写法会被直接拒绝而不是猜：「数字中间一个逗号」在一些国家是小数点，在另一些国家是千位分隔符。

平方和怎么算？

先求平均数，再把每个数减去平均数，把每个结果平方，最后加起来。对 2、4、4、4、5、5、7、9 这组数，平均数是 5，离差是 −3、−1、−1、−1、0、0、2、4，它们的平方加起来是 9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16 = 32。每一个数都参与，包括那些正好落在平均数上的，它们贡献的是 0。

为什么要把离差平方，直接加起来不行吗？

因为不加平方的离差每次加起来都正好是 0。低于平均数的值把高于平均数的值抵消掉了，对任何一组数都成立，所以离差之和完全不携带离散程度的信息。平方一举做两件事：让每一项都变成正的、什么也抵消不掉；同时让离平均数远的值按比例获得更大权重——偏出两个单位贡献 4，偏出二十个单位贡献 400。后一件事是有意为之，也正是平方和以及由它算出的方差对单个极端值反应强烈的原因。

这一页上为什么有两个都叫平方和的数？

因为统计学里有两个量共用这个名字，而这一页把两个都印出来了。离差平方和 Σ(x − x̄)² 是本页的答案，也是方差的分子；各值平方之和 Σx² 是每个数各自平方之后相加，还没有减去任何平均数。两者由恒等式 Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)² / n 联系起来，各值平方之和之所以在屏幕上，就是为了这条恒等式，但两者不能互相代替：对单独一个数 42，离差平方和是 0，而各值平方之和是 1764。

样本和总体那个选择会改变答案吗？

不会，这也是这一页没有那个下拉框的原因。样本与总体两条公式只差除数——n − 1 与 n——而平方和不做任何除法，给定一组数它就是一个数。那个选择出现在方差与标准差那两页，因为除法发生在那里，也正是同一组数据能算出两个方差却只有一个平方和的原因。

它和方差、标准差是什么关系？

方差就是这个数除以自由度：样本是 n − 1，总体是 n。标准差是方差的平方根。所以平方和是原料，而那个除法才是让不同大小的数据组可比的那一步——八个数的和天生比四个数的和大，哪怕离散程度一样。除以 n − 1 而不是 n，还顺带修正了一个轻微的偏低：离差是绕着样本平均数算的，而不是绕着真实的总体平均数。

平方和会是负数吗？

永远不会。每一项都是平方，所以每一项都是 0 或者正数，总和也一样。当且仅当每一个数都等于平均数时它等于 0，而那就意味着每一个数都等于其他所有数——要么列表里只有一个数，要么所有的数完全相同。0 是一个真实结果，说的是这组数据没有离散，不是出错的信号。如果你看到一个负数，那要么是各值平方之和 Σx² 被写错了符号，要么是手算的平方差算错了。

• Measures of Scale — NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.6（把方差定义为离差平方和除以 n − 1，并指出「与平均数之差的平方」会让远离平均数的值获得更大权重） — National Institute of Standards and Technology（美国国家标准与技术研究院）
• Measures of the Spread of the Data — OpenStax, Introductory Statistics 2e, section 2.7（指出方差是离差之平方的平均数，样本情形下就是 x − x̄ 那些值；也就是这一页在除之前算的那个量） — OpenStax（莱斯大学）
• GB/T 3358.1-2009 统计学词汇及符号 第 1 部分：一般统计术语与用于概率的术语（覆盖方差与它所依据的平方和的术语标准；记录页注明不提供在线全文） — 国家市场监督管理总局