货币时间价值计算器
结果
终值
- 现值
- 6,139.13
- 终值与现值之差
- 10,149.82
今天的 100 块和十年后的 100 块不是同一笔钱，本页告诉你它们差多远。填入一个金额、一个利率和年数，它就把同一笔钱在两个时点上各读一遍：往未来读，是它到期滚成的终值；往回读，是同样远的一笔付款在今天值多少现值。第三个数是这两者之间的距离——时间本身加进去或拿走的那部分价值，也就是把货币时间价值写成一个金额而不是一个利率。复利频率可以选每年、每半年、每季、每月、每日或连续，这一项比看上去重要：同样的 5%、同样十年，按年复利是 16,288.95，按连续复利是 16,487.21，差出来的 198 全部来自频率。本页不会告诉你 5% 这个利率选得对不对，也不会告诉你「晚一点拿到钱」是不是你愿意承担的风险；它只负责在日期之间换算，仅此而已。
10,000 按 5% 每年复利，在六个不同期限上各读一遍
| 年数 | 终值 | 现值 | 差额 |
|---|---|---|---|
| 1 | 10500 | 9523.81 | 976.19 |
| 2 | 11025 | 9070.29 | 1954.71 |
| 3 | 11576.25 | 8638.38 | 2937.87 |
| 5 | 12762.82 | 7835.26 | 4927.56 |
| 10 | 16288.95 | 6139.13 | 10149.82 |
| 20 | 26532.98 | 3768.89 | 22764.09 |
从头到尾是同一个金额、同一个利率——10,000、5%、每年复利——动的只有两种读法之间隔了多少年，所以顺着表往下读，读的就是「单靠时间做了什么」。三列的行为完全不同，这正是要点。终值一路爬升而且在加速：一年 10,500，五年 12,762.82，十年 16,288.95，二十年 26,532.98——从十年那一行走到二十年那一行，加出来的比头五年加起来的还多。现值则是一路下跌而且在减速，同样这段跨度里从 9,523.81 降到 3,768.89，因为折现除的是一个越来越大的系数。最值得单独看的是最后一列：一年 976.19，五年 4,927.56，十年 10,149.82，二十年 22,764.09。期限从一年变两年，它不止翻倍；从十年变二十年，又不止翻倍——这个效应关于时间不是线性的，也永远不会是，因为干活的是指数。中间那两列要合起来读：它们是同一笔 10,000 从两端看过去的样子，在二十年那一行上，26,532.98 是今天的钱将来变成的数，3,768.89 是「二十年后给你 10,000」这个承诺现在值的数。
公式
终值 = 金额 × (1 + 年利率 ÷ m)^(m × 年数) 现值 = 金额 ÷ (1 + 年利率 ÷ m)^(m × 年数)
- 金额
- 在两个时点上被读的那笔钱；往未来读时它是你今天手上的数，往回读时它是期末到期的那笔数
- 利率
- 年名义利率，复利之前那个；填 2 表示 2%，注意这是报价利率，不是复利之后实际拿到的有效利率
- m
- 一年复利几次——每年 1、每半年 2、每季 4、每月 12、每日 365；它越大，同一个报价利率赚得越多
- 年数
- 这笔钱放多久，按年计；指数是 m × 年数，所以数的是复利期数而不是年数
- 终值
- 今天的这笔钱到期会变成多少——往未来的那一读，也是本页的主结果
- 现值
- 那么远的一笔钱在今天值多少：同一个式子反着跑一遍，把乘改成除
- 时间价值差额
- 终值减去现值：同一笔钱在两个日期上的读法之差，而这一整段等待值多少钱，就是它
- 连续复利
- 极限情形：m 无限增大，式子变成 金额 × e^(利率 × 年数)；它与上面那个不是同一个表达式，而是另一种写法，任何有限的 m 都到不了它
往未来读用来回答「一笔钱会变成多少」——存款会长到多少、一笔本金要长到多少才值得存、一个目标金额反过来意味着多高的利率或多少年。往回读用来回答「将来的一笔钱今天值多少」，这是所有折现估值背后的那一步：一份租约、一笔和解金、一个五年后付款的承诺。要看的是这个效应有多大而不是造成它的利率时，就用差额，那通常是更有说服力的一半论证。三种情形它不合适。它算不了一串付款——那需要把金额按时间表重复，是年金那几页的事。它对风险一无所知：它只是按你给的利率在日期之间换算，钱有可能根本收不回来，那是另一个它不碰的问题。它也分不清哪个方向才是真实的：当你去折现一个债权人承诺给你的付款时，该用的利率是你在同等风险的钱上真正能赚到的那个，而不是债权人希望你相信的那个。
算例
10,000 按 5% 放十年，每年复利
- 每年复利、十年、5%，系数是 1.05^10 = 1.628894627
- 终值：10,000 × 1.628894627 = 16,288.95
- 现值：10,000 ÷ 1.628894627 = 6,139.13
- 差额：16,288.95 − 6,139.13 = 10,149.82
这是默认算例，也是整个概念最干净的一句话。把两个金额读成同一笔 10,000 从一个十年跨度的两端看过去：16,288.95 是今天的钱将来变成的数，6,139.13 是「十年后给你 10,000」这个承诺现在值的数。中间那 10,149.82 不是费、也不是亏——它就是时间被标了价。注意终值比原额多 6,288.95、现值比原额少 3,860.87，而差额是这两段变化之和，不是其中任何一段；三个数都印出来，这条算术才看得见。
利率为零：8,000 放十五年什么都没变
- 0% 时系数是 1.00^15 = 1
- 终值：8,000 × 1 = 8,000
- 现值：8,000 ÷ 1 = 8,000
- 差额：8,000 − 8,000 = 0
这不是退化情形、也不是报错——利率为零是「在这次比较里，今天的 1 块和十五年后的 1 块被当作同一件事」最诚实的说法。本页所做的一切同时塌掉：两个方向都原样返回金额，差额精确地等于零。把它当成一个参照点是有价值的，因为它把整个效应用隔离出来了：参考表其余各行与这一行的唯一区别，就是利率不为零。如果你在不为零的利率上看见差额为零，那一定是两个金额里有一个没被应用上。
同样的 10,000 与 5%，改成连续复利
- 连续复利用的是 e^(利率 × 年数)，而不是 (1 + 利率 ÷ m) 的幂
- 系数：e^(0.05 × 10) = e^0.5 = 1.648721271
- 终值：10,000 × 1.648721271 = 16,487.21
- 现值：10,000 ÷ 1.648721271 = 6,065.31，差额 10,421.90
与默认算例完全相同的输入，多出来 198.26，全部来自频率。连续复利是其他档位逼近而永远到不了的天花板：按年是 16,288.95，按日是 16,486.65，让复利间隔缩到无穷小，也只比按日再多 0.56。这就是实用的那一课——从按年改到按月，数字动了几百；从按日改到连续，数字动了几毛钱，所以真正要紧的是低频档之间的选择。连续复利也是这里唯一一个「换了一套表达式」而不是「同一个式子换一个参数」的选项。
5,000 按 6% 放二十年，每季复利
- 按季即每季 1.5%、共 80 季：1.015^80 = 3.290662…
- 终值：5,000 × 3.290662 = 16,453.31
- 现值：5,000 ÷ 3.290662 = 1,519.45
- 差额：16,453.31 − 1,519.45 = 14,933.86
期限更长、利率更高的一例，而这里的差额已经差不多是本金的三倍。该看的比例是这个而不是总额：二十年、6% 之下，同一笔 5,000 的两种读法相差 14,933.86，几乎正好是那笔钱本身的三倍。期限翻倍带来的不只是翻倍，因为干活的是指数。这里现值那一列可以直接读成一个真实问题的答案：二十年后给你 5,000 的承诺，按 6% 折现，今天大约值 1,519。
局限
四件本页不做的事。它只在两个日期之间换算「一笔」金额；一串付款它算不了，所以租金、工资、贷款分期和股利要走年金那几页。利率是你给的，页面本身对它没有任何意见——它不知道通胀会是多少、同类的投资能赚多少、这笔付款的风险有多大，所以用错误的利率做换算，是对错误的问题给出了精确的答案。所有数字都没有做通胀调整，单位就是你填进去的那个单位，因此一个看起来很可观的终值，能买到的东西可能还不如那个现值多。最后，几档频率不是同一件事的几种写法：连续复利是另一个表达式，把这里的数字与别处报出的利率放在一起比较之前，必须先弄清对方用的是哪个口径。
常见问题
- 什么是货币时间价值？
- 它说的是同一笔钱在不同日期上值不同的数，所以日期之间的换算是一道计算题而不是改个说法。本页把它量出来：10,000 按 5% 放十年，远端是 16,288.95、近端是 6,139.13，两个数之间的 10,149.82 就是时间本身的价值。说这句话的过程中没有人赚到或亏掉什么——只是把同一笔 10,000 在两个日期上各读了一遍。
- 为什么有两个结果，我要的是哪一个？
- 它们是同一个运算的两个方向。终值往未来滚，回答今天的钱会变成多少；现值往回折，回答将来的一笔钱今天值多少。你手上有一笔钱要往前推，就看终值；你要给一笔别人承诺给你的付款估值，就看现值。第三个数是两者的差额，用在你想要展示这个效应有多大、而不是背后的利率是多少的时候。
- 复利频率的影响有多大？
- 在低频那头比多数人以为的大，在高频那头比多数人以为的小。10,000、5%、十年：按年 16,288.95，按季 16,436.19，按月 16,470.09，按日 16,486.65，连续 16,487.21。从按年改到按月多了约 181 块，从按日改到连续只多了不到一块钱。报价利率一直没变——变的是利息多久开始生利息。
- 两个数之间的差额是什么意思？
- 它是这段等待值多少钱，用金额而不是用利率表达。它就是把终值减掉现值，所以默认算例里是 16,288.95 − 6,139.13 = 10,149.82。它不是费用，也不是亏损；它就是在这个金额、这个利率下，那十年值多少。它涨得比期限更快，因为干活的是指数：期限翻倍，差额不止翻倍。
- 连续复利只是频率特别高吗？
- 它是其他频率逼近而永远到不了的极限，而且是用另一个表达式算出来的——金额 × e^(利率 × 年数)，不是 (1 + 利率 ÷ m) 的幂。这个区分是实用层面的：在 10,000、5%、十年这一例上，按日复利距离连续复利只有 56 分钱，所以把连续当成「第六档频率」在这里的误差不到一块钱。真正让它成为一种不同口径的是利率本身按连续复利报价的场合——衍生品定价里很常见——那时要拿去和别人比较，必须先把连续复利换算成年复利，这一步不是讲究，是必需。
- 这里考虑通胀了吗？
- 没有。所有数字都是你填进去的那个单位，所以终值 16,288.95 指的是那个日期上的 16,288.95 名义金额，它能买到多少东西是另一个问题。想要实际值而不是名义值，要么直接填一个实际利率（已经扣掉预期通胀的那个），要么事后用一个通胀假设把结果折回去。页面不会阻止你填名义利率、再把结果当成实际值来读——而这正是这类计算最常见的误用方式。
参考资料
- Future Value：Investor.gov 术语表——往未来读的那一半，今天的一笔钱到某个日期变成多少 — U.S. Securities and Exchange Commission, Investor.gov (United States)
- Compound Interest：Investor.gov 术语表——复利频率这一项正在其中做选择的那个效应 — U.S. Securities and Exchange Commission, Investor.gov (United States)
- Interest：Investor.gov 术语表——利率本身；本页做折现而不是复利时，读的是它的另一面 — U.S. Securities and Exchange Commission, Investor.gov (United States)
- Circular A-94《Guidelines and Discount Rates for Benefit-Cost Analysis of Federal Programs》：把未来的金额折成现值来做决策时，贴现率是怎么定的 — Office of Management and Budget, Executive Office of the President (United States)