时间膨胀计算器

膨胀后的时间 = 洛伦兹因子 × 固有时间，其中洛伦兹因子 = 1 ÷ √(1 − v²/c²)

v

运动那只钟的速度，按光速的几分之几来填，所以 0.9 就是光速的十分之九。这样填是有意的：这一页拿光速当单位，而不是让您去敲一个 299792458 进输入框。范围是 0 到 1，而恰好等于 1 是这一页用不了的值，因为整个公式除以的那个量在那里正好是零

Δτ

固有时间，也就是旅行者自己那只钟读到的时长，单位小时、分钟、秒或天。两个时间里小的那一个就是它，它是旅行者亲身经历的那段时间。这一页有两只钟，这一格是您必须与另一只分开填的那一只：行程要按船上的感受填，不是按地面指挥中心的日程填

γ

洛伦兹因子，1 ÷ √(1 − v²/c²)，固定印四位小数且不带单位，因为它是一个比值。它是这一页的全部主题：人或者车能到的速度下，它和 1 的差别在第十一位小数之后——1000 m/s 也只给出 1.0000000000056——页面于是印成 1.0000；0.1c 时是 1.005；要到 0.9c 之后它才开始像个值得列表的数字。页面上其他每一行，都是这个因子乘一段时间、或者与一段时间相减的结果

Δt

膨胀后的时间，也就是留在地球上那只钟在同样两件事之间读到的时长。它永远是两者中大的那一个，页面按「时长」而不是按秒数显示：0.9c 飞 5 小时，读回来是 11 小时 28 分 15 秒。没有哪一次它会比固有时间小，因为这个因子不会掉到 1 以下

Δt − Δτ

两只钟相差多少，同样按时长显示。它既不等于膨胀后的时间，也不是它的某个倍数——它是旅行者自己那几小时减掉之后剩下的部分，而双生子佯谬真正问的就是这个数。0.9c 飞 5 小时，相差 6 小时 28 分 15 秒

当您想知道的是一趟快旅行在时间上而不是在距离上的代价时用这一页：以某个像样的光速分数飞一趟，船员会老去多少；从地面看，一颗 μ 子的寿命变成了多长；或者为什么卫星上的钟必须做修正。因子是这一页最该看的东西，因为答案在两个方向上都会让人意外——0.1c 已经比任何人造物都快，而两只钟只差千分之五；可最后从 0.99c 到 0.999999c 那一小段，把效应又放大了上百倍。双生子佯谬的去程那一半就在这一页上：让一个双胞胎以 0.9c 出发，留在家里的那个日历走得快一倍多。

1. 默认值：0.9c 飞 5 小时

   1. 速度 0.9c，固有时间 5 小时
   2. 洛伦兹因子：1 ÷ √(1 − 0.9²) = 1 ÷ √0.19 = 2.294157，印成 2.2942
   3. 船上的 5 小时是 5 × 3600 = 18000 秒
   4. 膨胀后的时间：2.294157 × 18000 = 41294.83 秒，取整到 41295——也就是 11 小时 28 分 15 秒
   5. 相差：41295 − 18000 = 23295 秒，也就是 6 小时 28 分 15 秒

   两行时长正是这一页不只是一次乘法的理由。船上那只钟读 5 小时，地球上那只钟读 11 小时 28 分，而它们相差的 6 小时 28 分是第三个数，也是双生子佯谬问的那个数。还要留意相差这一行不是固有时间的倍数：23295 秒是 18000 秒的 1.294 倍，不是 2.29 倍。用「γ 乘出来的时间」去减「固有时间」得不到它，只有两个时间相减才对——一个把 γ 直接当成差值倍数的实现，在这里会报出 23295 之外的数，而它看起来同样合理。

2. 一半光速飞一小时：效应真实，但很温和

   1. 速度 0.5c，固有时间 1 小时
   2. 洛伦兹因子：1 ÷ √(1 − 0.25) = 1 ÷ √0.75 = 1.154701，印成 1.1547
   3. 船上的一小时是 3600 秒
   4. 膨胀后的时间：1.154701 × 3600 = 4156.92 秒，取整到 4157——1 小时 9 分 17 秒
   5. 相差：4157 − 3600 = 557 秒，也就是 9 分 17 秒

   一半光速听起来极端，对钟来说却不算什么：在船上过一年，家里只多过两个月。这一条放在这里，一半是为了取整而不是为了物理——一个截断而不四舍五入的实现会报出 4156 与 556，两行都少一秒，而那一秒除非像上面这样把算术走一遍，否则根本看不出来。它也是说明这个因子对称性的那一条：0.5c 给出 1.1547，朝任何方向的 0.5c 也都给出 1.1547，因为式子里是 v² 而不是 v。

3. 0.999999c 飞一小时：地球上过了二十九天

   1. 速度 0.999999c，固有时间 1 小时
   2. 洛伦兹因子：1 ÷ √(1 − 0.999998000001) = 1 ÷ √(1.999999 × 10⁻⁶) = 707.106958，印成 707.107
   3. 船上的一小时是 3600 秒
   4. 膨胀后的时间：707.106958 × 3600 = 2545585.05 秒，取整到 2545585——29 天 11 小时 6 分 25 秒
   5. 相差：2545585 − 3600 = 2541985 秒，也就是 29 天 10 小时 6 分 25 秒

   一小时的路程换地球上二十九天，而这就是输入最后一位小数买到的东西：0.999c 时因子是 22.37，0.999999c 时是 707.11，速度只变了千分之一。这个陡峭程度是这一页最该带走的一件事，也是参考表里六个速度在高端挤成一堆、而不是均匀铺开的原因。第二步是手算最容易错的地方：用 √2 ≈ 1.4142 去估会得到 707.1068，而印出来的数第四位小数是个零，不是八。

4. 静止不动：两只钟走得一样快

   1. 速度 0c，固有时间 1 小时
   2. 洛伦兹因子：1 ÷ √(1 − 0) = 1，印成 1.0000
   3. 膨胀后的时间：1 × 3600 = 3600 秒，也就是 1 小时
   4. 相差：3600 − 3600 = 0 秒
   5. 没有相对运动，就没有任何东西走慢

   这一行是上面每一行的锚点：没有相对运动就完全没有效应，因子恰好是 1。它也是说明「为什么印四位小数而不是两位」的那一行——0.05c 时因子是 1.00125，两位小数会印成 1.00，与静止不动分不出来；而印四位小数，0.1c 那一行才读作 1.005，差别才看得见。印出来的 1.0000 也不是补零凑数：它说的是差别在第四位小数以下，而这是关于零速度的一个事实，不是一个排版选择。

这里只算去程：掉头飞回来的钟要拆成两段匀速分别算，落后的是旅行者自己那只钟。引力没有建模——引力场里位置低的钟也会走慢，那是另一个式子，这一页里没有它。速度是相对观测者的快慢，行程被假定全程都保持这个速度，所以真实旅程两端的加速过程不在内。两只钟的比较还假定留在原地那只始终没动过。

时间膨胀公式是什么？

膨胀后的时间等于洛伦兹因子乘以固有时间，Δt = γΔτ。其中 γ 是 1 除以「1 减去 v²/c²」的平方根，而以 0.9c 飞 5 小时，地球上过的是 11 小时 28 分 15 秒，因为那里的 γ 是 2.2942。这个因子只由速度决定，所以把行程时间改长改短，两个时间会一起变，γ 一点不动。

洛伦兹因子为什么长时间都贴着 1？

因为式子里是 v²/c²，速度低时从 1 里减掉的那一项很小，接近 1 的数的平方根也接近 1。0.1c 是每秒三千万米，比任何航天器都快，而因子只有 1.005，也就是千分之五。就算到了一半光速，也只是 1.1547。陡的那一段来得很晚：0.99c 是 7.09，0.999c 是 22.37，0.999999c 是 707。

这一页与双生子佯谬是什么关系？

这一页给的是它的去程那一半。一个双胞胎以 0.9c 出发，另一个留在地球上，那么留下的那只钟走得快 2.2942 倍，所以船上五年就是家里十一年多。完整的佯谬还需要旅行者掉头飞回来，那是两段而不是一段，还涉及加速——而正是加速打破了两个双胞胎之间的对称，那部分不在这一页的模型里。

引力也会造成时间膨胀吗？

会，但这一页不含它。在引力场里位置更低的钟，相对位置更高的钟会走慢，那是一个独立的效应、有自己的公式，也是卫星上的钟两个效应都要修正的原因。这一页讲的是狭义相对论那一个，它只取决于相对速度，在完全没有引力时也成立。真实导航系统里两者是加在一起的。

速度正好填光速会发生什么？

页面会拒绝这个输入。v 等于 c 时，1 − v²/c² 等于零，洛伦兹因子就成了除以零，所以这里没有答案，而不是有一个无穷大的答案；超过光速则变成对负数开平方。输入框收 0 到 1，计算器会拒绝恰好等于 1 的那一个，这个分法是诚实的：到达光速在这一页上不是一个很大的数，而是式子失去定义的那一点。

• GB/T 3102.3-1993《力学的量和单位》（等效采用 ISO 31-3:1992；时间为 s、速度为 m/s——这一页两行时长输出的单位口径出自这里） — 国家市场监督管理总局 国家标准全文公开系统
• Time Dilation（英文原文，College Physics 2e §28.2）——洛伦兹因子、两只钟的读法，以及 μ 子与卫星为这个效应提供的实测证据 — OpenStax