终端速度计算器

终端速度 = √( 2 × 质量 × g ÷ ( 流体密度 × 迎风面积 × 阻力系数 ) ) 终端速度下的阻力 = 质量 × g

m

下落物体的质量，单位千克——下拉框里也有磅、克与吨

g

标准重力 9.80665 m/s²——全页用这一个值；它描述的是地球表面附近的下落，不是火星或月球上的

ρ

所穿过流体的密度，单位 kg/m³——海平面 15 °C 的空气取 1.225，海水取 1,025。下拉框里也有 g/cm³ 与 lb/ft³

A

迎风面积，单位平方米——物体迎着气流的那片轮廓的投影面积。对一个人来说，它就是俯卧 191 km/h 与俯冲 308 km/h 之间的全部差别

Cd

阻力系数，无量纲——说明形状有多钝。正面迎风的平板约 1.28，轿车约 0.3；参考表给出六种形状

只要东西落得足够远、空气开始起作用，就该用这一页：跳伞的人、降落伞、冰雹、无人机、掉下来的工具、一枚球。它回答的是自由落体公式答不了的两个问题——这东西实际能到多快，以及这个速度是不是已经足以伤人。自由落体公式会一直预测下去越来越快，而在空气里那句话几秒钟之后就不成立了；这一页给的是天花板。两个习惯能让答案更有用。一是把迎风面积填准，它是所有人猜得最差、而速度对它最敏感的一个输入：一个人只靠换姿态就能把它改到三分之一，而速度跟着变 1.7 倍。二是把阻力系数当成量级来用，需要时查表而不是背小数——球的 Cd 会随雷诺数从 0.47 掉到 0.1 附近，而那正是高尔夫球表面那些凹坑在利用的效应。

1. 一个 80 公斤的跳伞者，俯卧姿态

   1. 终端速度下的阻力：80 × 9.80665 = 784.53 N，它正好等于体重——这就是终端速度的定义
   2. 分母：1.225 × 0.7 × 0.7 = 0.60025
   3. 分子：2 × 784.53 = 1,569.06
   4. 终端速度：√(1,569.06 ÷ 0.60025) = √2,614 = 51.1 m/s
   5. 换成另外两种刻度：184.1 km/h，也就是 114.4 mph

   这是每个跳伞者迟早都会知道的那个数：约 120 mph、俯卧、正常张开的姿态。注意第一步其实在说一件重要的事——阻力等于重力，因为那就是『终端』这个状态的定义。页面把它单独印成一行，就是为了让人看见这个平衡，而不是凭信任接受它。另一点是质量在这里只以平方根的方式起作用：体重多 20%，速度只多约 10%。

2. 同一个人，改成俯冲姿态

   1. 质量与阻力系数都不变，只有迎风面积从 0.7 平方米减到 0.25 平方米
   2. 分母：1.225 × 0.25 × 0.7 = 0.214375
   3. 终端速度：√(1,569.06 ÷ 0.214375) = √7,319 = 85.6 m/s
   4. 换成另外两种刻度：308 km/h，也就是 191.4 mph
   5. 阻力仍为 784.53 N，一行没变

   面积减到三分之一左右，速度涨了 1.67 倍，从 184 km/h 到 308 km/h——这就是竞技跳伞里『速度跳伞』这个项目存在的原因，也解释了为什么同一个人穿宽松衣服比穿紧身衣落得慢。两种姿态下的阻力是完全相同的，因为体重没变；变的是达到这个阻力所需的那个速度。作为参照，308 km/h 大约就是人体在完全没有降落伞时的终端速度，所以跳伞事故里的应急动作是把自己摊平，而不是去抓什么。

3. 同一个人，开伞之后

   1. 迎风面积换成伞衣的 50 平方米，不再是人的 0.7 平方米
   2. 阻力系数取张开伞衣的 1.42，参考表里最钝的一档
   3. 分母：1.225 × 50 × 1.42 = 86.975
   4. 终端速度：√(1,569.06 ÷ 86.975) = √18.04 = 4.2 m/s
   5. 换成另外两种刻度：15.3 km/h，也就是 9.5 mph
   6. 从 1,000 米按这个速度下降大约需要 4 分钟

   整页的内容就在这一组对比里：同一个人、同样的体重、一行都没变的阻力，而下降速度慢了 12 倍。跳伞者本身什么都没变，面积大了 71 倍、系数大了两倍，而速度是这两者乘积的平方根。15.3 km/h 这个数值得拿经验对一下——它相当于从一堵高墙上跳下来，所以落地姿势才重要，也所以伞没有完全张开时人还有救，而硬着陆没有。

式子假设阻力随速度的平方增长，这在高雷诺数下是好近似，在低雷诺数下很差：很小的或者很慢的物体（灰尘、沉降的细胞、气球）受到的阻力更接近与速度成正比，真实的终端速度会和这一页给出的不一样。阻力系数即使对同一个形状也不是常数，它随雷诺数变，所以上面球体的 0.47 是光滑球在某一段速度区间里的值，速度再高会掉到 0.1 附近——高尔夫球表面的凹坑就是刻意提前触发这个转变。页面不描述接近终端速度的过程：它给的是天花板，不是达到它所需的时间，而下落的最初几秒确实该用自由落体公式来算。它假设流体静止且均匀，所以风、热气流、穿过云层、以及接近地面时空气变密都不在范围内——密度字段是一个数，不是一条剖面。它假设物体不翻滚、不旋转、不变形，而对人来说这就等于假设姿态保持住；一旦开始旋转就是另一个问题。它不考虑浮力，而那对轻到能在流体里浮起来的物体是有影响的；也不考虑空气在 100 m/s 以上的可压缩性，那个速度之后这里的数字会开始高估阻力。最后，它算的是单个物体：带载荷的降落伞、一根绳上串起来的一组、以及任何有系绳的系统都是系统而不是一个物体。

终端速度公式是什么？

v = √(2mg ÷ ρACd)。分子是体重的两倍，分母是流体密度、迎风面积与阻力系数三者的乘积，这三项都在拖慢下落。一个 80 公斤的跳伞者俯卧时面积取 0.7 平方米、Cd 取 0.7、空气密度取 1.225 kg/m³，算出来是 51.1 m/s，也就是 184 km/h。平方根就是为什么质量翻倍速度只涨 1.41 倍。

跳伞速度有多快？

俯卧、手脚张开的正常姿态约 184 km/h；改成俯冲、把手脚收起来约 308 km/h。两个数来自同一个公式、同一个体重，唯一的差别是迎风面积从 0.7 平方米变成 0.25 平方米。开伞之后同一个人以约 15 km/h 下降，那相当于从一堵矮墙上跳下来，而不是一次坠落。

越重的东西落得越快吗？

终端速度确实更高，但只随质量的平方根走，所以效果比直觉弱得多。从 80 公斤加到 90.7 公斤——重了 13%——俯卧速度只从 51.1 涨到 54.6 m/s，约 7%。在真空里两者完全没有差别：没有空气时所有物体下落得一样快。空气里的差别是真的，但很温和，形状的影响比重量大得多。

阻力系数该取多少？

查参考表，不要凭记忆，而且把它当成区间而不是小数：正面迎风的平板约 1.28，张开的伞衣约 1.42，横着迎风的长圆柱约 1.2，俯卧的人约 0.7，光滑球体约 0.47，轿车约 0.3。如果落在两行之间，取更钝的那一档——形状越流线 Cd 越小，猜高一点会让答案偏保守。

自由落体速度与终端速度有什么区别？

自由落体是空气还没起作用的那一段，它没有速度上限——v = gt 会一直预测下去越来越快。终端速度是阻力施加的天花板，在阻力涨到与重力相等时达到。对人来说这个过程大约需要 10 到 12 秒、落下 450 米左右，之后速度就不再变了。而在 5 m/s 以下、或者对小于一粒沙的物体，这一页用的平方阻力规律本身就是错的模型。

如果落进水里而不是空气里呢？

流体密度从 1.225 kg/m³ 变成约 1,025，大了约 840 倍，终端速度按这个倍数的平方根下降——人在海水里大约是 1.8 m/s 而不是 51 m/s。这是公式的诚实读数，也正是从很高处落进水里依然致命的原因：你先以空气里的终端速度撞到水面，然后水只有零点几秒的时间把你停下来。

• GB/T 3102.3-1993《力学的量和单位》（等效采用 ISO 31-3:1992；力为 N = kg·m/s²，密度为 kg/m³，面积为 m²，速度与加速度为 m/s 与 m/s²——本页四个输出与四个输入的单位口径） — 国家市场监督管理总局 国家标准全文公开系统
• Drag Forces（College Physics 2e §5.2，英文原文）——阻力随速度平方增长的规律、阻力系数，以及终端速度作为『阻力等于重力』那个速度的定义 — OpenStax