分数减法计算器

a/b − c/d ＝ (a × (L ÷ b) − c × (L ÷ d)) ÷ L 其中 L 是两个分母的最小公倍数 最后把差约到最简

第一个分子

被减的那个分数分数线上的数：3/4 里的 3。它要乘上「自己的分母进公分母要几倍」——默认那一档是 3 倍，于是 3/4 变成 9/12。它可以是负数，符号跟着它走。

第一个分母

第一个分数分数线下的数：3/4 里的 4。它必须是正数，而它正是求公分母的两个数之一。它的通分倍数是「公分母 ÷ 它自己」，而面板上那个数保持原样，好让这个倍数能对着它核。

第二个分子

被减掉的那个分数分数线上的数：1/6 里的 1。它的倍数与第一个不同——默认那一档是 2 倍，得到 2/12——这个不对称正是两格通分后读数要展示的东西。

第二个分母

第二个分数分数线下的数：1/6 里的 6。它与第一个分母一起定下公分母 12。它同样必须是正数，理由与第一个分母一样。

公分母（L）

两个分母的最小公倍数：4 与 6 是 12，互质的 7 与 11 则是 77（这一对里它确实就是乘积）。算法是「一个分母 ÷ 两者的最大公因数 × 另一个分母」——同一个数，走一条不会溢出的路。它单独占一行，因为整个方法都绕着它转，也因为「公分母取大了」是这一步最常见的算术失误。

通分后的两个数

两个分数各自换到公分母上之后的样子：默认那一档是 9/12 与 2/12。它们印的是通分后的样子、不是约分后的样子——约掉就看不出「乘了几倍」这个动作了。相减就发生在这两个分子之间。

差

通分后的两个分子相减剩下的东西：9 − 2 ＝ 7，放在 12 上面。它印的是最简形式，所以可能与两个通分后分子相减得到的那个数不同——5/6 减 1/3 通分后剩下 3/6，印出来是 1/2——而两个分数相等时它会塌缩成一个光秃秃的 0。

第一种用法就是这道题本身——分母一旦不同，课本就开始教它，而面板正是照着那套步骤排的：找公分母、通分、相减、约分。第二种是核对手算的过程，最有用的是那两格通分后的读数：如果这两格与你写的不一样，后面每一步都会跟着不一样。第三种是两个分母有公因数的那类，比如 4 与 6，公分母比乘积小，面板把这个便宜摆出来。第四种是两个分母互质的那类，比如 7 与 11：什么都没有可约，公分母就是乘积，答案通常也已经是最简。第五种是两个相等的分数，差是零，面板把它印成一个光秃秃的 0——这是本页唯一一格不是分数的读数。本页不做加、乘、除，也不收带分数，那是另外三页的事。

1. 3/4 − 1/6

   1. 找公分母：4 与 6 的最小公倍数是 12，不是 24——两个分母都能整除 12，而 4 × 6 把它们的公因数 2 算了两遍
   2. 通分第一个分数：12 ÷ 4 ＝ 3，所以 3/4 写成 (3 × 3)/(4 × 3) ＝ 9/12
   3. 通分第二个分数：12 ÷ 6 ＝ 2，所以 1/6 写成 (1 × 2)/(6 × 2) ＝ 2/12
   4. 在公分母上相减：9 − 2 ＝ 7，得到 7/12
   5. 7 与 12 没有公因数，所以 7/12 已经是最简

   默认那一档，也是说明「公分母为什么不直接取乘积」的一档：4 与 6 都能整除 12，而 12 是它们都能整除的最小的数，所以用十二分之一就够了，二十四分之一是白干一倍。两格通分后的读数就是证据——9/12 与 2/12 的分母一样，相减才合法。注意它们印的是通分后的样子而不是约分后的：2/12 可以写成 1/6，但那样「乘了几倍」这一步就看不见了，而这一步正是本页要展示的东西。

2. 5/6 − 1/3

   1. 找公分母：3 能整除 6，所以最小公倍数是 6
   2. 第一个分数不用通分：6 ÷ 6 ＝ 1，保持 5/6
   3. 通分第二个：6 ÷ 3 ＝ 2，所以 1/3 写成 2/6
   4. 相减：5 − 2 ＝ 3，放在 6 上面，得到 3/6
   5. 约分：3 与 6 的最大公因数是 3，所以 3/6 ＝ 1/2

   这一档说明「通分完并不等于做完了」。两个通分后的分子相减得到 3/6，而 3/6 不是答案——答案是 1/2，因为 3 与 6 还有公因数。一个通分完就收手的实现会在这里印出 3/6，而且错得没有任何东西看得出来，所以这一档既进了参考表、也进了算例。另外注意两格通分后的读数里有一格原样返回：当一个分母能整除另一个时，只有一个分数需要通分，而那一格原样返回正是这件事的如实记录。

3. 1/7 − 1/11

   1. 找公分母：7 与 11 没有公因数，最小公倍数就是乘积 77
   2. 通分第一个分数：77 ÷ 7 ＝ 11，所以 1/7 写成 11/77
   3. 通分第二个：77 ÷ 11 ＝ 7，所以 1/11 写成 7/77
   4. 相减：11 − 7 ＝ 4，放在 77 上面，得到 4/77
   5. 4、7、11 两两没有公因数，所以 4/77 已经是最简

   公分母的另一头：两个分母毫无关系，最小公倍数就真的是乘积，两个分数都要通分。这一档正是「干脆每次把两个分母直接相乘」的人也能做对的情形——而值得把它摆出来的原因是，上一个例子（4 与 6）恰恰是他们做错的那一种。注意答案是 4/77 这样老老实实约过的形式：分母互质不保证答案最简，只是让它更可能最简，而约分这一步无论输入是什么都会做。

4. 5/8 − 3/4

   1. 找公分母：4 能整除 8，所以最小公倍数是 8
   2. 第一个分数保持原样：8 ÷ 8 ＝ 1，得到 5/8
   3. 通分第二个：8 ÷ 4 ＝ 2，所以 3/4 写成 6/8
   4. 相减：5 − 6 ＝ -1，放在 8 上面，得到 -1/8

   两个分数都是正的，答案却不是：用小的分数去减大的分数会把结果带过零点，而面板用一个负号如实说出来，而不是拒绝这次输入。公分母是 8，两格通分后的读数是 5/8 与 6/8——相减还没做，谁大谁小已经写在脸上了。符号只住在分子上：答案是 -1/8，不是 1/-8，分母在面板的每一行都是正的。

5. 1/2 − 1/2

   1. 两个分母一样，最小公倍数就是那个分母 2
   2. 两个分数都不用通分：它们本来就写在 2 上面
   3. 相减：1 − 1 ＝ 0，放在 2 上面，得到 0/2
   4. 约分：0 与 2 的最大公因数是 2，所以 0/2 化成 0/1，写成光秃秃的 0

   答案根本不是分数的这一档。两个相等的分数差为零，而零约到 0/1，分数写法里分母为 1 不写——于是主结果是一个光秃秃的 0，而公分母那一行照样是 2、两格通分后的读数照样是 1/2。这正是要点：两个输入是货真价实的分数，方法也真的跑过一遍，只有结果塌缩了。它也是本页与加法那一页唯一一处「面板长得不一样」的地方——加法要到和是整数才塌缩，减法在两个数相等时就塌缩了。

两个分母都必须是正数，因为分数把符号扛在分子上——通分后的两格读数依赖这一点，每个分子都要乘上一个整数倍，符号得待在一个地方。分子可以是负数，而且两个正分数相减也可能得到负数：5/8 − 3/4 是 -1/8，那是一个正确的答案，不是出错。数的量程有限：每个分母上限 100000，每个分子上限约 4.5 × 10¹⁰——那是两个通分后的分子相乘后仍然落在「能被精确表示」的整数范围内的最大值。超过它相减会悄悄失去精度，所以本页宁可拒绝这次输入，也不印一个看起来对的数。四个格子里只收整数——填了小数会被拒，页面会指向小数转分数那一页。分子为 0 是接受的：它和别的数一样通分成分母分之 0。本页只做两个分数相减这一件事：不做加、乘、除，也不收写成「整数挨着分数」的带分数，那种数得先化成假分数（那是带分数化假分数那一页的活）。另外，本页的中间读数刻意与分数计算器、带分数计算器不一样：那两页把两个分母直接相乘（跨乘），印的是「约分前」那一格；本页求最小公倍数，印的是通分后的两个数。同一个减法在这里看到 9/12 与 2/12，在那边是另一对中间数，而答案一致。最后，答案一定是约到最简的，两格通分后的读数不一定——通分后的一格照样会印出 6/8 这样的东西，那是读数在如实交代通分做了什么，不是漏了约分。

异分母分数相减怎么算？

先把两个分数通分到同一个分母上，再让分子相减、分母不变。3/4 减 1/6 通分后是 9/12 减 2/12，得 7/12。两个分母直接相乘总能得到一个可用的公分母，取最小公倍数则能得到更小的那一个。

3/4 与 1/6 的公分母为什么是 12 而不是 24？

因为 12 是 4 与 6 都能整除的最小的数。把 4 乘 6 等于把两个分母的公因数 2 算了两遍，工作里每个数都翻了一倍。用二十四分之一也能算出同样的答案，只是多一倍的算术——面板印小的那一个，好让倍数保持小。

通分完了还要再约分吗？

要。通分只是让相减变得可能，它不保证结果是最简的。5/6 减 1/3 通分后是 5/6 减 2/6，得到 3/6，而 3/6 是 1/2。本页把差约到最简，而两格通分后的读数保持通分后的样子，两件事都看得见。

答案可以是负数吗？

可以。5/8 减 3/4 就是 5/8 减 6/8，得到 -1/8：用小的分数去减大的分数会把结果带到零以下，那是一个真实的答案而不是错误。符号待在分子上，所以写成 -1/8，绝不会写成分母带负号的分数。

两个分数相等的时候会怎样？

差是零。1/2 减 1/2 通分后还是 1/2 减 1/2，分子相减得 0，而 0 分之 2 约成 0 分之 1——写成一个光秃秃的 0，不带分母。公分母那一行照样是 2，因为方法真的跑过一遍。

带分数能在这里相减吗？

不能。本页收的是四个整数组成的两个分数，所以像 4 1/2 这样的带分数要先化成假分数 9/2 才填得进来，而那一步是带分数化假分数那一页在做的事。加、乘、除也各自是另一页。

• Fraction（分数）——两个整数写成的商，带分子与分母，以及两个分数相减的运算法则 — Wolfram MathWorld（美国）
• Least Common Multiple（最小公倍数）——能同时被两个给定整数整除的最小正整数；本页两个分数通分到的就是它 — Wolfram MathWorld（美国）
• Greatest Common Divisor（最大公约数）——能同时整除两个给定整数的最大整数；本页求最小公倍数与约分都用它 — Wolfram MathWorld（美国）
• Reduced Fraction（最简分数）——分数的最简形式；差印成这个形式，而两格通分后的读数并不是这个形式 — Wolfram MathWorld（美国）
• Relatively Prime（互质）——除了 1 没有公因数的两个整数；两个分母互质时公分母就是它们的乘积 — Wolfram MathWorld（美国）