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分数计算器

范围：1 – 100,000

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结果

5/6

最简分数

约分前
5/6
小数写法
0.833333

分数计算器一次对两个分数做四则运算：填一个分子和一个分母，选加、减、乘或除，再填第二个分数，答案回来时已经约到最简。二分之一加三分之一是六分之五，而这一页印的就是它，不是你拿两个分母相乘会得到的三十六分之一十六。最后一句话正是这类工具值得用的理由。分数加减法是人最容易做错的那一类运算，因为它是四则运算里唯一需要先让分母一致才能动手的：乘法直接乘过去就完了，而加减法得先通分，把二分之一与三分之一变成同一个分母下的东西。通向那里的路有两条。稳妥的一条是这一页完整展示给你的那条：每个分子乘上另一个分母，用两个分母的乘积做公分母——二分之一与三分之一由此得到六分之五，分母为六，这就是约分前的写法。清爽的一条是先找两个分母都能整除的最小的那个数，这里就是六，它能一步把同一个答案收成六分之五。两个输出摆在一起就是为了让你两条路都看得见，而值得记住的是它们不是两个答案——它们是同一个数在约分前与约分后的样子。除法是另一条自带规则的运算：除以一个分数等于乘上它的倒数，所以二分之一除以四分之三就是二分之一乘三分之四，也就是六分之四，再约成三分之二。乘法与减法没有这种转折，不过减法是负号出现的地方：二分之一减三分之一是六分之一，三分之一减二分之一是负六分之一，而这一页把负号留在分子上而不是整个分数前面，因为算术把它放在那里。用之前有四件事值得知道。它按假分数工作，不按带分数：四分之九回来还是四分之九，这是下一步计算想要的形式，而不是二又四分之一。分母为 0 会被直接拒绝，而不是当成一个答案，因为那样的分数没有值。除以一个分子为 0 的分数也会被拒绝，因为 0 的倒数不是一个数。而分子大到让交叉相乘的结果超出整数精确表示的范围时，这一页宁可报错也不给一个近似的分数——这是它在十万这个分母上限之外唯一加的一道输入限制。

四种运算，以及约分发生在哪里

第一个分数运算符第二个分数约分前最简小数
1/2+1/35/65/60.833333
1/4+1/610/245/120.416667
3/4−1/35/125/120.416667
2/3×3/56/152/50.4
1/2÷3/44/62/30.666667
5/6×3/1015/601/40.25

六行覆盖四种运算，最要紧的是第四列与第五列——同一个数在约分前后的样子。先读第二行，它把过程展示得最清楚：四分之一加六分之一经过 10/24，约成 5/12，因为 10 与 24 有公因数 2。再看第一行与第三行，那两行的前两列与后两列是同一个分数，压根没有可约的——只印一列的页面会把这两件事都藏起来。乘除两行顺带展示了它们各自的规则：直接乘过去得到 6/15、约成 2/5；除法是乘倒数，所以二分之一除以四分之三得到 4/6、约成 2/3。每一行的小数都是最简分数保留六位的结果，这让最后一列成为前两列的核对——第二行与第三行尽管运算不同、中间分数也不同，末位都落在 0.416667。

公式

加减：a/b ± c/d = (a·d ± c·b) / (b·d) 乘法：a/b × c/d = (a·c) / (b·d) 除法：a/b ÷ c/d = (a·d) / (b·c) 再把分子分母同除它们的最大公因数

第一个分数
一个分子与一个分母，都是整数。分子可以是负数或 0；分母不能为 0，也不能超过十万
运算符
四种运算之一，从列表里选，因为只有四种——用第二个分数去加、减、乘或除第一个分数。除法是其中把第二个分数上下翻过来做的那一种，也是第二个分数的分子为 0 时会被拒绝的那一种
第二个分数
另一个操作数，规则相同：分子任意整数，分母非 0 且不超过十万。做除法时，它的分子会成为倒数的分母
约分前
从规则里直接出来、还没有约分的那个分数：二分之一加三分之一得到分母为六的六分之五。它的分母是两个分母的乘积，这也是交叉相乘这个名字的来源——也正是它可能比最小公倍数大的原因
最简分数
同一个值，分子分母都除掉了最大公因数：分母为六的六分之五约成六分之五。这是答案，而两个输出之间的那一步就是约分的全部内容
小数
把答案写成小数，保留六位：六分之五是 0.833333。除不尽时是四舍五入而不是截断，而这六位是显示上的选择，不是对这个分数精度的声明

四种运算、四种场合，还有一个值得养成的习惯。加法用在那些以不同等份出现的量上——三分之一杯加四分之一杯，这一页告诉你它是十二分之七。减法是把符号翻过来的同一件事，也是两个分数的顺序唯一要紧的运算：二分之一减三分之一是六分之一，而三分之一减二分之一是负六分之一，所以先填的那个分数是被减数。乘法是四种里最简单的，也是最容易被想复杂的——分子乘分子、分母乘分母，没有公分母要找；三分之二的一半是三分之一。除法是乘上倒数，也是人们最常拿起计算器的那一种：四分之三除以二分之一，是四分之三乘二，也就是四分之六，约成一又二分之一。四种运算底下还压着一个习惯：拿一个粗略的小数核对答案。分母为六的六分之五比零点八多一点，六分之五也是，所以约分没有改变这个值——这正是约分唯一被允许不动的东西。如果两个小数对不上，错的是算术而不是约分，再怎么看最简那一格也找不出来。

算例

  1. 二分之一加三分之一

    1. 交叉相乘得公分母：2 × 3 = 6
    2. 第一个分子：1 × 3 = 3
    3. 第二个分子：1 × 2 = 2
    4. 分子相加放在公分母上：(3 + 2) / 6 = 5/6
    5. 约不动——5 与 6 没有公因数——所以约分前与答案是同一个分数，小数是 0.833333

    默认那一组，也是两个分数输出恰好重合的一组。当交叉相乘的形式已经是最简时就会这样，而对两个单位分数求和来说，那意味着两个分母互质。在遇到它们不同的那些例子之前先看一次这个，一个把同一个分数印两遍的页面才不会看起来像坏了。

  2. 四分之一加六分之一，两种写法

    1. 交叉相乘得公分母：4 × 6 = 24
    2. 第一个分子 1 × 6 = 6，第二个分子 1 × 4 = 4
    3. 分子相加放在公分母上：(6 + 4) / 24 = 10/24
    4. 求 10 与 24 的最大公因数：2
    5. 两边同除 2：答案是 5/12，写成小数是 0.416667

    这一组把两个输出解释清楚了。24 不是 4 和 6 都能整除的最小数——12 才是——所以约分前那个分数比它需要的更大，约分那一步做了实实在在的功。走乘积而不是走最小公倍数不是偷懒：那条规则对任何一对分母都成立，用不着先去分析它们的因数，而后面那次约分会把它收回到整齐的形式。10/24 与 5/12 是同一个数，对照表末尾那两格相同的小数就是证据。

  3. 三分之二乘四分之三

    1. 直接乘过去：2 × 3 = 6 做分子，3 × 4 = 12 做分母
    2. 不需要公分母——那是加减法独有的步骤
    3. 把 6 约掉：6 ÷ 6 = 1，12 ÷ 6 = 2
    4. 答案是 1/2，也就是 0.5

    乘法，分母直接相乘，没有谁要先凑成一致的。这里的约分值得留意：三分之二乘四分之三等于二分之一，比两个操作数都小，因为两个都小于 1——这个结果会让期待「相乘会变大」的人意外，而拿 0.5 一核对就明白了。

  4. 二分之一除以四分之三

    1. 把第二个分数上下翻过来：3/4 变成 4/3
    2. 改成乘法：(1 × 4) / (2 × 3) = 4/6
    3. 把 2 约掉：4 ÷ 2 = 2，6 ÷ 2 = 3
    4. 答案是 2/3，也就是 0.666667

    除法，也就是乘上倒数——这条规则让第二个分数的分子最终落进答案的分母。注意方向：二分之一除以四分之三是三分之二，比出发时的二分之一还大，因为除数是小于 1 的。除以一个小于 1 的数永远会把结果变大，这是这一页最快的合理性检查。

  5. 三分之一减三分之一，以及四分之九除以四分之九

    1. 公分母：3 × 3 = 9
    2. 第一个分子 1 × 3 = 3，第二个分子 1 × 3 = 3
    3. 相减：(3 − 3) / 9 = 0/9
    4. 约分：0 除以任何数都是 0，答案印成 0 而不是 0/9

    零，这是一个合法的答案而不是空结果——两个分数相等，相等的数相减就是没有。约分前那个输出保留着产生它的那步运算的形状，分母是九，而答案收成了单独一个数字。同样的收拢也发生在另一头：四分之九除以四分之九给整数 1，约分前是 36/36，所以一个分子分母相等的分数最终印成整数，而不是自己比自己。

局限

约分前那一格走的是交叉相乘，不是最小公分母。四分之一加六分之一经过的是 24 而不是 12，所以中间那个分数比整齐的那个更大，在期待最小公倍数的人眼里像是错的。两个分数是同一个数，答案是正确的那一个——两个输出只差约分做了多少——但如果你要的是最小的公分母，该读的是最简那一格。结果一律是假分数，从不化成带分数：四分之九就是四分之九，不会变成二又四分之一，而整数结果就印成整数，所以二分之一除以二分之一是 1 而不是 1/1。小数输出保留六位，这让它成为一个核对答案的工具而不是陈述答案的方式：三分之一是 0.333333，三分之一加三分之二在面板上显示成 0.999999 而不是 1，而同一算式的两个分数输出给出的是精确的 1。分母上限是十万，这是对一次能约多少的刻意封顶。有三类输入会被拒绝而不是给答案：分母为 0，因为那样的分数没有值；除法的第二个分子为 0，因为 0 的倒数不是一个数；以及分子大到交叉相乘离开整数精确运算的范围，这种情况这一页报错而不是印一个近似的分数。非整数的分子也一样被拒绝，所以像一又二分之一这样的值要先自己化成假分数才能填进分子格。

常见问题

为什么两个分数输出不一样？
因为一个是答案，另一个是过程。约分前的分数直接从规则里出来——分母相乘、分子交叉乘上对方的分母——而最简分数是同一个值把分子分母的最大公因数约掉之后的样子。四分之一加六分之一约分前是 10/24、约分后是 5/12；两个小数相同，这就是只有写法变了的证明。
既然 12 也行，为什么约分前的分母是 24？
因为这一页找公分母的办法是把两个分母相乘，而不是去搜两个分母都能整除的最小数。24 就是 4 乘 6，它是合法的公分母，尽管 12 更小。这个取舍是刻意的：相乘永远成立、也用不着分析分母，而后面那次约分会把答案收回最简。想要最小的那个公分母，就读最简那一格。
分数除法怎么做？
乘上倒数：把第二个分数上下翻过来，再直接乘。二分之一除以四分之三就是二分之一乘三分之四，等于六分之四，约成三分之二。这条规则来自「除以一个数等于乘上它的倒数」，也是第二个分数的分子最终出现在答案分母上的原因——0.666667 对 0.5 说明答案变大了，而除以一个小于 1 的数本来就必须变大。
答案会是带分数吗？
不会——结果是假分数，所以四分之九回来是 9/4 而不是二又四分之一。假分数是继续用得下去的形式：对带分数做加法或乘法都要先把它换回假分数，所以印一个带分数只会在下一步再换回去。把 9/4 读成二又四分之一是一次除法，而读一读小数输出也能起到同样的核对作用。
分母是 0 会怎么样？
这一页会报错，而且没有答案可给：分母为 0 的分数没有值，因为分母是把整体分成几份的那个数，而除以 0 是没有定义的。除以一个分子为 0 的分数同样被拒绝，理由一样——0 的倒数不是一个数——而第一个分数的分子为 0 是合法的，乘或除的结果都是 0。
怎么核对答案对不对？
把两个操作数在脑子里换成小数，拿那些粗略的数把运算做一遍。二分之一加三分之一应该落在 0.8 到 0.9 之间，六分之五正是 0.833333。两个都小于 1 的分数相乘应该比其中任何一个都小，而除以一个小于 1 的数应该比原来的大。粗略的答案与分数对不上时，问题在算术而不在约分，因为约分只能改变一个数的写法。

参考资料

相关计算器

小数转分数计算器把任意小数化为最简分数，并给出过程。分数转小数计算器把分数换算成小数，可精确或四舍五入。分数化简计算器把分数约到最简，并显示所用约数。分数加法计算器异分母分数相加，结果自动约分。