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CalcMax

分数转小数计算器

范围：1 – 100,000

结果

0.375000

小数写法

最简分数
3/8
循环节位数（0 表示除得尽）
0

分数转小数计算器用分子除以分母，报出三样东西：商用小数表示、这个分数约到最简之后的样子，以及小数展开里循环节的长度。八分之三是 0.375，它的小数除得尽，所以循环节位数是 0。三分之一在面板上是 0.333333，它的小数不结束，所以循环节位数是 1——有一个数字永远重复。第三个读数就是这一页与一次普通除法的区别所在。每个分数都有一个小数展开，而这个展开只有两种：若干位之后停下来，或者永远进行下去、其中一段数字反复出现。没有第三种可能，而拿到的是哪一种，完全由分母决定，除法还没开始就定了。先把分数约到最简——这一页替你做了，所以四分之二会报成二分之一——再看约分后的分母由什么质因数构成。如果它只含 2 与 5，小数就除得尽，位数等于 2 与 5 里较多的那一种的个数。如果分母含别的质因数，小数就循环，而且是永远循环。循环节长度随后只是那个分母自己的性质，这也是它值得印出来的原因：七分之一每六位循环一次，九十七分之一每九十六位，而七分之二十二——一个相当好的圆周率近似——也是每六位循环一次，因为底下那个分母是七。把三个输出倒过来读一遍也值得做。最简分数告诉你小数会不会停下来；小数告诉你它前六位是什么；循环节位数告诉你还有多少你没看见。当第三个输出是 0 时，那六位就是全部，什么都没丢。当它不是 0 时，那六位只是一个没有尽头的小数展开被四舍五入之后的样子——三分之一显示成 0.333333，它不是三分之一，而是三分之一在第六位四舍五入的结果，相差 0.000000333，而这笔差不会消失。有两类输入会被拒绝。分母为 0 没有答案；分子不是整数会被拒绝而不是被换算，因为带分数必须先化成假分数才能拿去做除法。

分母从二到十二，各自的倒数

分母小数循环节位数
20.50
30.3333331
40.250
50.20
60.1666671
70.1428576
80.1250
90.1111111
100.10
110.0909092
120.0833331

十一个单位分数，最要紧的是第一列与最后一列——分母与它的循环节长度，中间那一列的小数是本来要另外去查的东西。竖着读循环节那一列，这一页的全部道理都在里面：2、4、5、8、10 是 0，因为它们只由 2 与 5 构成；3、6、9、12 是 1，因为每一个里面都藏着一个 3；11 是 2，它自己那段短短的循环；而 7 是 6，全表最长。再拿小数那一列对着非零的循环节看，事情就具体了：三分之一、六分之一、十二分之一与九分之一都显示成近似值——0.333333、0.166667、0.083333——而除得尽的那几行显示的是精确值。第七行值得再看一眼，因为 0.142857 与七分之二十二里出现的是同一段六位数字，而正是它让那个分数成为一个那么好的圆周率近似。

公式

小数 = 分子 ÷ 分母 最简分数 = 分子/分母 同除它们的最大公因数 循环节位数 = 反复出现的那段数字有几位（除得尽时为 0）

分子
分数线上面的那个数，一个整数。它可以是负数或 0；分子为 0 时小数就是 0，而分子大于分母时小数大于 1
分母
分数线下面的那个数，不超过十万的整数，且不能为 0。这一格决定小数是停下来还是循环，以及循环的话循环节有多长——这是分母自己的性质
小数
分子除以分母的商，保留六位。除得尽时这六位就是全部答案、后面补 0；循环时它们是展开在第六位四舍五入的结果，既不是截断也不是精确写法
最简分数
约到最简的分数，也是判断循环行为必须用的形式：四分之二报成二分之一，决定小数除得尽的是那个 2，不是你填的 4
循环节位数
反复出现的那段数字有几位，除得尽时为 0。三分之一是 1，七分之一是 6，九十七分之一是 96——而它只取决于约分后的分母，所以任何分母为九十七的分数循环节都是九十六位，与分子无关

三种用法，第三个输出帮到的程度依次递增。为了测量或者为了放进表格而把分数化成小数是最普通的一种：八分之三是 0.375，二分之一是 0.5，而分母小的那四个分数值得直接记住。判断一个分数能不能精确换成小数是第二种，也是最要紧的一种——当答案只能保留固定位数时：分母只由 2 与 5 构成的分数换得干干净净，含 7 或含 3 的永远换不干净，留多少位都不行。估算自己丢掉了多少精度是第三种：循环节只有一两位的分数，用六位小数表示得很好，而循环节有九十六位的不行——九十七分之一显示成 0.010309，真实展开接下来的六位数字与它完全不同，这在拿这个数去做计算之前值得知道。有两种情况不在这一页的范围内。把循环小数换回它精确的分数是反方向，是另一个问题；而一个只印到六位的小数已经把能解出它的循环结构扔掉了。带分数也不作为输入：二又四分之一要按 9/4 填，因为这次除法需要一个分子与一个分母。

算例

  1. 八分之三——除得尽的小数

    1. 分子除以分母：3 ÷ 8 = 0.375
    2. 除法正好结束，所以循环节位数是 0
    3. 这个分数已经是最简，所以报出来还是 3/8

    默认那一组，也是好办的那一类：八只由 2 构成，所以小数除得尽，面板上的六位就是全部答案、后面补 0。循环节位数那个 0 说的就是这件事——它为 0 意味着没有舍入、也没有丢掉任何东西，所以在答案精不精确要紧的时候，它是第一个该看的读数。

  2. 三分之一——永远不结束的小数

    1. 做除法：1 ÷ 3 = 0.333333…
    2. 3 不是只由 2 与 5 构成，所以展开不结束
    3. 反复出现的是单个数字 3，所以循环节位数是 1
    4. 面板显示前六位：0.333333

    循环节位数这个输出存在的理由，也是小数最不可信的那一组。0.333333 不是三分之一——它是三分之一在第六位四舍五入的结果，乘三得到 0.999999 而不是 1。循环节为 1 告诉你这个显示是一个无限展开的一个截面，而不是全部答案；同一页上循环节为 0 则告诉你相反的事。三分之一加三分之二是最经典的演示：小数给 0.999999，分数给精确的 1。

  3. 七分之二十二——长循环节与假分数

    1. 做除法：22 ÷ 7 = 3.142857142857…
    2. 7 含有 2 与 5 之外的质因数，所以小数循环
    3. 反复出现的一段是 142857，六位
    4. 面板显示 3.142857，而这个分数已经是最简

    大于 1 的分数，所以小数带整数部分；分母是 7，循环节为六位——一位数分母里最长的那一个。七分之二十二就是经典的圆周率近似值，精确到两位小数，而循环节 142857 本身也很有名，它就是七分之一的循环节。循环节位数在这里做了实实在在的功：它说明这六位就是完整的循环节，而不是某个更长循环节被四舍五入之后的一小段。

  4. 四分之二报成二分之一

    1. 先约分：2 与 4 有公因数 2，所以这个分数是 1/2
    2. 对约分后的形式做除法：1 ÷ 2 = 0.5
    3. 2 只由 2 构成，所以循环节位数是 0

    这一页先约分再除，这就是它的样子：分数输出是 1/2，不是你填的 2/4。两种写法的值完全一样，而循环行为必须从约分后的形式去读——决定小数停不停的那个分母是约分之后的那个。看过一次这个，就能解释为什么你用另一种形式填进去的分数会以另一种形式回来。

  5. 九十七分之一——比显示还长的循环节

    1. 做除法：1 ÷ 97 = 0.010309278350515…
    2. 97 是质数，既不是 2 也不是 5，所以小数循环
    3. 循环节有 96 位
    4. 面板显示前六位：0.010309

    极端的那一组，也是循环节即使很大也值得印出来的理由。九十六位远远多于面板上的六位，所以看到的是第一次循环的十六分之一——一个要把小数点后拖很多位才会显出规律来的数。六位小数旁边写着循环节 96，这是一句提醒：它不是说这个小数错了，而是说这个小数是一个截面。拿它与三分之一那组比一比：循环节为 1 时，同样六位对这个数的表示就好得多。

局限

小数只显示六位，所以只有当循环节位数为 0 时它才是精确的。循环节位数大于 0 时这个数没有有限的小数形式，那六位是展开在第六位四舍五入的结果——三分之一显示成 0.333333，它不是三分之一，而三分之一加三分之二会显示成 0.999999 而不是 1。循环节长于六位意味着显示出来的只是某一轮循环的一部分。这一页先约分再做除法，所以用非最简形式填进去的分数会以约分后的样子回来：四分之二报成二分之一，一百分之八报成二分之二十五，而循环节是约分后分母的性质，也就按那个形式算。整数结果印成整数而不是除以 1 的分数，所以 5/1 回来是 5，分子为 0 回来是 0。它不收带分数：二又四分之一要填成 9/4，因为这次除法在一个分子与一个分母上进行，两格里出现非整数都会被拒绝而不是被换算。分母上限十万，这也给循环节封了顶——允许的分母能产生的最长循环节接近十万位。另外循环节报出来的是位数而不是那些数字本身：这一页告诉你九十七分之一的展开每九十六位重复一次，却不会给你看那九十六位是哪九十六位。

常见问题

分数怎么化成小数？
用分子除以分母：八分之三是 3 ÷ 8 = 0.375，二分之一是 1 ÷ 2 = 0.5。这次除法就是全部方法——唯一值得先做的是把分数约到最简，因为约分后的分母才决定小数会停下来还是永远进行下去。
怎么知道小数除不除得尽？
看约分后分母的质因数。如果它只由 2 与 5 构成，小数就除得尽：2、4、5、8、10、16、20、25、100 都是。只要含 2 与 5 之外的质因数——3、7、11——小数就永远循环，没有任何有限位数能精确写出它。循环节位数这个输出告诉你的就是这件事：0 表示除得尽，别的数就是循环节有几位。
为什么 1/3 显示成 0.333333？
因为面板只有六位小数，而三分之一没有有限的小数形式，所以第六位就是四舍五入的位置。0.333333 并不精确等于三分之一——拿它乘三得到 0.999999 而不是 1，这就是两者差别在算术上的样子。循环节位数是 1 正是这一页在提醒你：小数还在继续，显示出来的只是它的一个截面。
为什么 2/4 显示成 1/2？
因为这一页在做除法之前先约分，而约分后的形式才是它报其他读数的依据。两种写法的值一样——都是 0.5——但循环节是约分后分母的性质，所以约分必须先做：说小数除得尽的是 1/2 里的那个 2，不是你填的 4。写得比必要的更复杂的分数，回来时都会被约掉。
循环节是 96 是什么意思？
意思是这个小数的展开每九十六位重复一次——九十七分之一的那九十六位数字会永远循环下去。它衡量的不是显示出来的小数有多准：印出来的六位本身是没错的，只是它们仅仅是某一轮循环里很小的一段。它真正告诉你的是六位小数没法很好地表示这个数，因为接下来的数字不是眼前这个规律的延续，而是一个长得多的循环的开头。
答案可以大于 1，或者为负吗？
两种都很普通。分子大于分母时小数就大于 1——七分之二十二是 3.142857——而分数输出保持假分数，不会变成带分数。分子为负时小数也为负，符号留在分数的分子上：负四分之三是 −0.75，印成 −3/4。循环节位数不受这两者影响，因为它只取决于分母。

参考资料

相关计算器

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