数列计算器
结果
第 n 项
- 总和
- 210.000000
- 通项公式
- a(n) = 3 + 4(n - 1)
一串数按同一条规则排下来就是数列，而数列计算器要回答的是其中两个问题：第 n 项是多少，前 n 项加起来是多少。这一页管最常见的两种规则——等差数列每一步加上同一个数，等比数列每一步乘上同一个数。把首项、那一步、项数填进去，除了这两个答案，还会给出整个数列的通项公式。首项可以是零或负数，那一步也可以是，于是同样三个框既能算越走越大的数列，也能算越走越小的、以及一正一负来回跳的。
3, 7, 11, …：前八项，旁边是逐次累计的和
| n | 第 n 项 | 前 n 项和 |
|---|---|---|
| 1 | 3 | 3 |
| 2 | 7 | 10 |
| 3 | 11 | 21 |
| 4 | 15 | 36 |
| 5 | 19 | 55 |
| 6 | 23 | 78 |
| 7 | 27 | 105 |
| 8 | 31 | 136 |
第一列是位置，中间一列是通项公式在那里的取值，第三列是到这一行为止全部加起来的结果。第三列从上往下读，求和公式的形状就出来了：每一行多一项，而每次增加的间隔固定是 4。两张表的第一行完全一样，因为只有一项时，两种数列还没有机会分道扬镳。
3, 6, 12, …：等比数列的同样八行
| n | 第 n 项 | 前 n 项和 |
|---|---|---|
| 1 | 3 | 3 |
| 2 | 6 | 9 |
| 3 | 12 | 21 |
| 4 | 24 | 45 |
| 5 | 48 | 93 |
| 6 | 96 | 189 |
| 7 | 192 | 381 |
| 8 | 384 | 765 |
同样的三列、同样的八个位置，换一条规则：这里每一项是上一项的两倍，于是中间一列是 3, 6, 12, 24, …，而累计和一转眼就把等差那张表甩开——到第八行是 765 比 136。两张表并排印是有意的：首项与项数完全相同，所以你看到的每一处差别都只来自那一步本身与它的类型。
公式
等差 — a(n) = a(1) + (n - 1) * d S(n) = n * (a(1) + a(n)) / 2 等比 — a(n) = a(1) * r^(n - 1) S(n) = a(1) * (r^n - 1) / (r - 1) 而 r = 1 时 S(n) = n * a(1)
- n
- 问的是第几项，从 1 数起。它同时也是求和时的项数，所以一个框回答两个问题：第 10 项写作 a(10)，前十项之和写作 S(10)。
- a(1)
- 首项，整个数列唯一的起点。其余每一项都由它推出来，所以首项取负数时，等比数列的偶数项会集体变号，而等差数列只是从更靠下的地方往下走。
- d
- 公差，等差数列每一步加上的那个数。它可以是负数（数列越走越小），也可以是零——那时每一项都等于首项，印出来的公式会正确地缩成 a(n) = 6 这样。
- r
- 公比，等比数列每一项乘上的那个数。取 0 到 1 之间时数列朝零收缩，取负数时正负交替，取 1 时每一项都等于首项——最后这一格与公差为零那一格结果相同，但它们的来历不同。
- S(n)
- 前 n 项和，只算你要的这 n 项。等差数列的这个和等于首项与末项的平均数乘以项数，也就是传说中高斯算 1 + 2 + … + 100 用的那个配对办法。它绝不是无穷级数的和：n 往上加，它就继续往上长。
凡是「每期按同一条规则变一点」的量都适合用它：每年存同样一笔钱、三十年后是多少；弹到第二十次时还有多高；每一步是上一步固定几分之一时，一路走来一共走了多远——这些问的都是列表深处的那一个数，靠手算要列很长。真正决定结果的是那一步的大小与正负，所以有用的习惯是先把前三项手算出来，与下面的参考表对一对。
算例
3, 7, 11, … 的第十项与前十项和
- 公差是 4，于是数列是 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39
- 第十项是 3 + 9 × 4 = 39
- 从两头往中间配对：3 + 39 = 42，7 + 35 = 42，11 + 31 = 42，依此类推
- 十项一共配成五对，每一对都是 42
- 5 × 42 = 210
这个配对办法就是求和公式的全部内容：n 项时首项与末项的平均数是 (3 + 39) / 2 = 21，21 × 10 与刚才的 210 是同一个数。答案旁边那条公式描述的是规则而不是这一个数列——a(n) = 3 + 4(n - 1) 只凭 n 就能把任何一项重算出来，n = 1 还原出 3，n = 10 还原出 39，不需要把中间的项写出来。
8, 4, 2, 1, 0.5——一个越走越小的等比数列
- 公比是 0.5，每一项都是前一项的一半：8, 4, 2, 1, 0.5
- 第五项是 8 × 0.5⁴ = 8 × 0.0625 = 0.5
- 加起来：8 + 4 + 2 + 1 + 0.5 = 15.5
这样一个越走越小的等比数列，各项之和会趋近 16 但永远越不过去——8 ÷ (1 − 0.5)。这一页给的是你要的那五项之和 15.5，不是那个极限，而两者的差别正是「项数」要作为一个输入填进来的原因。
1 + 2 + … + 1000：公式比加法快的地方
- 公差是 1，所以第 1000 项是 1 + 999 = 1000
- 首尾配对：1 + 1000 = 1001
- 1000 项配成 500 对
- 500 × 1001 = 500500
这里完全不需要把每一项写出来，而这正是求和公式的意义——如果项数上界允许，同样这三个框能回答一百万项。这就是传说中老师罚高斯算的那道题，而上面那个配对办法就是传说里他的做法。
局限
只管两种数列：差不变的，与比不变的。别的规则——平方数、立方数、斐波那契、由前两项递推出来的那些——都没有地方填，各自需要自己的工具。项数必须是 1 到 1000 之间的整数，小数与负数一律拒收而不是四舍五入，因为「2.5 项」不是一个有答案的量。求出来的和只是前 n 项之和，不是无穷级数的和，所以公比小于 1 时它只会越来越靠近那个极限而不会到。答案四舍五入到六位小数；等比数列在 n 远远没到上界时就会撞上算术的上限——10 的 300 次方没问题，10 的 6000 次方不行，那一种情况报成「算不出来」而不是给一个无穷大。这一页只回答数列问题里的一半：第 n 项是多少、前 n 项加起来是多少。反过来问它不做——由两项倒推规则、由和倒推项数都不在它的范围里；它也不带任何单位，因为数列本来就是一串数。
常见问题
- 第 n 项与前 n 项和有什么区别？
- 第 n 项是单独一个数，坐在第 n 个位置上的那一个——3, 7, 11, … 在 n = 10 时是 39。和是它以及它前面所有项加起来的那个数，同一个数列是 210。面板上两行分开印，因为它们回答两个不同的问题，而求和那一个通常是人们真正要的：一笔余额、一段总路程、一个累计的数量。
- 求和公式是怎么来的？
- 把首尾两项配成对得来的。3, 7, 11, … 的前十项里，第一项与第十项加起来是 42，第二项与第九项加起来也是 42，每一对都是 42，于是十项配成五对 = 210。写成通用式子就是「项数乘以首项与末项的平均数」，n * (a(1) + a(n)) / 2。等比数列的和是另一套推导、另一个形状，所以两者分开印。
- 那一步可以是负数、零或者小数吗？
- 三种都可以。公差为负得到越走越小的数列，比如 100, 93, 86, …；公比为负得到正负交替的数列，比如 1, -1, 1, -1；公比取 0.5 就是第二个算例里那个收缩的数列。需要多看一眼的是公差为零与公比为一：每一项都等于首项，印出来的公式会正确地缩成 a(n) = 6 这样。
- 这个和是整个无穷数列的总和吗？
- 不是，它是前 n 项之和，n 就是你填的项数。这个区别只在「越走越小的等比数列」上看得出来——8, 4, 2, 1, 0.5, … 的累计和会趋近 16 却永远到不了。有时确实有人要的就是那个极限，那是无穷等比级数的和，是另一个公式、另一件事。
- 最多能算多少项？
- 1 到 1000 之间的任何整数。上界不是随手定的：公比为 10 的等比数列在 n = 300 时就已经是 10 的 300 次方，再多几百项就会超出算术能表示的范围。那一种情况会报成「算不出来」而不是给一个无穷大，所以你拿到的是提示，而不是一个悄悄错了的答案。
- 公式里为什么写 a(n)，不用下标？
- 因为 a(n) 在任何语言、任何字体里都读得出来，而下标字符在有些系统上会渲染成一个方框。其余记号都是常用的：^ 表示乘方，* 表示乘，负的公比要加括号——所以正负交替那个数列读作 a(n) = (-1)^(n - 1)，而不是看起来像「-1 的 n - 1 次方再取负」的样子。
参考资料
- 等差数列——本页用的那条规则、通项公式与求和公式 — Wolfram MathWorld（美国）
- 等比数列——当那一步是乘而不是加时，同样三个问题的答案 — Wolfram MathWorld（美国）
- OEIS A000217 三角形数——1, 3, 6, 10, … 也就是 1 + 2 + … + n 的逐次累计，本页第三个算例算的就是它 — OEIS 基金会（美国）