斐波那契计算器

F(1) = 1，F(2) = 1，F(n) = F(n − 1) + F(n − 2) ⇒ 1、1、2、3、5、8、13、21、34、55……；相邻两项之比 → φ ＝ (1 + √5) / 2 ＝ 1.6180339887…

F(1) = F(2) = 1

两个起始值，也是这一页明确表态的那个选择。从 1 开始数意味着 F(1) 与 F(2) 都是 1，F(10) 是 55。另一种常见约定设 F(0) = 0、F(1) = 1，它把每个下标挪一位，于是 F(5) 是 5 而不是 8。两种都不错，但它们在每一个下标上都对不上

F(n) = F(n − 1) + F(n − 2)

递推式，也就是全部定义。每一项是它前面两项之和：1 + 1 = 2，1 + 2 = 3，2 + 3 = 5，3 + 5 = 8。从两个起始值往前推，正是这一页能像给出十项一样轻松给出上千项的原因——没有公式要解，只有一次重复的加法

n

你要多少项，从 2 到 78。下界是 2 而不是 1，因为比值输出需要一项与它前面那一项，只要一项就没有东西可除；这一页拒绝它，而不是印一个空的比值。上界是各项在普通浮点算术里不再精确的那个位置

F(78) = 8944394323791464

这一页能走到的最后一项，也是它停在这里的原因。F(79) 是 14472334024676221，已经超出双精度能精确表示的最大整数 9007199254740991——从那里起印出来的数字就是近似值而不是数列本身。这一页拒绝 79，而不是印一个几乎正确的项

F(n) / F(n − 1)

比值输出。它不是黄金比，这一页也没有说它是：第五项给出的 1.6667 离 1.618 还远。它是个估计值，而且改进得很快——第二十项已经准到这一页印的八位小数

φ = 1.6180339887…

黄金比，这些比值所收敛到的那个数。它是 x² = x + 1 的正根，而那条方程就是把同一个递推写成等式的样子——这不是巧合，正是斐波那契比值落在它身上的原因。注意印出来的估计值最多到 1.61803399：这一页只显示八位小数，真值还在后面

查一项是最朴素的用法：一道题问第十个斐波那契数，或者课本里的数列走得比你愿意手算的更远，这一页给出那个值以及通向它的整串项。比值输出服务的是另一个问题——黄金比是从哪来的。看着 2、1.5、1.6667、1.6、1.625、1.615 一路向 1.618 收拢，比读一遍证明要短得多，而这一页的参考表就是为这种读法排的。第三种用处在编程与课业里，这个递推是讲递归时的标准第一个例子，而它同时也是「递归定义但用迭代算便宜得多」的标准例子——这一页的循环就是迭代版，这也是 78 项不花任何代价的原因。这些数还出现在一切自我叠加的计数问题里：用正方形与长方形铺一条带子的铺法数、上楼梯每次走一级或两级的走法数、每个季节分一次叉的植物的分叉数，都遵循同一个递推。当问题在于那个比值而不在于数列时，golden-ratio-calculator 把它当成一个有自己性质的数来对待；当问题在于增长模式时，exponential-growth-calculator 覆盖的是这些项按步逼近的那条光滑曲线。

1. 前十项：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55

   1. 从这一页使用的两个起始值 1 与 1 开始
   2. 1 + 1 = 2，接着 1 + 2 = 3，接着 2 + 3 = 5，接着 3 + 5 = 8
   3. 继续：5 + 8 = 13，8 + 13 = 21，13 + 21 = 34，21 + 34 = 55
   4. 十项，所以第十项是 55；最后两项之比是 55 ÷ 34 = 1.61764706

   这一页的默认输入。注意第十项是 55，而 55 与 34 之比是 1.61764706——接近黄金比，但在第三位小数上仍看得出偏差。这正是这个数列值得盯着看而不是查一下的原因：收敛很快，但不是瞬间的，而十项还不够让印出来的八位小数走到 1.61803399。

2. 最短的一串：两项

   1. 两项是这一页接受的最小请求
   2. 数列就只是那两个起始值：1 与 1
   3. 第二项是 1，所以第 n 项那个输出是 1
   4. 比值是 1 ÷ 1 = 1——这是这一页能给出的、离黄金比最远的比

   下界，也是它为什么是 2 而不是 1 的原因。比值输出至少要两项才存在；只有一项就没有东西可除，所以这一页拒绝 1，而不是印一个空白或者一个零。比值 1 也是整段收敛的起点：此后每一个比值都是从它出发走的一步，而 1 到 1.618 的这一段路，正是下面那张表一项一项铺开的。

3. 比值落定的地方：二十项

   1. 从第十项继续递推：34 + 55 = 89，55 + 89 = 144，如此下去
   2. 第二十项是 6765，第十九项是 4181
   3. 6765 ÷ 4181 = 1.61803396317…
   4. 按这一页印的八位小数四舍五入，是 1.61803396

   二十项就够了。真正的黄金比从 1.6180339887 开始，而这里的估计值与它在前七位小数上一致——偏差已经落到第八位上，也就是印出来的最后一位。拿它跟十项那一档比：那里误差在第三位小数上就已经看得见。这正是这一页存在的意义：递推的定义里与黄金比毫无关系，而它却把黄金比产了出来，很快，而且只靠加法。

项数必须是 2 到 78 之间的整数。1 是拒绝的，因为比值输出需要两项才存在；79 也是拒绝的，因为各项从那里起不再精确：F(78) 是 8944394323791464，是双精度值能精确装下的最后一个斐波那契数，而 F(79) 越过了 9007199254740991 这条线。这一页拒绝这个请求，而不是返回一个近似的项——因为一个几乎正确、却印成十六位数字的数，看起来与一个正确的数一模一样。计数从 1 开始，这一页用的是 F(1) = F(2) = 1。另一种流传很广的约定设 F(0) = 0、F(1) = 1，它把每一个下标挪一位——在那种约定下第五项是 5，而这里是 8。两种约定都见于教材与软件，所以如果你拿这一页与另一个来源对照、发现数值整整错开一位，那是这个原因而不是算错。比值输出是估计值，印到八位小数；任何有限项数下它都不精确等于黄金比，尽管到第七十八项时印出来的值与黄金比在这八位上是同一个数。各项本身印成逗号分隔的一行，不用千分位，所以第十项读作 55，第七十八项读作 8944394323791464——要念长项请用第 n 项那个输出，而不是这一行。最后，参考表固定是前十项、不跟着你的输入变；它在那儿是为了展示比值怎么落定，不是回答你输入了什么。

数列是从 F(0) 开始还是从 F(1) 开始？

这一页从 F(1) 开始，所以 F(1) = 1、F(2) = 1、F(3) = 2，第十项是 55。另一种流传很广的约定设 F(0) = 0、F(1) = 1，它把每个下标挪一位——在它下面第五项是 5，而这里是 8。两种都见于教材与软件，也都不是错误。但如果你拿这一页和另一个来源对照，发现数值整整错开一位，原因就在这里；这是斐波那契答案出错最常见的方式。

为什么比值一直在变，不是一下子就定下来？

因为它是一个极限而不是一个恒等式。每一项是前两项之和，于是相邻两项之比自己也有一个固定的变化规则，而它每一次都过一点或欠一点，摆动的幅度大约只有上一次的一半。这一页的表把这件事摆出来了：2、1.5、2、1.667、1.6、1.625，然后收窄到 1.615 与 1.619。十项已经接近，二十项足够走到这一页印的八位小数，而任何有限项数都不会精确等于黄金比——只会更接近它。

黄金比是什么，这个数列为什么会产出它？

黄金比是 1.6180339887…，是 x² = x + 1 的正根。那条方程就是斐波那契递推换一种写法——如果比值真的落在某个数上，那个数就必须满足它——这就是数列会落在它身上、而这件事既不是巧合也不是趣闻的原因。它同时也是最难用分数逼近的数，因为它的连分数全是 1，而植物按它来安排叶片与种子的间距，用到的正是这条性质。

为什么最多只能要 78 项？

因为 F(79) 已经大于双精度值能精确表示的最大整数 9007199254740991。F(78) 是 8944394323791464，是精确的；F(79) 是 14472334024676221，存起来会是接近它的另一个数。这一页拒绝这个请求而不是印一个近似值，因为一个印成十六位数字的项看起来与正确的项一模一样——从输出上根本看不出误差。项数的上限是个浮点事实，不是数学事实；数列本身是无限的。

兔子问题是怎么扯进来的？

斐波那契是用一道题引出这个数列的：一开始有一对兔子，每对要一个月长成熟，此后每个月生一对新的，数每个月初有多少对。数出来就是 1、1、2、3、5、8……因为上个月成熟的对都还在，而这个月新生的对来自一个月前成熟的那批——这就是那个递推，从完全另一个方向抵达了它。值得知道，是因为它说明这个数列不是由某一个应用定义的。

能不能不列前面的项，直接算出第 n 项？

原理上可以，这一页的第 n 项输出也确实单独给你那个数，但它是同一趟循环产出来的，不是走捷径公式。原因在精确性：确实有个通项公式——比内公式——用黄金比直接给出第 n 个斐波那契数，但它涉及无理数的幂，在浮点算术里随着 n 变大会离真正的整数越来越远。加整数是精确的，那个公式不是，所以这一页选择做加法。从两个起始值往前推也是 78 项不花代价的原因——没有公式要解，只有一次重复了 76 遍的加法。

• Fibonacci Number——递推式、用黄金比写出的通项公式，以及让比值收敛到它身上的那条恒等式 — Wolfram MathWorld（美国）
• Golden Ratio——1.6180339887… 这个数、它作为 x² = x + 1 正根的定义，以及为什么它是最难用分数逼近的数 — Wolfram MathWorld（美国）
• Continued Fraction——黄金比那个全是 1 的连分数，正是它让斐波那契的比值收敛到黄金比上 — Wolfram MathWorld（美国）
• 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022 年版）的通知——该通知的附件清单第 5 项是《义务教育数学课程标准（2022 年版）》；探索简单情境下的变化规律是小学阶段数与代数领域的内容，原文与学段要求以该附件为准 — 中华人民共和国教育部