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CalcMax

黄金比例计算器

结果

61.8034

较长的一段

较短的一段
38.1966
整条线
100.0000

黄金比例计算器把一条线按黄金分割切成两段：较长的一段除以较短的一段是 1.6180339887，整条线除以较长的一段也一样。往这一页填 100，两段就出来 61.8034 与 38.1966。这个比写作 φ，精确值是「一加根号五，再除以二」——一个永远除不尽、也不循环的数，所以本页每一格读数都是取整过的。计算器要你填的不是这个比，而是一个长度：三段里你知道哪一段、它有多长。比如你知道整条线是 1920 像素、想要分割点；或者你手里已经有较长的那一段 100、想求较短的；又或者短的那一段是定死的、长的那一段得跟着它走。三条支路是同一条算术的三种变形，所以面板永远印同样三个数：较长的一段、较短的一段、整条线。其中两个是你要的，第三个是把另两个钉住的那一个。这一页的数字不带单位，所以像素、毫米、英寸、或者一张纸的几分之几都同样适用，同一页既能算一张照片也能算一个版心。这个比例从欧几里得把它称作「外中比」的时候就被写下来了，而那正是本页做的这件事——一条线进去，两条线出来。

八种长度按黄金分割切开

整条线较长的一段较短的一段
10.6180.382
106.18033.8197
10061.803438.1966
480296.6563183.3437
960593.3126366.6874
1080667.4767412.5233
1200741.6408458.3592
19201186.6253733.3747

每一行都是同一道除法换一个长度，填的都取「整条线」那一档。前三行是尺度本身：1、10、100 分出来的比例完全一样，数字只是上一行移了一位小数点——这就是「这个比没有单位」的意思。第四行起是实际会遇到的宽度：480、960、1080、1200、1920，列出来是为了不用算也能查到数。行越往下有两点值得注意。第一，较长的一段永远只比整条线的 62% 少一点，较短的一段永远比 38% 多一点，每一行都是如此、与长度无关：这个比只固定比例，而一个像素上的比例与一千个像素上的比例是同一个。第二，较短的一段不是精确的 38%，而是 0.382——所以这个分割看起来不像「三分法」那种熟悉的 60/40，黄金分割的两段比多数人以为的更接近相等。任何一行横着读，两段相加都等于第一列的整条线。

公式

较长段 ÷ 较短段 ＝ φ 整条线 ÷ 较长段 ＝ φ 较短段 ＝ 较长段 ÷ φ 较长段 ＝ 较短段 × φ 整条线 ＝ 较长段 + 较短段

你知道哪一段
三选一：较长的一段、较短的一段、或者整条线。它决定哪一格是输入、另外两格读数由它算出来。默认是整条线，因为能直接量到的长度通常就是进入这个问题的入口。
你知道的那个长度
那一段有多长：100，或者 1920，或者 0.5。它必须大于 0，因为 0 没有黄金分割——两段都会是 0；负数长度也不是长度。它不限于整数，也不带单位：像素、毫米、英寸用起来一模一样。
较长的一段
分割里大的那一段，也是主结果。知道整条线时，它是整条线除以 φ；知道较短段时，它是较短段乘以 φ；知道它自己时，它就是填进去的那个数。
较短的一段
小的那一段。知道整条线时，它是减去较长段之后剩下的；知道较长段时，它是较长段除以 φ；知道它自己时，它就是填进去的那个数。
整条线
两段相加，也就是你填的那一格是整条线时你开始的那个长度。它正是把另两格绑在一起的那一格：较长段加上较短段永远回到它，而这个和就是「三行读数彼此一致」的核对。
取整
三格读数都取四位小数，因为 φ 本身就写不完。三格由同一对数算出来，所以你填的长度落在四位小数网格上时，印出来的三行仍然精确相加：61.8034 + 38.1966 正好是 100。

第一种用法是排版：一个页面、一块画布、一张照片或一个画框要按黄金分割切开，宽度已知、两段要算。第二种是反方向，也一样常见——较长的那一段已经画好了，现在要较短的那一段；或者短的那一段是定死的，长的那一段得由它推出来。第三种是复核别人给的尺寸：把较长段填进去，看它推出来的整条线是不是图纸上那一条。第四种是跨尺度的同一比例：同一个设计的大小两版套同一个比，因为这个比是无量纲的，两者之间什么也不用换算。第五种是很多人真正带着来的那个问题：见过这个说法、没见过这个数，看到一条 100 的线变成 61.8 与 38.2 才让定义落到实处——下面那张表把这件事在几个熟悉的宽度上重复了一遍，缩放的效果竖着读一列就能看出来。

算例

  1. 整条线 100

    1. 较长段：100 ÷ 1.6180339887 ＝ 61.8034
    2. 较短段：100 − 61.8034 ＝ 38.1966
    3. 核对：61.8034 + 38.1966 ＝ 100，正好回到填进去的那个长度
    4. 再看那个比：61.8034 ÷ 38.1966 ＝ 1.618

    默认那一档，也是最清楚的一档：整数 100 进去，两个不整齐的数出来，而它们加回去正好是 100。这不是巧合——较短段是用减法得到的、不是再除一次，所以印出来的两行不可能与填进去的那一行对不上。第四步是把定义反过来做一遍，也值得做一次：较长段除以较短段必须回到 φ。

  2. 已知较长段 100

    1. 较短段：100 ÷ 1.6180339887 ＝ 61.8034
    2. 整条线：100 + 61.8034 ＝ 161.8034
    3. 所以较长段 100 属于一条 161.8034 的线

    设计里已经有一条长边时，实际需要的往往就是这个方向：长的那一段定死了，剩下的线得跟着它走。注意这里的主结果就是填进去的那个数——不管你走了哪条支路，面板都把较长段放在第一行，所以答案永远在同一个位置。也注意第二行的 61.8034 与上一档完全相同，这正是要点：一段 100 的长边所对应的短边就是同一个数，无论它是从一条 161.8 的线里来的，还是从一条 100 的线按另一种切法来的。

  3. 已知较短段 100

    1. 较长段：100 × 1.6180339887 ＝ 161.8034
    2. 整条线：100 + 161.8034 ＝ 261.8034
    3. 所以较短段 100 属于一条 261.8034 的线

    第三条支路，也是把乘法钉住的那一条：从短的一段走向长的一段是乘以 φ，而从长的一段走向短的一段是除以它。上面几档两个方向都出现了，对着看是记住这个常数该乘还是该除最快的办法。短的一段 100 需要一条两倍半还多的线——这是实际使用时的提醒：黄金分割里短的那一段，占的份额总比它看起来更小。

  4. 1920 像素的宽度

    1. 较长段：1920 ÷ 1.6180339887 ＝ 1186.6253
    2. 较短段：1920 − 1186.6253 ＝ 733.3747
    3. 核对：1186.6253 + 733.3747 ＝ 1920

    一个屏幕宽度，也是实际中做这道计算最多的地方：一块画布或者一个正文栏按黄金分割切。两段都落在四位小数上，用像素说就是不到一个像素——四舍五入到整像素，这个分割在肉眼能分辨的范围里仍然是黄金分割。它也正好说明为什么读数是四位小数而不是两位：在这个尺度上，两位小数会把两段都变成差不多的整数，从而盖住「它们本来都不精确」这件事。

  5. 整条线 2

    1. 较长段：2 ÷ 1.6180339887 ＝ 1.2361
    2. 较短段：2 − 1.2361 ＝ 0.7639
    3. 核对：1.2361 + 0.7639 ＝ 2

    最小的、两段小数点的两边都有数字的整数长度，也是让这个比的反常之处显形的一档：一条 2 的线，长的那一段超过它的一半（它永远如此），短的那一段略小于十分之四。把这条线乘十就是下面表里的 20，两段也跟着乘十——这个比里没有单位、也没有尺度，只有你量出来的那两段之间的比例。

局限

填进去的长度必须大于 0。0 会被拒绝，因为它的黄金分割是两段都是 0，什么也说明不了；负数也会被拒绝，因为那是一段不存在的长度，而不是一段很小的长度。一次只吃一个长度，而且本页从不校验你在别处做的分割：如果你已经切出两段，填其中一段得到的是「这一段属于哪个分割」，而不是「你手上这一对对不对」。三格读数都取四位小数，所以这些数永远不是精确值——φ 压根没有精确的小数写法，本页每一行都在取整；当整条线与较长段都落在网格上时，印出来的三行仍然精确相加，但五位以上的小数可能让最后一位差 1，那是印出来的位数而不是算错了。长度有意不带单位，代价是本页分不清那两段是毫米还是英里，也因此不会提醒你：像素尺寸的分割要落到整像素才做得出来。本页只套这个比、不做别的事：它不判断黄金分割是不是这个活该用的比例，也不会画出「连续切出正方形」那条常常与它一起出现的对数螺线。

常见问题

黄金比例的精确值是什么？
一加根号五，再除以二，也就是 1.6180339887498948482……一个永远除不尽、也不循环的数。它是唯一一个切完还能保持自己的比：拿一个两边成这个比例的矩形，切掉最大的那个正方形，剩下的矩形还是同一个比。欧几里得把它称作把一条线按「外中比」分割，而本页做的就是这件事。
怎么把一条线按黄金比例分开？
把整条线除以 1.6180339887 得到较长的一段，再从整条线里减掉它就是较短的一段。一条 100 的线分成 61.8034 与 38.1966。第二段用减法而不是再除一次是有意的：这样两段相加必定回到你填进去的那个长度。
我不知道整条线，只知道其中一段，能用吗？
能——在第一格里选你知道的是哪一段，然后把它的长度填进去。知道较长段时，较短段是它除以 φ、整条线是两段相加；知道较短段时，较长段是它乘以 φ。三条支路是同一条算术的三种变形，面板永远印同样三行。
为什么读数是四位小数？
因为 φ 除不尽，本页没有任何一格读数是精确值——四位是取整停下地方，三行都停在同一位。你填的长度不超过四位小数时，印出来的三行仍然精确相加，因为较短段是减出来的。五位以上的小数可能让最后一位差 1。
填的时候要统一单位吗？
不用，这也正是全页不出现任何单位的原因。黄金比例是两段长度之间的比、不是一个长度，所以像素、毫米、英寸、或者几分之几都完全一样，你填的长度放大多少倍，三格读数就跟着放大多少倍。代价是本页没法提醒你：这个答案在落地前要不要取整成整像素。
用 1.618 不就行了吗？
切一张卡纸是够的，用作定义不够。黄金比例不是 1.618，而是一加根号五除以二，后者只是开头几位是这些数字。全程用四位的 1.618 会让一条 100 的线的较长段偏移千分之一左右，多数活里看不出来，但那已经不是黄金分割了。本页用得上多少精度就用多少，只对印出来的位数取整。
它和比例计算器、比例式计算器有什么区别？
区别在于你要提供什么。比例计算器吃你给的两个数并约分，比例式计算器解你写下的等式里缺的那一项。本页这个比不是你选的：它固定是 φ，而你填的是一个长度。三个页面，三个不同的问题。

参考资料

相关计算器

比例计算器化简比例，同时给出每 1 份对应多少与小数写法。宽高比计算器按宽高比缩放，由新宽度求出新高度。斐波那契计算器给出指定位置前的斐波那契数列项与黄金比。比例式计算器解比例式，求出缺失项并给出步骤。