比例计算器
结果
最简比
- 小数写法
- 1.5000
- 前项为 1 时的比
- 1 : 0.6667
比例计算器把一对数化简成最简比，再把同一对数用另外两种写法读出来。输入 6 : 4，两项都能被 2 整除，最简比就是 3 : 2；同一对数用前项除以后项，小数写法是 1.5；把比倒过来写成前项为 1 的形式，是 1 : 0.6667。这三种读法不是一个问题的三个答案。比是一对数，不是一次除法，所以 6 : 4、3 : 2 与 1.5 说的是同一个关系，之所以要多印几种，是因为不同的场合要的写法不一样。配方、比例尺、齿轮组这些地方只能写整数，要的就是最简比；斜率、速率这类接下来还要拿去做乘除的量，要的是小数；而向别人解释一个比，通常要的是每 1 份那一种，因为「前项每 1 份，后项有 0.6667 份」比光秃秃一对数好办事。两项不是整数的比也照算，不拒绝。两项先同乘一个 10 的幂变成整数，约分放在这一步之后：2.5 : 5 先变成 25 : 50，再约成 1 : 2。等比因此认得出来，像 0.5 : 2 这种小数很多的，回来是干净的 1 : 4。面板也不一定按输入的顺序印这两项。带符号的时候，两项同乘一个数，直到符号落在前项上，所以 3 : -4 印出来是 -3 : 4，比没变，只是按站内别处一样的写法写。
常见比的化简与读数
| 比 | 最简比 | 小数 |
|---|---|---|
| 2 : 4 | 1 : 2 | 0.5 |
| 3 : 12 | 1 : 4 | 0.25 |
| 6 : 4 | 3 : 2 | 1.5 |
| 12 : 18 | 2 : 3 | 0.6667 |
| 8 : 12 | 2 : 3 | 0.6667 |
| 9 : 12 | 3 : 4 | 0.75 |
| 7 : 7 | 1 : 1 | 1 |
| 5 : 2 | 5 : 2 | 2.5 |
| 100 : 25 | 4 : 1 | 4 |
| 0.5 : 2 | 1 : 4 | 0.25 |
| 2.5 : 5 | 1 : 2 | 0.5 |
| 1 : 3 | 1 : 3 | 0.3333 |
每一行是一个可能写成这样的比、同一个比的最简形式，以及前项除以后项的商。横着读三格互相印证：6 : 4 与 3 : 2 是同一个关系，都是 1.5，这正是化简的意义。有两行值得记牢，因为人们最容易在这两处出错。12 : 18 与 8 : 12 都化简成 2 : 3，不同的两对、同一个比；7 : 7 化简成 1 : 1，那是两个相等量的比，也是全表唯一三格说法一致的一行。最后两行的原始比里带小数点，放在那里是为了说明它不影响答案：2.5 : 5 化简成 1 : 2，与 25 : 50 完全一样。
公式
最简比 = 前后两项同除它们的最大公因数 6 : 4 → 3 : 2 小数 = 前项 ÷ 后项 → 1.5 每 1 份 = 1 : 后项 ÷ 前项 → 1 : 0.6667
- 前项
- 冒号前面那一个数。小数读法是拿它除以后项得来的，符号也归到它身上。
- 后项
- 冒号后面那一个数。它不能是 0：后项空着的比不成其为比较，而小数读法会变成除零。
- 最简比
- 两项同除它们的最大公因数，于是两项互质。凡是只能写整数的地方就用这个形式，而且它是精确的：12.3457 : 1 回来是 123457 : 10000，不是一个四舍五入过的小数。
- 小数
- 前项除以后项，也就是这个比所代表的商。1.5 表示前项是后项的一倍半。印到小数点后四位，所以像 1 : 3 这种除不尽的，显示 0.3333。
- 每 1 份
- 后项除以前项，写成 1 : 那个数。它回答的是前项每 1 个单位对应多少个后项，要求前项不为 0。同样印到小数点后四位。
三种用法，第一种最需要说明：化简比例是把比写成真的能拿去用的形式，因为 6 : 4 只是一对数，3 : 2 才是配方。第二种是顺着比往下算：把比例转成小数写法之后，它就变成一个可以乘、可以比、可以画图的数，斜率、速率、赔率在去别处之前都要过这一步。第三种是把比讲给别人听，这时干活的是每 1 份那一种，因为「前项每 1 份，后项有 0.6667 份」是句能照着办事的话。三种都出自同一对数，没有哪一种更正确，它们是同一个关系写给三种不同的读者看的。
算例
6 : 4
- 公因数：6 与 4 都能被 2 整除
- 化简：6 ÷ 2 = 3、4 ÷ 2 = 2，所以是 3 : 2
- 小数：6 ÷ 4 = 1.5
- 每 1 份：4 ÷ 6 = 0.6667（小数点后四位）
默认算例。两项本来就是整数，化简只是一次除以二，而每 1 份那一格正是舍入露头的地方。
2.5 : 5，带小数的一项
- 两项同乘十：25 : 50
- 化简：25 ÷ 25 = 1、50 ÷ 25 = 2，所以是 1 : 2
- 小数：2.5 ÷ 5 = 0.5
- 每 1 份：5 ÷ 2.5 = 2
带小数点的一项靠两项同乘十来处理，比本身不变。跳过这一步直接约，剩下的那一项仍然不是整数。
3 : 4，已经是最简
- 公因数：3 与 4 除了 1 没有别的公因数
- 化简：这一对比已经是最简的 3 : 4
- 小数：3 ÷ 4 = 0.75
- 每 1 份：4 ÷ 3 = 1.3333（小数点后四位）
没得约的时候面板把同一对原样印回来，那是正确答案，不是没算。每 1 份那一格照旧，而且不是整数。
3 : -4，符号搬家
- 两项同乘 -1：-3 : 4
- 此外没有可约的，所以最简比是 -3 : 4
- 小数：-3 ÷ 4 = -0.75，与 3 ÷ -4 同一个数
- 每 1 份：4 ÷ -3 = -1.3333
两项同乘一个数比不变，所以 -3 : 4 与 3 : -4 是同一个关系，面板印前一种。三个读数互相印证：两种写法的小数都是 -0.75。
局限
小数与每 1 份两种读法都印到小数点后四位，所以除不尽的比在这一格是被舍入过的：1 : 3 显示 0.3333 而不是三分之一，精确值是个无限循环小数，只有分数写得下。最简比不经过舍入，也不是近似值：12.3457 : 1 回来是 123457 : 10000，那是精确的一对，不是把小数打扮了一下。后项为 0 会被拒绝，因为 a : 0 不成其为比较，而小数读法会变成除零。前项为 0 同样会被拒绝，尽管 0 : 5 姑且可以约成 0 : 1：每 1 份那一格要除以前项，印三分之二个面板比直说没有答案更糟。符号一律印在前项上，所以输入 3 : -4 回来是 -3 : 4，比是一样的，只是从面板上抄下来的数字可能和敲进去的长得不一样。特别大的数也会被拒绝，不做近似：化简是在整数域里做的，超过整数还能精确表示的范围之后，公因数是从噪声里算出来的。这一页只负责化简一个比并给出另外两种读法。补比例式里缺失的那一项、按给定的比把一个量拆开、以及带单位的两个量之间的比，是三件不同的计算。
常见问题
- 比例怎么化简？
- 找能同时整除前项与后项的最大的数，两项各除以它。6 : 4 里那个数是 2，除完是 3 : 2。两项不是整数的时候，先同时乘十，乘够几次直到两项都是整数，再约。
- 小数写法是什么意思？
- 它是前项除以后项，也就是这个比所代表的商：3 : 2 是 1.5，意思是前项是后项的一倍半。要往下做算术就用这个读法，斜率或速率得先是一个数，才能拿去乘。
- 每 1 份那一种又是什么意思？
- 它把比改写成前项为 1 的形式：后项除以前项，印成 1 : 那个数。6 : 4 对应的是 1 : 0.6667，读作前项每 1 份、后项有 0.6667 份。要讲给别人听就用这一种。
- 比里可以有小数吗？
- 可以。2.5 : 5 是个完全成立的比，两项同乘十再约，化简成 1 : 2。两项同乘一个不为零的数比值不变，这一步之所以安全就是这个道理。
- 为什么有时候面板把同一个比原样印回来？
- 因为那一对已经是最简了。3 : 4 除了 1 没有公因数，化简无事可做；面板印 3 : 4 是因为那就是答案，另外两种读法照样会变。
- 3 : -4 为什么显示成 -3 : 4？
- 两项同乘一个数比不变，而站内一律把符号写在前项上。两种写法是同一个关系，三个读数也一致：两种写法的小数都是 -0.75。
- 两项里有一个是 0 会怎样？
- 后项为 0 会被拒绝，因为 a : 0 不成其为比较，而小数读法会除以零。前项为 0 同样拒绝：比本身姑且能化简，但每 1 份那一格要除以前项，没有答案。
参考资料
- Ratio（比）——用冒号把两个数写成比时，前一个当分子、后一个当分母，所以比等价于两者的商；冒号写法与小数写法是同一个关系的两种拼法 — Wolfram MathWorld（美国）
- Greatest Common Divisor（最大公因数）——两个整数共有的最大约数；两个整数的最大公因数为 1 时称为互质，而约到最简之后剩下的正是这个状态 — Wolfram MathWorld（美国）
- Reduced Fraction（既约分数）——把公因数约掉之后写成的形式；本页对一个比的两项做的正是同一个操作，做完才印出来 — Wolfram MathWorld（美国）
- 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022 年版）的通知——该通知的附件清单第 5 项是《义务教育数学课程标准（2022 年版）》；比与比例，以及比的基本性质是义务教育阶段数学课程的内容，课标的原文与学段划分以该附件为准 — 中华人民共和国教育部