比例式计算器

A ÷ B ＝ C ÷ D 交叉相乘：A × D ＝ B × C 缺失项 ＝ （填进去的那一对相乘）÷ 它的对角项

第一项（A）

左边那个比的第一个数：3 : 4 ＝ 12 : 16 里的 3。它可以留空，留空时它就是本页要求的那一项——不管空的是哪一格，答案都印在同一行。它可以是负数，但不能是 0。

第二项（B）

同一个比里的第二个数：4 : 4 在这里是拿来做比较的那一边，所以它填 0 就等于什么都没说——3 : 0 不成其为比。负数没问题。

第三项（C）

右边那个比的第一个数：例子里是 12。它也可以留空，也可以是负数。0 同样被拒绝，因为 C ÷ D 对任何 D 都是 0，没有哪一个 D 能让 0 等于一个非零的比。

第四项（D）

右边那个比的第二个数：例子里是 16，也是通常留空的那一格，因为表单前三个格子都带默认值。它是被搜得最多的那一项，而解法与另外三项完全一样：另一对相乘、除以对角项。

缺失项

留空的那一项解出来的值：3 : 4 ＝ 12 : ? 是 16。不管空的是四格里的哪一格，它都印在同一行——标签要是按某个位置来命名，在另外三种留空方式下就会指错地方。它永远不会是 0：它是两个数的积除以一个非零的项。

交叉积

你填进去的那一对的积：3 : 4 ＝ 12 : ? 是 48，来自 4 × 12。交叉相乘说的就是外项之积等于内项之积，所以这个数就是等号两边共同的那个数，也是拿来用手核对的那一步。印哪一对取决于空的是哪一格，而它永远是完整的那一对——不需要用到解出来的那个值，因为那个值本身是舍入过的。

比例系数

C 除以 A：3 : 4 ＝ 12 : 16 是 4，因为第二个比就是第一个比每一项都乘 4。它不是两个比的比值——那两个比值按定义就相等，比例式说的就是这件事——它是第二个比把第一个比放大的倍数，也是抬眼一看就能核对答案的那个数。

第一种用法是课本上的那一种：比例式里三个项已知、求第四个，无论是按比例尺画图、配一份配方、调一份混合料，还是按固定汇率换算。第二种是核对一个已经解出来的比例式——交叉积那一行就是你用手会做的那次乘法，而比例系数是同一件事的一眼版。第三种是第一项未知的比例式：有些工具表达不了，因为它们的答案槽固定在最后一位；在这里把第一格留空就行。第四种是带小数的比，比如 1.5 : 4.5 ＝ 2.5 : 7.5，答案是小数，而本页印的就是小数，不会把结果写成分数。第五种是与单位率交界的那种：12 : 5 ＝ ? : 1 与「算一件的价钱」是同一套算术，本页照样解，而单位率那一页坚持第二个项必须正好是 1。

1. 3 : 4 ＝ 12 : ?

   1. 留空的是第四项，所以求的就是它
   2. 交叉相乘：3 × D ＝ 4 × 12，也就是 3 × D ＝ 48
   3. 两边同除以 3：D ＝ 48 ÷ 3 ＝ 16
   4. 用比例系数核一下：12 ÷ 3 ＝ 4，而 4 × 4 ＝ 16，两个比确实一样

   默认那一档，也是大多数人拿来就问的形状：前三个项已知、要最后一项。下面两格读数就是这次核对的两半——交叉积 48 是等号两边共同的那个数，比例系数 4 是第二个比乘在第一个比上的倍数。注意解出来的那一项让两个比都等于 0.75：3 ÷ 4 与 12 ÷ 16。这个相等就是比例式的全部内容，而本页只是把它重新排列了一下。

2. ? : 4 ＝ 12 : 16

   1. 这次空的是第一项，方法一点没变
   2. 交叉相乘：A × 16 ＝ 4 × 12，也就是 A × 16 ＝ 48
   3. 两边同除以 16：A ＝ 48 ÷ 16 ＝ 3
   4. 交叉积仍然是 48，因为它取的是你填进去的那一对

   同一个比例式，答案落在第一格而不是最后一格，而每个读数都逐字相同——3、48、4。这正是「输出槽固定」的表单答不了的问题：未知项就住在你留的那个洞里。这里值得盯一下交叉积：它是 4 × 12 而不是 A × 16——本页乘的是你填进去的那一对，不是碰巧含着你刚解出来那一项的那一对。要是它用了解出来的值，读者用手核对时乘的就是一个舍入过的数了。

3. 3 : ? ＝ 12 : 16

   1. 空格挪到了第二项，方法还是那一个
   2. 交叉相乘：3 × 16 ＝ B × 12，也就是 48 ＝ B × 12
   3. 两边同除以 12：B ＝ 48 ÷ 12 ＝ 4
   4. 这一次交叉积取的是完整的那一对：3 × 16 ＝ 48

   空格挪到第二个位置，也正是两对互换的地方：缺第一项时完整的那一对是 B 与 C（内项），缺第二项时是 A 与 D（外项）。这里印出来的积两档都是 48，但那是这四个数凑巧，不是规则——规则是本页乘你填进去的那一对，所以面板上的数永远能用手边填进去的数乘出来。除的是 12 而不是乘 12，是这一步最常被做反的地方。

4. 12 : 5 ＝ ? : 1

   1. 空的是第三项：12 : 5 应当等于 C : 1
   2. 交叉相乘：12 × 1 ＝ 5 × C，也就是 12 ＝ 5 × C
   3. 两边同除以 5：C ＝ 12 ÷ 5 ＝ 2.4
   4. 比例系数是 2.4 ÷ 12 ＝ 0.2，小于 1，因为第二个比比第一个比小

   与「五个卖十二块、一个多少钱」是同一套算术，而答案是一个小数而不是整数。本页把这个小数印出来，不会把它变成分数，这是一条有意的分界：把结果约到最简是分数那几页的事，而四个项都是小数的比例式未必有一个漂亮的分数形式的答案。比例系数小于 1 在这里是有用的信号——它说的是第二个比是第一个比的一部分，而这个信号很容易被当成出错，尤其是当人们预期答案应该更大的时候。

5. -3 : 4 ＝ -12 : ?

   1. 空的是第四项，而四个项都可以是负数
   2. 交叉相乘：-3 × D ＝ 4 × (-12)，也就是 -3 × D ＝ -48
   3. 两边同除以 -3：D ＝ -48 ÷ -3 ＝ 16
   4. 交叉积是负的、比例系数是正的，两个都对

   负数项是合法的，因为比可以是负的，而 -0.75 ＝ -0.75 是一个真比例式。这里两格读数指着一正一负两个方向，而这并不矛盾：交叉积 -48 是等号一侧那两个项的积，而比例系数 4 是 -12 ÷ -3，负的除以负的得正的。要是哪天觉得本页给出的符号像是随手挑的，就看这一档——符号属于印出来的那个积或商，不属于整个比例式。

恰好留一格空白。四格全填会被拒，哪怕这四个数确实构成一个正确的比例式（3 : 4 ＝ 12 : 16 就成立）——没有空格就没有被求的项，而把其中一项当作答案印出来，等于页面悄悄替你挑了。这也给了「核对一个你认为成立的比例式」的办法：留一格空白，看解出来的数是不是你心里那个。填不满三个格子同样会被拒，因为没有东西可解。0 哪个格子都不能出现，而四种情形归成同一条理由：在 A × D ＝ B × C 里，只要有一项是 0，这条等式要么无解、要么对任何值都成立，所以本页一律拒绝，而不是挑一个答案。第二项或第四项填 0 是最清楚的一档，因为对着 0 写的比根本不成其为比。负数项合法，答案也可以是负的，别把负号当成出错。四个读数都保留四位小数，这在除不尽时会显出来：1.5 : 4.5 ＝ 2.5 : 7.5 解出 2.5，而比例系数是 1.6667。结果一律印成小数，从不写成分数——本页不做任何约分，而四个项都是小数的比例式可能根本没有可约的分数。四个项都不带单位，因为比例式比的是同一类量，挂上量纲等于把别的类都挡在门外；要是这个比是两边各带单位的速率，那属于单位率那一页。本页一次只解一个比例式，没有连比、也没有把几个比例式串起来的用法。

比例式怎么算？

交叉相乘，再除。3 : 4 ＝ 12 : ? 用公式写出来是 3 × D ＝ 4 × 12，所以 3 × D ＝ 48、D ＝ 16。说成一句话：把你填进去的那一对相乘，再除以「被求那一项的对角项」。四个位置用的都是这一个方法。

能求第一项吗，而不是最后一项？

能，四项都能。把你想求的那一格留空、其余三格填上就行——没有单独的求解模式，也不会弹菜单问你要解哪个。? : 4 ＝ 12 : 16 的答案是 3，而面板看起来与空格在最后时一模一样。

四格全填会怎样？

会被拒，哪怕这四个数确实构成一个正确的比例式。没有空格就没有被求的项，而把其中一项印成答案等于页面替你挑了。想核对一个你认为成立的比例式，就留一格空白，看解出来的数是不是你心里那个。

负数与 0 可以用吗？

负数可以：-3 : 4 ＝ -12 : 16 是一个真比例式。0 在四个格子里的任何一个都会被拒。在 A × D ＝ B × C 里只要有一项是 0，这条等式要么无解、要么对任何值都成立，而 3 : 0 这样的比根本不成其为比。解出来的那一项永远不会是 0。

交叉积那一行是什么？

你填进去的那一对的积——3 : 4 ＝ 12 : ? 是 48，来自 4 × 12。交叉相乘说的是这两个积相等，所以它就是等号两边共同的那个数，也是值得用手核一遍的那一步。印的是哪一对取决于空的是哪一格，因此它永远能用你填进去的数乘出来。

比例系数是什么意思？

第二个比把第一个比放大了几倍：3 : 4 ＝ 12 : 16 是 4，因为 12 是 3 乘 4、16 是 4 乘 4。它不是两个比的比值——那两个比值按定义就相等，比例式说的正是这件事。它是抬眼一看就能确认答案大小对不对的那个数。

• Proportional（成比例）——两个量之间比值恒定的关系；比例式说的就是这件事，而本页求的是它缺的那一项 — Wolfram MathWorld（美国）
• Linear Equation（线性方程）——每一项都是常数或者常数乘一个变量的方程；交叉相乘把比例式化成的就是它，再除掉那一项就解出来了 — Wolfram MathWorld（美国）
• Ratio（比）——两个数的商；它是比例式两边的各一边，也是比例系数那一行所衡量的变化 — Wolfram MathWorld（美国）
• Least Common Multiple（最小公倍数）——本页的邻居「化简一个比」用的就是它；列在这里是因为化简比与解比例式是最常被混为一谈的两个操作 — Wolfram MathWorld（美国）
• Greatest Common Divisor（最大公约数）——把一个比化成最简所用的那个约数；本页不做这件事，因为它印的是小数而不是化简后的比 — Wolfram MathWorld（美国）