菱形计算器

A ＝ s² × sin(θ) P ＝ 4s d₁ ＝ 2s × cos(θ ÷ 2) d₂ ＝ 2s × sin(θ ÷ 2) h ＝ s × sin(θ)

s

菱形一条边的长度，这里以厘米计。四条边一样长，量一条就够，而且它一个人就定下了周长 4s。它定不下面积：边长 5 的菱形，面积可以从 0 一直到 25 平方厘米，看它被压歪到什么程度，所以还得有夹角

θ

四个角里的任意一个，可以用度、弧度或百分度。菱形有两个一样大的角、两个一样大的角，两组加起来是 180°，所以对角相等、邻角互补。这里每一条公式接受四个角中的任何一个，因为一个角的正弦与它补角的正弦相等——60° 与 120° 描述的是同一个菱形：面积、周长与高都一样，两条对角线彼此对调

A

菱形的面积，以平方厘米计：边长的平方乘以夹角的正弦。夹角是直角时正弦为 1，面积最大，这时菱形就是正方形；夹角越接近 0° 或 180°，图形越扁，面积越接近 0。结果保留四位小数，与这个子类里其他面积页同一个位数

P

周长，以厘米计：四倍边长。它是本页唯一一个完全不看夹角的读数，因为把菱形压歪只会挪动四个角，动不了四条边。边长 5 的菱形，无论立正还是快压平，周长都是 20——所以周长说明不了一个图形盖住多大地方，只能说明它需要多长的边框

d₁, d₂

两条对角线，以厘米计：连接对角的那两条线。它们互相垂直而且互相平分，每一条都等于两倍边长乘以半个夹角的正弦或余弦。菱形越歪，一条越长另一条越短——边长 5 时，90° 两条都是 7.0711，60° 是 8.6603 与 5，30° 是 9.6593 与 2.5882——两条相乘再除以二就是面积，那是通往同一个图形的另一条路

h

菱形的高：一条边与它对面的边之间的垂直距离，等于边长乘以夹角的正弦。它就是「底乘高」里那个高，所以边长 5、夹角 60° 的菱形高是 4.3301，面积是 5 × 4.3301 ＝ 21.6506。图形越扁高越小，只有菱形是正方形时高才等于边长

菱形是按它的边与角来定规格的时候用这一页：一块号称 5 厘米、夹角 60° 的菱形玻璃，地面上的菱形拼花，按图纸裁出来的金属板，四条边一样长的菱形风筝。图纸上写的通常就是这种描述，而它能回答对角线那一路答不了的问题——再压歪一点，面积会变成多少。边长 5 的菱形，直角时是 25 平方厘米，30° 时是 12.5，10° 时只剩 4.3412，而这几个图形的周长全都是 20。手上量出来的是两条对角线（成品菱形最容易量的就是这两条跨距），或者只想要面积，请用 rhombus-area-calculator。已经知道高是多少，请用 parallelogram-area-calculator，那一页直接收底和高，不必从夹角反推。算出来发现四个角都是直角、两条对角线一样长，那就是 square-calculator 的活——正方形是同样边长的菱形里面积最大的那一个。

1. 边长 5 厘米、夹角 60° 的菱形

   1. 夹角的正弦：sin 60° ＝ 0.866025…
   2. 面积：5 × 5 × 0.866025… ＝ 21.650635…，保留四位是 21.6506
   3. 周长：4 × 5 ＝ 20
   4. 半个夹角是 30°，余弦 0.866025…，正弦 0.5
   5. 较长对角线：2 × 5 × 0.866025… ＝ 8.660254…，保留四位是 8.6603
   6. 较短对角线：2 × 5 × 0.5 ＝ 5
   7. 高：5 × 0.866025… ＝ 4.330127…，保留四位是 4.3301

   页面打开的默认值，也是唯一一行能把五个读数一次看全的。其中两个直接来自边长——周长 20，夹角怎么变都动不了它；另外三个都带着 60° 的 0.866，这个数在等边三角形的面积里也会出现。高 4.3301 值得跟边长 5 比一比：从正方形歪到 60°，这个图形的高度少了大约一成三——sin 60° 等于 0.866，损失的就是 1 − 0.866，约等于七分之一而不是六分之一——面积也按同样的比例从 25 掉到 21.6506。

2. 边长 5 厘米、夹角 90° 的菱形

   1. 直角的正弦：1
   2. 面积：5 × 5 × 1 ＝ 25
   3. 周长：4 × 5 ＝ 20
   4. 半个夹角是 45°，正弦与余弦都是 0.707106…
   5. 两条对角线：2 × 5 × 0.707106… ＝ 7.071067…，保留四位都是 7.0711
   6. 高：5 × 1 ＝ 5

   正方形，也就是一点没被压歪的菱形。这一行每个读数都是一个极值或者一个值得记住的巧合同：面积 25 是边长 5 的菱形能达到的最大值，高一路长到与边长相等，两条对角线在中间碰头于 7.0711——也就是五十的平方根，等于边长乘以根号二。周长仍然是 20，与上面那个 60° 的菱形一样，这一对比最能说明周长与面积说的是两回事。

3. 边长 5 厘米、夹角 73.74° 的菱形

   1. 半个夹角是 36.869897…°，余弦是 0.8，正弦是 0.6
   2. 较长对角线：2 × 5 × 0.8 ＝ 8
   3. 较短对角线：2 × 5 × 0.6 ＝ 6
   4. 面积：5 × 5 × sin 73.739795…° ＝ 25 × 0.96 ＝ 24
   5. 周长：4 × 5 ＝ 20
   6. 高：5 × 0.96 ＝ 4.8

   把本页与 rhombus-area-calculator 连起来的那一行。对角线 8 与 6 逼出边长 5——它们的一半是 4 和 3，直角边 4 与 3 的直角三角形斜边正是 5——而这些对角线对应的夹角就是 73.74°。于是本页与那一页在 24 平方厘米上碰头：这里是边加角算出来的，那里是两条对角线算出来的。步骤里出现的 0.8 与 0.6 就是 3-4-5 那个三角形透出来的影子：对角线之比为 4 比 3 的菱形都带这两个角，所以数才会这么整。

4. 边长 5 厘米、夹角 0° 的菱形

   1. 0° 的正弦：0
   2. 面积：5 × 5 × 0 ＝ 0
   3. 周长：4 × 5 ＝ 20
   4. 较长对角线：2 × 5 × cos 0° ＝ 2 × 5 × 1 ＝ 10
   5. 较短对角线：2 × 5 × sin 0° ＝ 0
   6. 高：5 × 0 ＝ 0

   完全压到自己一条边上的菱形，页面照样作答而不是拒绝：面积 0，高 0，图形退化成长度 10 的一条来回两趟的线——较长对角线因此长到了整整 10，较短的那条干脆消失。唯一没变的是周长，还是 20，因为四条边都还在，只是它们围出来的东西没有了。这也是本页接受范围的边界：夹角填负数会报错，0° 与 180° 却是真实的图形，照答。

本页由一条边和一个角描述一个菱形，到此为止。它不能反着算：从面积、对角线或者高都回不到图形本身，所以加工的人真正会问的那个问题——边长 5 想要 24 平方厘米，角该定多少——得自己反推正弦，答案是 73.74°。所有输出都按厘米、平方厘米和度来印，与输入选了什么单位无关：边长那个框的下拉框只把这个长度换算成厘米，夹角框只改变那个数怎么读，两个都不会改变答案的单位。夹角框这里有个实实在在的坑：60 弧度不是 60 度，而页面会按你选中的单位直接算下去，不会提醒你「这个数对角来说太大了」；结果看着不对时，第一个该检查的就是单位选择器。夹角接受 0° 到 180°，超出就报错，这等于默默假定你给的是内角——如果你手上是外角，或者是某条边的方向角，页面不会报错，只会给一个错的图形。夹角正好 0° 或 180° 时面积是 0、一条对角线是 0，对被压平的图形来说这是老实的答案，但几乎不会有人真的想要它，而页面不会提示「刚才描述的是一个退化图形」。边长上限是十亿厘米，也就是一万公里，那是精确算术的限制而不是几何上的限制。四位小数是这个子类面积页共用的显示宽度而不是精度声明：夹角只量到整度，面积就会差百分之一上下，比第四位小数粗得多。页面假定你量的东西真的是菱形（四条边相等、对边平行），一个「差不多是」的四边形会被当成菱形算下去；如果手上是两把量出来的对角线、对形状又没有把握，请用 rhombus-area-calculator。这里也不计损耗、锯缝和砖缝，所以给出的是图形的面积，不是要订的材料量。

知道一条边和一个角，能把菱形算出多少东西？

它有的全都能算：面积、周长、两条对角线和高。一条边定死了周长（四倍边长），剩下的都由夹角决定，因为边长定了之后，菱形唯一的自由就是把角度压歪。边长 5、夹角 60° 的菱形，面积是 21.6506 平方厘米，周长 20，两条对角线是 8.6603 与 5，高是 4.3301。

四个角该填哪一个？

填哪个都一样：面积、周长和高完全相同，只有两条对角线彼此对调。菱形有两个一样大的角、两个一样大的角，相邻的两个加起来是 180°，所以填 60° 和填 120° 说的是同一个菱形。原因在于这里每条公式用的都是夹角的正弦，而一个角的正弦与它补角的正弦相等——sin 60° 与 sin 120° 都是 0.866，于是两条对角线的长度还是那两个数，只是哪条排在前面换了位置。只看得出来一个角是尖的、一个是钝的，任选一个数填就行。

把菱形压歪，周长会变吗？

不会。周长是四倍边长，而边长没变，所以边长 5 的菱形无论是正方形还是快压平了，周长都是 20。压歪改变的是别的全部：面积从直角时的 25 平方厘米，掉到 60° 的 21.6506，再到 10° 的 4.3412。这也是为什么周长说明不了一个图形盖住多大地方，只能说明它需要多长的边条或者框。

两条对角线和边长、夹角是什么关系？

每条都等于两倍边长乘以半个夹角的正弦或者余弦：长的那条是 2s × cos(θ ÷ 2)，短的那条是 2s × sin(θ ÷ 2)。边长 5、夹角 60° 时是 8.6603 与 5；夹角 90° 时两条都是 7.0711，这正是正方形的对角线相等。两条相乘再除以二就是面积，也就是 rhombus-area-calculator 拿到对角线时用的那条公式。

同样边长的菱形，面积最大能到多少？

正方形，面积等于边长的平方。边长 5 的菱形在直角时面积是 25 平方厘米，其他任何角度都更小：60° 时 21.6506，30° 时 12.5，10° 时 4.3412。原因就在公式里，夹角的正弦最大是 1，而且只在 90° 取到。给瓷砖或者面板挑夹角、又想同样边长盖住最多面积，就选直角。

夹角填 0° 或者 180° 会怎样？

面积是 0，高也是 0，周长仍然是 20。这两个都是老实的答案而不是错误：夹角 0° 时图形已经完全压到自己的一条边上、围不出任何面积，而四条边还在，所以较长对角线长到了 10、较短的那条消失了。超出 0° 到 180° 这个范围才会报错，因为页面假定你填的是内角。

• Rhombus——四条边相等的四边形，本页描述的就是它；条目里给出边、对角线、高与各角之间的关系，本页五个输出都由这些关系拼出来 — Wolfram MathWorld（美国）
• Parallelogram——菱形所属的更大的那一族，本页「高」那个输出背后的底乘高公式就写在这里 — Wolfram MathWorld（美国）
• Quadrilateral——一般四边形，用来核对本页的对角线关系确实是对角线互相垂直的四边形都成立的那条规律的特例 — Wolfram MathWorld（美国）
• 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022 年版）的通知——该通知的附件清单第 5 项是《义务教育数学课程标准（2022 年版）》；菱形与正方形的性质、平行四边形的面积是义务教育阶段数学课程的内容，课标的原文与学段划分以该附件为准 — 中华人民共和国教育部