菱形面积计算器

A ＝ (d₁ × d₂) ÷ 2 A ＝ s² × sin(θ)

d₁、d₂

两条对角线，单位是厘米：连接两个相对顶点的线。在菱形里它们互相垂直、并且互相平分，这正是第一条公式成立的原因。正方形的两条对角线等长，所以同一个数填两遍是对的而不是写错了——对角线 10 与 10 的菱形面积是 50，边长 7.0711

s

一条边的长度，单位是厘米。四条边等长，所以一条就够。光有它定不出面积——边长 5 的菱形面积可以从接近 0 一直到 25——所以这条路需要一个角一起给。这也是「为什么只填边长算不出来」的答案：边长管大小，夹角管歪了多少

θ

四个角里的任意一个，单位可以是度、弧度或百分度。菱形有两个一样大的角、两个另一样大的角，而两种角加起来是 180 度；哪一个都能代进公式，因为一个角的正弦与它补角的正弦相等。所以页面不关心你量的是四个角里的哪一个

A

面积，单位是平方厘米：两条对角线乘积的一半，或者边长的平方乘一个角的正弦。两个式子对同一个菱形给同一个数。它印四位小数，与这个子类里其他面积页的宽度一致

÷ 2

对角线公式里的那个除以二。它在那儿是因为两条对角线把菱形切成四个直角三角形，而两条对角线相乘数到的是外面那个矩形两遍——菱形正好是「以两条对角线为边」的那个矩形的一半，这是看清公式来历最省事的一条路

sin(θ)

夹角的正弦，也就是「歪了多少」的度量。直角时它是 1，所以同样边长的菱形里正方形面积最大；越压越扁它越接近 0，所以压得几乎摊平的菱形几乎没有面积。它在 90 度取到最大、并且关于 90 度对称，这就是 60 度与 120 度给出同一个面积的原因

当菱形是靠它的两条对角线定义的时候，用对角线那条路——地上的放线、从板材上裁下来的东西大多如此：铺装石块、风筝、装饰面板、斜着装的窗格。对角线是在一个做好的菱形上真能量到的两个距离，而它们乘积的一半就是面积：6 与 8 的那个是 24 平方厘米。当形状是靠它的边与角定义的时候，用边与夹角求面积的那条路——按规格事先定好的东西大多如此：标着「边长 5、夹角 60 度」的瓷砖、地板上的菱形图案、按图纸切出来的板。那条路还回答了对角线路回答不了的问题：把形状压一压，面积会掉多少。边长 5 时，60 度的菱形占 21.6506，90 度的占 25，也就是说压到这个程度要损失约 13% 的面积，再压下去损失更多。有两个特定的形状值得试一试。两条对角线填同一个数，你就得到一个正方形——10 与 10 给 50，边长 7.0711——它是那个对角线长度下面积最大的菱形，也是一个好用的参照点。而填一个很小的角，面积就朝着 0 去：压到 10 度的菱形边长一点没变，面积却几乎没有了，这就是「光有边长定不出面积」最直白的演示。如果你是在拿这一页与平行四边形面积页比：那一页要一个底与一条垂直高，对菱形同样适用——高就是边长乘夹角的正弦——但它问你要的是一个你得先算出来的距离，而不是一个你能直接量到的距离。至于菱形周长，那是边长的四倍，也是这个形状上唯一一个根本不需要角的读数。

1. 对角线 6 与 8

   1. 两条对角线相乘：6 × 8 ＝ 48
   2. 除以二：48 ÷ 2 ＝ 24

   页面打开时的默认值，也是整页围绕的那个菱形，因为它是唯一一个两条路都能手算验一遍的。它的对角线 6 与 8 逼出边长 5——每条对角线的一半是 3 与 4，两直角边为 3 和 4 的直角三角形斜边是 5——而对应的夹角是 73.74 度。所以另一条路，边长 5、夹角 73.74，给出同一个 24，下面的表格就印着那一行。这是这一页最清楚的一处演示：两个公式描述的是同一个形状，而不是两件事。

2. 边长 5、夹角 60 度

   1. 角的正弦：sin 60° ＝ 0.866025…
   2. 边长的平方：5 × 5 ＝ 25
   3. 面积：25 × 0.866025… ＝ 21.650635…，舍入得 21.6506

   边与夹角那条路，也是把「压歪要损失多少面积」显示出来的一行。边长 5 的正方形占 25 平方厘米；压到 60 度，同样四条边只围出 21.6506，少了约 13%。0.866 这个数是 60 度的正弦，也就是二分之根号三，它同时是等边三角形面积里出现的那个数——两者是同一套几何从不同方向看过去。

3. 边长 5、夹角 90 度

   1. 角的正弦：sin 90° ＝ 1
   2. 边长的平方：5 × 5 ＝ 25
   3. 面积：25 × 1 ＝ 25

   正方形，也就是一个角一点没被压歪的菱形。直角的正弦是 1，所以第二个公式塌缩成边长的平方，给出边长 5 的菱形能有的最大面积。其他任何角都更小：45 度是 17.6777，30 度是 12.5，10 度是 4.3412。在给面板或瓷砖挑角度之前知道这一点是有用的——同样一条边，盖住地面最多的那个形状是压得最少的那个。

4. 对角线 5 与 12

   1. 两条对角线相乘：5 × 12 ＝ 60
   2. 除以二：60 ÷ 2 ＝ 30

   一个细长的菱形，而这一行很容易拿它的边长来对：5 的一半是 2.5、12 的一半是 6，所以边长是两直角边为 2.5 与 6 的直角三角形的斜边，也就是 6.5，与表格里边长那一列一致。面积 30 顺便提醒一句：两条路在省事程度上并不对等——这个形状的周长是 26、面积是 30，那是这几个数凑出来的巧合，不是一条规律。

5. 对角线 1 与 1

   1. 两条对角线相乘：1 × 1 ＝ 1
   2. 除以二：1 ÷ 2 ＝ 0.5

   最小的正方形菱形，也是把「除以二」显示得最干净的一行：两条对角线都是 1，面积是二分之一，因为菱形是「以两条对角线为边」的那个单位正方形的一半。它的边长是 0.7071，也就是二分之根号二——与正方形的对角线比边长是同一个关系，只是反过来读。另外注意两条对角线都填 0 得到的是面积 0 而不是一片空白：一个没有大小的菱形是一个合法的答案。

本页只算菱形的面积，不算别的：它不印周长、不印高、不印对角线长度、也不印夹角，理由是那些都由你手上已有的两个量决定。周长是边长的四倍，用边那条路时直接从你自己的输入就能读出来。页面需要「两条对角线」或者「一条边加一个角」，两条路都不完整时它会报错而不是猜：只填一条对角线、或者只填边长不填角，都定不出这个形状。两条路都填是允许的，只要不互相矛盾——对角线之外再填一条边会拿它去对——但两条对角线暗示的边长与边长栏填的数对不上时，页面会报出矛盾而不是悄悄选一边，而且它不会告诉你哪一个是错的那个数。角度栏接受度、弧度与百分度，页面假设角在 0 到 180 度之间；0 度或 180 度给面积 0，那是一个被压平的形状的诚实答案，但如果角度与你选的单位不一致，页面会给出一个错的数而不是报错。输出一律是平方厘米，与长度下拉框选什么无关，所以按英寸填进去的边长拿回来的是平方厘米的面积，得自己换算。四位小数是显示宽度而不是精度声明，对用卷尺量出来的尺寸来说偏宽。页面也不检查这个形状到底是不是菱形：四条边等长、角随便，它都按菱形处理，而一个看起来像菱形、四条边其实略有差别的形状，会按你填的那条路算出一个数来而不提示。它也没法用高来描述一个菱形，也没法从面积倒推出尺寸——而按固定面积裁一块板恰恰是这类问题真正会问的样子。

菱形面积公式是什么？

有两条，任一条就够。两条对角线乘积的一半：对角线 6 与 8 的菱形占 24 平方厘米。或者边长的平方乘任意一个角的正弦：边长 5、夹角 60 度的菱形占 21.6506。量到了对角线就用第一条，形状是按边与角定下来的就用第二条。同一个形状两条路给出同一个答案，页面上那张表就是直接把这件事摆出来。

为什么对角线那条公式要除以二？

因为菱形是「以两条对角线为边」的那个矩形的一半。两条对角线互相垂直、并且互相平分，把菱形切成四个直角三角形；如果你把以两条对角线为邻边的那个矩形画出来，会发现菱形正好占了它的一半。那个矩形的面积是两条对角线相乘，所以菱形是它的一半。

菱形和钻石形是一回事吗？

是，钻石形通常指的就是菱形。扑克牌上的方块、钻石形的瓷砖、钻石形的地面图案，都是菱形，也就是四条边等长的四边形。数学上用「菱形」这个词是因为它精确，工地上用「钻石形」是因为它短，而这一页讲的是同一个形状。

对角线、边长和夹角可以一起填吗？

可以，只要它们不互相矛盾。在对角线之外再填一条边是一次自检而不是矛盾，因为对角线会定死边长，页面能判断这几个数是不是同一回事。页面不会做的是挑一个赢家：对角线暗示边长 5、而边长栏写着 7 的菱形会被报成矛盾，而不是悄悄用其中一个算出来，因为那两个数里没有哪一个明显更可信。

边长固定时，菱形的面积最大能到多少？

最大是正方形，面积等于边长的平方。边长 5 的菱形在直角时占 25 平方厘米，其他角都更小：60 度时 21.6506、45 度时 17.6777、30 度时 12.5、10 度时 4.3412。这从公式上就能看出来，因为角的正弦最大是 1，而它在 90 度取到。所以在给瓷砖或面板挑角度、又想让同样一条边盖住最多地面时，挑直角。

知道两条对角线，怎么求边长？

把每条对角线取一半，用两个一半当直角三角形的两条直角边，斜边就是边长。对角线 6 与 8 的一半是 3 与 4，所以边长是 5；5 与 12 的一半是 2.5 与 6，边长是 6.5。这样做成立的依据是菱形的两条对角线互相垂直、并且互相平分——那也正是面积公式立足的那条性质。

• Rhombus（菱形）——四条边等长的四边形，也就是本页算面积的形状，含「面积等于两条对角线乘积的一半」这条结论以及边、对角线、角之间的关系 — Wolfram MathWorld（美国）
• Parallelogram（平行四边形）——菱形所属的更大的族，含底乘高的面积公式；菱形只要把高从边长与夹角算出来，就也能用那一条 — Wolfram MathWorld（美国）
• Quadrilateral（四边形）——一般四边形，也是查证「对角线互相垂直的四边形都能用对角线乘积的一半」这条规则的地方，本页的公式是它的特例 — Wolfram MathWorld（美国）
• 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022 年版）的通知——该通知的附件清单第 5 项是《义务教育数学课程标准（2022 年版）》；平行四边形的面积、菱形与正方形的性质是义务教育阶段数学课程的内容，课标的原文与学段划分以该附件为准 — 中华人民共和国教育部