PVIFA 计算器
结果
PVIFA（年金现值系数）
- PVIFA（每期期初付）
- 7.24689
年金现值系数（PVIFA）是这类计算里唯一与钱无关的那一半。它只回答一个问题：在每期折现率 i、共 n 期的情况下，每期 1 块钱折到今天值多少？把它乘上你自己的每期金额就得到现值；不乘、就这么留着，你得到的是一个可以写进表里的数——而大多数人第一次见到它，正是在一张表里。这一页单独把系数印出来，因为教材附录、考题和对着公开表格查数的表格需要的正是它本身，而默认那一组输入是特意挑的，挑成让答案落在一个已经公布过的数上。年利率 8%、十年、按年付，系数是 6.71008——任何一本标准年金系数表里，8% 那一行第 10 格印的就是这个数。参考表在固定十年期的前提下把年利率从 4% 走到 12%，六个数与公开表逐位相同，不是「约等于」，所以这一页可以拿来对表。每个系数旁边还印了期初年金的版本，也就是同一串付款每一笔都挪到所在期的开头：8% 那一档从 6.71008 变成 7.24689，大了约 8%，而这个差额就是同一串付款整整一期的利息。
十年、按年付款，六档利率下的系数与期初年金系数
| 年利率 | 年金现值系数 | 期初年金的系数 |
|---|---|---|
| 4 | 8.1109 | 8.43533 |
| 5 | 7.72173 | 8.10782 |
| 6 | 7.36009 | 7.80169 |
| 8 | 6.71008 | 7.24689 |
| 10 | 6.14457 | 6.75902 |
| 12 | 5.65022 | 6.32825 |
这几行里只有利率在变，期限固定十年、按年付，所以这张表就是把公开年金系数表的第 10 格从上往下读。这里的每一个数都与标准表逐位相同：4% 是 8.1109，5% 是 7.72173，6% 是 7.36009，8% 是 6.71008，10% 是 6.14457，12% 是 5.65022。要看的形状是系数随利率上升而下降，但在这个期限下始终不低于大约 5.65，因为十笔里有八笔还够得着折现——把利率推到 50%，系数才塌到 1.96532，那是同一张表读到极端的模样。第二列是同样十笔付款挪到每期开头的结果，永远大出一期利息，而两列的比值就是「时点」在各档利率下值多少：4% 时 4.0%，到 12% 时降到 2.7%。8% 那一行是本计算器的默认情形。
公式
年金现值系数 = [1 − (1 + i)⁻ⁿ] ÷ i ×（每期期初付再乘 (1 + i)） (i = 年利率 ÷ 一年付款次数；n = 年数 × 一年付款次数)
- i
- 每期折现率——年利率除以一年付款次数，也就是每一笔付款被折现时用的那个比率
- n
- 期数——年数乘以一年付款次数，同时也是那个让远处的付款变轻的指数
- PVIFA
- 年金现值系数：每期 1 块钱、共 n 期，折到今天值多少；这个数里一分钱都没有
- 期初年金系数
- 每一笔改在所在期开头到手时的同一个系数，等于普通系数乘以 (1 + 每期折现率)
当你需要的是系数而不是金额时用它：拿一个结果去对公开表格、做一道没有给出付款额的题、搭一张把付款额单独留作输入的表格，或者在不让金额挡住视线的前提下比较系数随利率和期限怎么变。系数也是看清折现形状最诚实的方式，因为它把折现单独剥了出来：8%、十年是 6.71008，意思是十笔年付款今天还不值七个；同一个系数在 50% 下是 1.96532，意思是那个利率下除了头两年，后面的几乎都撑不过折现。用公开表之前有两件事要知道。表几乎都是按「每期期末付」编的，所以估值期初年金时你要看的是第二列而不是第一列。以及每期折现率和期数必须与付款频率一致：十年的按月年金是 120 期、按月度利率折，不是 10 期按年利率折，照年那一行去查会把系数说大十二倍左右。
算例
8%、10 年、按年付——教材上那一格
- 每期利率：8% ÷ 1 = 每年 8%
- 期数：10 × 1 = 10
- 年金现值系数：[1 − 1.08⁻¹⁰] ÷ 0.08 = 6.7100814…，印出来是 6.71008
- 期初年金系数：6.7100814… × 1.08 = 7.2468879…，印出来是 7.24689
这是默认那一组，也是这一页默认用「按年、十年」而不是其他年金页那种「按月、二十年」的原因。翻任何一本标准年金系数表，8% 那一行的第 10 格就是 6.71008——因为这不是那个数的近似，它就是那个数。旁边那一列是同一张表里期初年金的那一格，两者相差整整一期的利息，8%。
7%、20 年、按月付——128.98251
- 每期利率：7% ÷ 12 = 每月 0.5833…%
- 期数：20 × 12 = 240
- 年金现值系数：[1 − (1.005833…)⁻²⁴⁰] ÷ 0.005833… = 128.98250649…，印出来是 128.98251
这组输入就是年金现值那一页的默认情形，那一页在每期 500 之下给的是 64,491.25。把 128.98250649… 乘 500 得到的就是它，而这就是两页之间的全部关系：一页印系数，另一页把它乘上金额。注意拿印出来的 128.98251 乘 500 会得到 64,491.255、舍到分是 64,491.26——五位小数是给人看的，不是给人接着往下算的。
5%、一年、按年付——0.95238，而期初那一格正好是 1
- 一期、5%：年金现值系数 = 1 ÷ 1.05 = 0.952380…，印出来是 0.95238
- 期初年金：这一笔挪到今天，折现因子是 (1.05)⁰ = 1
- 所以期初那一格正好是 1，里面没有舍入
这一页上最干净的边界。一笔一年后才到手的钱，在 5% 下值它面值的 0.95238；把同一笔挪到今天，系数就是 1，因为它还没被时间折过。两列在这里的相对差距是全页最大的——大约 5%——而期限拉长之后它会收窄，这跟大多数人的直觉正好相反。
局限
系数好不好用，取决于它背后的利率和期数，而这两个都必须与付款频率对齐。公开表几乎都是按年编的，拿它去查按月年金就得先把利率和期数都换算一遍，换错是这类计算里最常见的差一个数量级的方式。系数假定每期付同样的金额、期数事先确定，所以逐年递增、按计划阶梯上调、或者不知道还要付多久的现金流都不在它范围内。它假定整段期间折现率是一个常数，而现实中不存在这样的利率。它是一个现值，不是一个价格：里面没有任何对信用风险、税、费用、或者付款中途停掉的预留。对着官方表格核数时还要知道，政府自己的数是用另一条路拼出来的。按美国 26 CFR 20.2031-7，表 B 先给出一个按年计的系数——2.6%、五年期是 4.6325——表 K 再乘上一个把付款频率调过来的调整因子，2.6% 下按季付是 1.0097，所以法规自己的算例用一笔每年 10,000、按季付款的年金得到 46,774.35。本页走的是另一条路，直接把名义利率复利，得到 46,744.27，少了大约 30，也就是 0.06%。两个都不算错，它们是两套约定；而一个必须与已申报的精算估值对上的数，必须用法规那一套。
常见问题
- PVIFA 是什么？
- 它是 present value interest factor of an annuity 的缩写，中文叫年金现值系数，指的是在给定折现率下、每期 1 块钱共若干期，折到今天值多少。它是一个不带钱的裸系数，所以你把它乘上自己的每期付款额才得到现值。8%、十期按年，它是 6.71008，意思是十笔「1」今天值 6.71008。
- 年金现值系数怎么算？
- 用 [1 − (1 + i)⁻ⁿ] ÷ i，其中 i 是每期利率、n 是期数。8% 按年、十年就是 [1 − 1.08⁻¹⁰] ÷ 0.08 = 6.7100814…，印出来是 6.71008。要算按月年金，先把年利率除以十二、把年数乘以十二，再用同一个公式——每期利率和期数必须都是「每期」的。
- 为什么期初年金的系数更大？
- 因为每一笔都早到手一期，所以每一笔被折现的次数都少一次。两者的关系是精确的：期初系数等于普通系数乘以 (1 + i)。8%、十年就是 6.71008 × 1.08 = 7.24689，大了约 8%。这一页两列都印，就是为了让你不必先决定自己要哪一种才看得到数。
- 默认那组输入真的和公开表格对得上吗？
- 对得上，而且是特意挑的。默认是 8%、十年、按年付，得到 6.71008——标准年金系数表里 8% 那一行第 10 格印的数。参考表在同样的十年期下从 4% 走到 12%，六个数 8.1109、7.72173、7.36009、6.71008、6.14457、5.65022 与公开表逐位相同，所以这一页可以拿来对表。
- 利率为 0 时会怎样？
- 系数退化成期数，因为没有折现时这串付款就值它们的总和。十笔按年付款在 0% 下系数是 10，十年按月付则是 120。期初系数在 0% 下与它完全相同，因为乘以 (1 + 0) 什么也没改变。这是检验这个系数含义的一个有用办法：凡是超出期数的部分，全都是折现造成的。
- PVIFA 和年金现值是一回事吗？
- 差一步。年金现值是系数乘以每期付款额，所以当付款额未知、不重要、或者已经在别处算过时，你手上剩下的就是系数。本站把这两个数分给了两页：年金现值那一页印金额，这一页印系数，输入是同一组——7%、二十年按月，系数是 128.98250649…，每期 500 就让年金的现值变成 64,491.25。
参考资料
- 26 CFR 20.2031-7(d)(6) 表 B：美国政府自己发布的定期年金系数表，2.6%、五年期的年金系数是 4.6325，法规的算例用的就是它 — Internal Revenue Service regulation, via the Electronic Code of Federal Regulations (United States)
- 26 CFR 20.2031-7(d)(2)(iv) 表 K：每期期末付款的年金调整因子，用来把一个按年编的年金系数换成付款更频繁的口径（期初付对应的是表 J） — Internal Revenue Service regulation, via the Electronic Code of Federal Regulations (United States)
- Annuities：Investor.gov 术语表——本页这个系数所定价的那种按固定间隔发生的付款序列 — U.S. Securities and Exchange Commission, Investor.gov (United States)