分数乘法计算器

a/b × c/d ＝ (a × c) / (b × d) 交叉约分：先把 a 与 d 同除 gcd(a, d)，把 c 与 b 同除 gcd(c, b)，再相乘 最后把积约到最简

第一个分子

第一个分数分数线上的数：2/3 里的 2。它与「另一个」分数的分母约，不与自己这个分数的分母约，也不与另一个分子约。它可以是负数，负号会跟着它穿过整个约分过程进入答案。

第一个分母

第一个分数分数线下的数：2/3 里的 3。它必须是正数——分数把符号扛在分子上，正是这条约定让约分没有歧义。它与第二个分数的分子约。

第二个分子

第二个分数分数线上的数：3/4 里的 3。它与第一个分母约，而默认那一档里那个分母正好也是 3，所以两者一起消失，两格约分后的读数都变简单了。

第二个分母

第二个分数分数线下的数：3/4 里的 4。它与第一个分子约——默认那一档里就是 2 与 4——它同样必须是正数，理由与第一个分母一样。

交叉约分

在相乘之前，拿一个分数的分子与另一个分数的分母同除它们的最大公约数。两对斜线都要约，先约的好处是乘出来的积已经是最简形式，末尾不必再做一次长长的除法。它能成立，是因为一个因数除以某个数、另一个因数乘以同一个数，两者互相抵消。

约分后的因数

两对斜线约完之后两个因数的样子：默认那一档是 1/1 与 1/2。它们相乘等于答案的值，而核对这个捷径靠的就是这一点——如果两格读数乘起来不是积，那就是约错了对象。它们按约完的样子原样印出，所以整个约干净的因数会印成一个光秃秃的 1。

约分前的积

直接分子乘分子、分母乘分母得到的结果，没有任何约分：默认那一档是 6/12。它与答案同值，只是一对整数大得多；把它印出来，是让两条路之间的差别看得见，而不是一句断言。

第一种用法是这道题本身：分数乘法先于分数除法教，而它正是引入斜向约分的地方，所以面板印的是两个约分后的因数而不只是答案。第二种是核对手算的过程——把两个分数填进去，拿约分后的因数与你写的对照，对不上积也就对不上。第三种是约得很远的积，比如 99/100 乘 100/99，直接相乘会写出 9900/9900，而交叉约分一步算术都不用做就得到 1。第四种是负的分数，负号必须在约分里活下来：-2/3 乘 3/4 是 -1/2，而负号属于扛着它的那个分子。第五种是分数乘整数，那不过是把第二个分数写成分母为 1——1/2 乘 2 就是 1/2 乘 2/1——本页不用为它开特例。

1. 2/3 × 3/4

   1. 斜着约：2 与 4 有公因数 2，约成 1 与 2；3 与 3 有公因数 3，约成 1 与 1
   2. 两个因数现在成了 1/1 与 1/2
   3. 分子分母各相乘：(1 × 1) ÷ (1 × 2) ＝ 1/2
   4. 不约的话是 (2 × 3) ÷ (3 × 4) ＝ 6/12，同一个数

   默认那一档，也是最能说明交叉约分换来了什么的一档：两条路分别得到 1/2 与 6/12，同值，而只有一条已经是最简。注意第一个约分后的因数印成一个光秃秃的 1 而不是 1/1——它的每个数都约掉了，而分母为 1 时不写分母。核对就藏在最后两格读数里：把它们乘起来就得到答案，1 × 1/2 ＝ 1/2。

2. 7/8 × 4/5

   1. 斜着约：7 与 5 没有公因数，两个都留着；4 与 8 有公因数 4，约成 1 与 2
   2. 两个因数现在成了 7/2 与 1/5
   3. 分子分母各相乘：(7 × 1) ÷ (2 × 5) ＝ 7/10
   4. 不约的话：(7 × 4) ÷ (8 × 5) ＝ 28/40，同一个数，只是整数更大

   两对斜线里只约得动一对的那一档：7 与 5 互质，那一对原样穿过去，第一个因数于是留着分母 2；另一对约得干净，第二个因数掉到 1/5。交叉约分有一半的功夫是认出无事可做，所以一格读数原样返回是信息、不是失败。答案 7/10 已经是最简，而那一行没约的 28/40 展示的是走长路会交出来的东西。

3. 99/100 × 100/99

   1. 斜着约：99 与 99 有公因数 99，约成 1 与 1；100 与 100 有公因数 100，约成 1 与 1
   2. 两个因数现在都是 1/1
   3. 分子分母各相乘：1 × 1 ＝ 1
   4. 不约的话：(99 × 100) ÷ (100 × 99) ＝ 9900/9900，也是 1

   一个分数乘上它自己的倒数，也是最能显示这个捷径省了多少事的一档：长路要先造出 9900 分之 9900，再把它约回 1，而交叉约分连这两个数都不必写下来。两格读数都印成光秃秃的 1，因为两个因数都约干净了——在这个写法里，倒数的形状就是这样的。它同时也是「约分为什么成立」最清楚的一次演示：那个 99 与那个 100，各自都被乘了一次、也被除了一次。

4. -2/3 × 3/4

   1. 斜着约：-2 与 4 有公因数 2，约成 -1 与 2；3 与 3 有公因数 3，约成 1 与 1
   2. 两个因数现在成了 -1/1 与 1/2
   3. 分子分母各相乘：(-1 × 1) ÷ (1 × 2) ＝ -1/2
   4. 负号自始至终属于分子

   负分数那一档，负号跟着分子穿过整个约分过程：-2 与 4 有公因数 2，约完剩下 -1 与 2，所以那个负号约完还在，没有跟着公因数一起被约掉。注意分母在每一行都是正的——分数把符号扛在上面，正是这条约定让斜着配对不会产生歧义。一个负因数得到负的积；两个就会得到正的。

5. 1/2 × 2

   1. 把整数写成分数：2 就是 2/1
   2. 斜着约：1 与 1 没有公因数；2 与 2 有公因数 2，约成 1 与 1
   3. 分子分母各相乘：1 × 1 ＝ 1
   4. 所以二的一半就是一

   整数那一档，本页不用为它开特例：2 就是 2/1，于是它像别的分数一样被处理，而斜向约分自己找到了那个 2 与那个 2。少了这一步，积会是 2/2，还得再约一次——这就是这个捷径在一个这么小的例子上省下的差别。答案印成光秃秃的 1 而不是 1/1，与本页别处是同一条约定：分母为 1 不写。

两个分母都必须是正数，因为分数把符号扛在分子上——而这条约定在这里是真的在干活：约分是斜着配对的，分母一旦可以是负数，配到谁就说不清了。分子可以是负数，符号会进入答案。四个数都有限制：分子与分母各自的上限大约是九千四百万，这是两个分子相乘之后仍然落在「能被精确表示」的整数范围内的最大值。超过它乘积会悄悄失去精度，所以本页宁可拒绝这次输入，也不印一个看起来对的数。分子为 0 是接受的——积就是 0，两格约分后的读数会是 0 分之几——但分母为 0 不接受，那个分数根本不存在。本页只做两个分数相乘这一件事：不做加、减、除，也不处理写成「整数挨着分数」的带分数，那种数得先化成假分数。最后，答案是约到最简的，而两格因数的读数不一定：一个约分后的因数如果它自己的两个数还能约，照样会印出 2/2 这样的东西，那是读数在如实交代约分做了什么，不是答案算错了。

两个分数相乘怎么算？

分子乘分子、分母乘分母。2/3 乘 3/4 就是 (2 × 3) 分之 (3 × 4)，也就是 6/12，而 6/12 约成 1/2。与加法不同，这里不需要通分——这是分数乘法比加法省事的那一点。

什么是交叉约分？

相乘之前，先拿一个分子与斜对面的那个分母同除它们的最大公约数。在 2/3 乘 3/4 里，2 与 4 约、3 与另一个 3 约，剩下 1/1 乘 1/2——那已经就是答案。它能成立，是因为一个因数除以某个数、另一个因数乘以同一个数，两者抵消了。

哪两个数能约——横着的还是竖着的？

永远是斜着的：每个分子与另一个分数的分母。两个分子之间是相乘、不是约分，两个分母之间也一样。约错了对象得到的是错答案而不是没有答案，所以面板把两个约分后的因数也印出来。

必须交叉约分吗？

不必，本页两条路都给你看：6/12 与 1/2 是同一个数。交叉约分换来的是积到手就已经是最简，末尾不用再约一次——在 99/100 乘 100/99 上，捷径直接得到 1，而长路要先写出 9900 分之 9900。

分数乘整数能用吗？

能。把整数写成分母为 1 的形式——2 就是 2/1——然后就是一次普通的乘法。1/2 乘 2 就是 1/2 乘 2/1，两个 2 斜着约掉，答案是 1。整数不需要任何特殊规则。

负的分数怎么办？

符号属于分子，并且跟着它走。-2/3 乘 3/4 是 -1/2：-2 与 4 约完剩下 -1 与 2，所以负号在约分之后还在。分母自始至终是正的，正是这条约定让斜着配对没有歧义。

为什么有一格因数印成光秃秃的 1？

因为它被整个约掉了。当一个分子与斜对面的那个分母把公因数约干净时，剩下的是 1 分之 1，而分母为 1 时不写分母——与本页别处是同一条约定。光秃秃的 1 是一个被约掉的因数，不是读数缺失。

• Fraction（分数）——两个整数写成的商，带分子与分母，以及两个分数相乘的运算法则 — Wolfram MathWorld（美国）
• Reduced Fraction（最简分数）——分数的最简形式；本页的答案印成这个形式，而那行没约的积要约到的也正是它 — Wolfram MathWorld（美国）
• Greatest Common Divisor（最大公约数）——能同时整除两个给定整数的最大整数；相乘之前每一对斜线除的就是它 — Wolfram MathWorld（美国）
• Relatively Prime（互质）——除了 1 没有公因数的两个整数；斜着那一对互质时无事可约，读数原样穿过 — Wolfram MathWorld（美国）
• Improper Fraction（假分数）——分子不小于分母的分数；一个整数写成分母为 1 的分数时永远是这样 — Wolfram MathWorld（美国）