等值分数计算器
结果
等值分数（×2、×3…）
- 最简分数
- 1/3
- 小数写法
- 0.333333
等值分数计算器列出与所填分数相等的其他分数：填 1/3，它给出的前几个是 2/6、3/9、4/12。它们相等，是因为分子与分母同乘了一个相同的数——1/3 的上下同乘 2 得 2/6，同乘 3 得 3/9——每一份切小了、份数同时变多，值不变，就像把一个蛋糕的每一块都切成两半，块数翻倍而总量还是那一个蛋糕。要五个分数，用的就是 2、3、4、5、6 这五个倍数，所以「个数」管的是这一串有多长，与分母有几个无关。面板在这一串旁边回答同一个问题的另一半：这个数最简能写成什么样，以及它的小数写法。这三格要放在一起读，因为那一串是故意不约分的。写成 2/6 而不写成 1/3 正是这件事的意义所在——它们是同一个数的两种写法——若把每一项都约掉，面板上就会把同一个值印好几遍，反而把要看的东西藏起来。最简形式来自分子与分母同除它们的最大公因数，也就是能同时整除这两者的最大的那个数；已经最简的分数没有公因数可除，所以 1/3 的最简形式就是 1/3。那一串是从你填的那个写法往上乘的，不是从最简形式往上乘：2/6 与 1/3 的最简形式相同，两串却不一样，1/3 后面第一个是 2/6，2/6 后面第一个是 4/12。这是有意的——页面回答的是你实际问的那个写法，填 7/21 的人不该看到一串从 2/6 开始的数。它的用处有三类：找一个分数的其他写法；检验别人约分约得对不对（说 6/8 约成 3/4，那 3/4 那一串里就该有 6/8）；把两个分数通分后比较——2/3 与 3/5 不容易一眼看出大小，化成 10/15 与 9/15 却可以，而这正是分数加法也要做的那一步。两个输入都必须是整数，个数也有上限，因为整串是用精确的整数乘法算出来的，面板上每一个数都写成分数形式。小数是同一个值的第三种写法，所以它也被印出来，作为「这些分数到底哪里相同」的又一个证据。
常见分数与它们的等值分数
| 分数 | 等值分数 | 最简形式 |
|---|---|---|
| 1/2 | 2/4, 3/6, 4/8, 5/10 | 1/2 |
| 1/3 | 2/6, 3/9, 4/12, 5/15 | 1/3 |
| 3/4 | 6/8, 9/12, 12/16, 15/20 | 3/4 |
| 2/6 | 4/12, 6/18, 8/24, 10/30 | 1/3 |
| 6/4 | 12/8, 18/12, 24/16, 30/20 | 3/2 |
| 5/5 | 10/10, 15/15, 20/20, 25/25 | 1 |
| 0/3 | 0/6, 0/9, 0/12, 0/15 | 0 |
| -1/2 | -2/4, -3/6, -4/8, -5/10 | -1/2 |
八行都走同一个乘法，没有哪一行是特例。第一行是最简单的一例，1/2 二倍三倍地得到 2/4 与 3/6。第二行与第四行要放在一起看：1/3 与 2/6 是同一个数，最简形式都是 1/3，两串却不同——第二行从 2/6 起，第四行从 4/12 起，因为那一串是从你填的写法往上乘的。这就是为什么第二格不能从第一格看出来。第三行本来就最简，所以它的最简形式就是它自己。第五行比 1 大，最简形式也还是假分数：同乘一个数改变不了一个分数是不是大于 1。第六行上下能整除，面板把它印成 1 而不是 5/5，而那一串照旧带着分母——这一页看的就是写法。第七行的分子是 0，它的每一个等值分数都是 0；本页允许分子为 0，尽管比例为 0 的前项不行。最后一行是负分数，负号一路留在分子上：-2/4、-3/6，绝不会写成 2/-4。八行都取「个数」为 4，所以每一串一样长，可以直接比着看。
公式
等值分数 ＝ （分子 × k）÷（分母 × k），k 取 2、3、4… 直到比「个数」多一 最简形式 ＝ 分子与分母同除它们的最大公因数 小数写法 ＝ 分子 ÷ 分母
- 分数
- 你填的分子与分母。分母不能为 0；分数为负时，负号跟着分子。分子可以是 0，它的每一个等值分数也都是 0。
- 倍数 k
- 上下同乘的那个整数，从 2 起，一直到比「个数」多一：填 5 就是 2、3、4、5、6 这五个倍数。它不取 1，因为乘 1 得到的就是你填的那个分数本身。
- 等值分数
- 那一串里的一个：分子与分母各乘同一个 k。值没有变，变的是份的大小；这一串是照乘出来的样子印的，不约分，所以 2/6 就印成 2/6。
- 最简形式
- 同一个值用最小的分子与分母写出来，做法是把上下同除它们的最大公因数。本来就最简的分数，答案就是它自己；上下能整除的分数会印成整数，5/5 就是 1。
- 小数写法
- 分子除以分母，保留六位小数。它是同一个数的第三种写法，也是唯一一种一眼看不出两个分数相等的写法：1/3 与 2/6 都印成 0.333333。
第一类用处是分数本身的功课，要说的是一件事：一个值可以有很多个名字。填 2/6 看到 4/12、6/18、8/24，就看得出来约分改的是写法、不是那个数。第二类是检验：如果有人说 6/8 约成 3/4，那么 3/4 的那一串里就应该出现 6/8，不出现就说明两者本来就不是同一个数。第三类是通分比较大小，两个分数一旦分母相同就好判断了：2/3 与 3/5 不容易一眼看出谁大，10/15 与 9/15 却可以——这也是分数加法必须先做的那一步。第四类是要把分数写进指定的分母，比如十六分之一英寸、十二分之一小时，这时你需要看这个值在你实际使用的单位下是多少。如果分数本来就已经最简，面板会把它原样重复一遍，这本身就是「它还能不能约」的答案。
算例
1/3，要五个
- 1/3 的上下同乘 2：2/6
- 同乘 3：3/9；同乘 4：4/12
- 同乘 5：5/15；同乘 6：6/18——要五个，所以列五个
- 最简形式：1 与 3 没有公因数，答案还是 1/3
- 小数写法：1 ÷ 3 = 0.333333
默认值，也是最能说明「倍数为什么从 2 起」的一例：乘 1 会把 1/3 自己印在第一项，而它不是另一个分数。最简形式与输入相同，说明这个分数已经没法再约；小数是循环的，因为三分之一没有有限的十进制写法。
2/6，要三个
- 2/6 的上下同乘 2：4/12
- 同乘 3：6/18；同乘 4：8/24
- 最简形式：2 能整除上下，2/6 就是 1/3
- 小数写法：2 ÷ 6 = 0.333333，与 1 ÷ 3 同一个数
这一例解释了面板上第二格的意义。2/6 与 1/3 是同一个数，所以最简形式与小数写法都一样，两串却不同：这里第一项是 4/12，而 1/3 的那一串第一项是 2/6。本页是从你填的那个写法往上乘的，所以拿到哪一串，取决于你把同一个值写成了哪一种。
5/5，结果是整数
- 5/5 的上下同乘 2：10/10
- 同乘 3：15/15——要两个，所以列两个
- 最简形式：5 能整除上下，得 1
- 小数写法：5 ÷ 5 = 1
分母能整除分子的分数就是一个整数，面板把它印成 1，而不是 5/5，也不是把 5/5 约成 1/1。旁边那一串照旧带着分母，因为这一串要看的正是写法：10/10 与 15/15 是同一个值用更小的份写出来的样子。
6/4，比 1 大的分数
- 6/4 的上下同乘 2：12/8
- 同乘 3：18/12；同乘 4：24/16；同乘 5：30/20——要四个
- 最简形式：2 能整除上下，6/4 就是 3/2
- 小数写法：6 ÷ 4 = 1.5
值大于 1，答案是 3/2 而不是带分数，这样面板上每一个数都写成同一种形式。那一串也全是假分数，这是同乘一个数必然的结果：上下同乘改变不了这个分数是不是大于 1。
局限
两个输入都必须是整数，所以 0.75 不能直接填进来：先化成 3/4。理由是整串用精确的整数乘法算出来，一旦掺进小数就不再精确。分母有上界且不能为 0，分子也有上界，因为那一串的每一项都是一个乘积。个数有上限，而这比听起来要紧：分数会很快变大，像 7/21 这样的分数列到 20 项，后几项的分母就到几百了。那一串是从你填的写法往上乘的，不是从最简形式往上乘，所以同一个值的两种写法会给出两串不同的答案——这是选择不是疏漏，但它确实意味着输出取决于输入的写法。串里的项一律不约分，所以 6/18 会与 1/3 出现在同一块面板上；想要最小的分母，看第二格。结果一律写成分数，不写带分数；分数为负时负号在分子上。本页只列与一个分数相等的分数，不专门做化简：化简另有一页，它给出所用的约数与过程，本页只印结果。分数之间的四则运算与小数转分数这两件事本页都不做，它们各有一页。
常见问题
- 怎么找一个分数的等值分数？
- 把分子与分母同乘一个相同的整数。从 1/3 出发，上下同乘 2、3、4，得到 2/6、3/9、4/12，每一个都与 1/3 相等。反方向也成立：上下同除一个公因数，得到的分数与原来相等。
- 为什么那一串从 2/6 开始，不是从 1/3 开始？
- 因为乘 1 得到的就是你填的那个分数，拿它来比较没有意义。那一串是 2、3、4… 这些倍数，「个数」管的就是列几个。
- 为什么列出来的分数不约分？
- 约掉就会把同一个数印好几遍，与这一页要看的正好相反。2/6、3/9、4/12 都是 1/3，它们写成不同的样子，才看得出值没有变。你填的那个值的最简形式在面板上单独一格。
- 最简形式是什么？
- 同一个值用最小的分子与分母写出来，做法是上下同除它们的最大公因数。上下已经没有公因数时，这个分数就已经是最简，面板会把它原样重复一遍，1/3 就是这样。
- 它们的值都一样，小数写法也一样吗？
- 一样，这正是「相等」的意思：1/3、2/6、3/9、4/12 的小数写法都是 0.333333。小数是验证一串数是否等值最快的办法，也是最能藏住差别的一种读法——分数给出四个写法，小数只给出一个数。
- 可以填比 1 大的分数，或者负数吗？
- 都可以，而且它们在那一串里保持着原来的性质。6/4 的最简形式是 3/2，12/8、18/12 这些也都比 1 大。负分数的负号写在分子上，-1/2 列出的是 -2/4 与 -3/6。
- 能填小数吗？
- 不能。分子与分母都必须是整数，0.75 会被拒绝，请先化成 3/4。那一串是用精确的整数乘法算出来的，而一个小数的值一旦不能写成分母为 10 的幂的分数，这种精确性就没了。
参考资料
- Fraction（分数）——两个分数相等，指的是其中一个由另一个的分子分母同乘一个数得到；这正是本页反复做的那一步 — Wolfram MathWorld（美国）
- Reduced Fraction（既约分数）——分子与分母没有公因数的分数，也就是面板上第二格；而那一串是故意不写成的样子 — Wolfram MathWorld（美国）
- Greatest Common Divisor（最大公因数）——能同时整除两者的最大整数；最简形式就是上下同除它得来的 — Wolfram MathWorld（美国）
- Denominator（分母）——分数里横线下面那个数；两个分数要改写成分母相同的形式，先得在它上面取得一致 — Wolfram MathWorld（美国）
- 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022 年版）的通知——该通知的附件清单第 5 项是《义务教育数学课程标准（2022 年版）》；分数的意义、等值分数（分数的基本性质）与通分是义务教育阶段数学课程的内容，课标的原文与学段划分以该附件为准 — 中华人民共和国教育部