中程数计算器

中程数 = (最小值 + 最大值) / 2

最小值

这组数里最小的那个。只有它与最大值进入算式，所以中间那些数怎么变都不会影响结果

最大值

这组数里最大的那个。算之前值得先核对这两个极值，因为抄错一位数会直接落进结果里

中程数

两个极值的中点，单位与数据相同。它总是落在最小值与最大值之间；一组数只有一个观测值时，它与那个值重合

平均数

算术平均，印在中程数旁边作对照。两者的差距说明有多少数据偏离了两端的中间位置

两端本身就是主题的时候，中程数是最合适的汇总：一天里最高与最低气温的中点、一年里河流最高与最低水位的中点、一场比赛最好与最差成绩的中点、一个报价与一个要价的中点。这些场景里两个端点就是数据本身——你不是从更大的总体里抽样，而是在描述一个有两个端点的区间。数据内部要紧的时候它就不合适，因为它把两个点之外的全部丢掉，在任何真实样本上它的方差都比平均数和中位数大。它也不等于中位数：对于 2、4、4、4、5、5、7、9，中位数是 4.5 而中程数是 5.5，两者只在数据关于中心对称时才重合。手边只有一张最高最低值表、又只需要一个大概的中心位置时，它是最省事的选择——不需要再做任何计算。

1. 八个数的中程数是 5.5，平均数是 5

   1. 最小值是 2，最大值是 9
   2. 中程数 = (2 + 9) / 2 = 5.5
   3. 同一组数的平均数是 40 / 8 = 5——低了半个单位，因为八个数里有六个落在它或它以下

   两个数不一致，而这正是有用的地方。中程数只看得见这组数从 2 起、到 9 止；平均数还看得见数据是往小的那头挤的。两个都没错，它们回答的是不同的问题，一起印出来就能一眼看出：这组数是在两个端点之间铺得挺匀，还是偏向了一边。

2. 改动一个数：中程数涨了一倍还多

   1. 只把最大值从 9 改成 90，另外七个数与第一例完全相同
   2. 中程数 = (2 + 90) / 2 = 46
   3. 同一组数的平均数是 121 / 8 = 15.125，改动前是 5

   中程数移动了四十多个单位，平均数只移动了十个。极端值每变化一点，中程数就吃进一半，没有任何东西替它摊薄；平均数则把同样的变化分摊到每一个数上。如果你这组数据里有一个读数不可靠，中程数就会错掉那个误差的一半——这也正是它只该用在「两端就是重点」的场合的原因。

3. 跨过零点的气温

   1. 最冷的读数是 −10，最暖的是 40
   2. 中程数 = (−10 + 40) / 2 = 30 / 2 = 15
   3. 负数不需要特殊处理：它们是加在最大值上的，所以跨零点的数据与不跨零点的完全一样算

   气象服务报的「日中程温度」就是这个数：当天最低温与最高温的中点，而不是逐小时读数的平均值。这个约定值得知道，因为只要气温停留在区间某一端的时间更长，这两个数就会不一样。

中程数不稳健，而且原因是结构性的、不是程度问题：它由最远的两个点算出来，所以面对抄错的一位数字、仪器的一次抖动、一个确实异常的观测，它没有任何抵御能力。它通常只在「两端的行为本身才是重点」的场合才用。它也不是中位数——中位数是排序后落在中间的那个值，中程数是两端的中点，两者只在数据关于中心对称时才重合。一组数只有一个观测值时，中程数、平均数、最小值、最大值都是那一个数。列表上限 200 个数，而 1,500 这种写法会被直接拒绝而不是猜：「数字中间一个逗号」在一些国家是小数点，在另一些国家是千位分隔符。这一页不标记离群点：定义中程数的那两个极值，恰恰是这种规则要去检验的值。

中程数怎么算？

把最小的那个数与最大的那个数相加，再除以二：中程数 = (最小值 + 最大值) / 2。对 2、4、4、4、5、5、7、9 这组数就是 (2 + 9) / 2 = 5.5。其余的数一个都不参与，所以你不需要排序，只要找出两端——数据不多时扫一眼就够了。上面的计算器会把用到的最大值与最小值一起印出来，方便核对那一步加法。

中程数是一个位置量还是离散程度？

它是位置量——和平均数、中位数一样，用来说数据大致落在哪儿。它很容易被当成离散程度，因为定义它的那两个极值同时也是极差的定义者，而且两条公式只差一个运算：极差是最大值减最小值，中程数是（最大值加最小值）除以二。它们回答的是不同的问题：极差说这组数有多宽，中程数说它的中间在哪儿。权威来源把它列在位置量那一条清单里，而不在离散程度那一条里。

为什么说中程数不稳健？

因为它由样本里最远的两个值算出来，别的一概不算，所以这两个值里任何一个出错都会直接进结果，而且只被吸收掉一半。把例子里的 9 换成 90，中程数就从 5.5 跳到 46，而平均数只从 5 变成 15.125。这个敏感性在「两端就是你要测的东西」时是优点——比如当天最高最低气温；在其他场合就是负担。

中程数和中位数是一回事吗？

不是。中位数是排序后落在中间的那个值，八个数的中位数是第四、第五个的平均：(4 + 5) / 2 = 4.5。中程数是两端的中点：(2 + 9) / 2 = 5.5。两者只在数据关于中心对称时才相等，而它们的差距本身就有信息——这里中程数高于中位数，说明上半部分的数据离中心比下半部分更远。

什么场合真的会用中程数？

两个端点就是数据本身、而不是从更大总体里抽出来的样本的时候。气象里报当天最高最低温的那份摘要描述的正是中程数；制造业的公差检验也是——规格给了一个下限和一个上限，你要的是它们的中心。手边只记了极值的时候它也很好用：一张表上只有最便宜与最贵的报价，中程数就是那个区间的中点，不需要知道中间那些价格是多少。

所有数都相同、或者只有一个数时会怎样？

两种情况都算得出来，而且都给那个相同的值。只有一个数 42 时，最小值与最大值都是 42，于是中程数、平均数、最小值、最大值全是 42——这条算式本来就不需要第二个观测值。3、3、3、3 同理：两端相等，中程数是 3。这里没有「至少几个数」的限制，与方差和标准差不同，那两个要除数、因此需要不止一个观测。

• Measures of Location — NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.1（把中程数列在备选的位置量里，写作 (smallest + largest)/2；并指出它由两个最远的点决定、因此不稳健，通常只在两端本身有意义时使用） — National Institute of Standards and Technology（美国国家标准与技术研究院）
• Measures of Scale — NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.6（同一手册里离散程度的清单，中程数不在其中——这一页把它当位置量的依据） — National Institute of Standards and Technology（美国国家标准与技术研究院）
• GB/T 3358.1-2009 统计学词汇及符号 第 1 部分：一般统计术语与用于概率的术语（覆盖位置统计量的术语标准；记录页注明不提供在线全文） — 国家市场监督管理总局