极差计算器

极差 = 最大值 − 最小值

最大值

这组数里最大的那个值。整组数里只有它与最小值参与计算，所以两点之间的数怎么打乱都不影响答案

最小值

这组数里最小的那个值。它与最大值一起框出整个跨度，这也是极差被称作「只由极端值决定」的原因

极差

装得下全部数据的那个区间的宽度，单位与数据相同。它不会是负数，而当且仅当每一个数都相同时它等于 0

n

这组数有几个，本站上限 200 个。它对答案没有任何影响——印出来只是让你确认整组数据都被读进去了

只要一行就能说清跨度、而且两端本身就是重点的时候，就用极差：一天里最高与最低气温的差、同一件东西最贵与最便宜的报价之差、一场比赛里最好与最差成绩的差。它也是一些只看两端的场景里最诚实的汇总，比如公差检验——轴要么落在允许区间里，要么不落。中间那段数据要紧的时候它就不合适了。因为它只取两个值、把其余全丢掉，一个离群的读数造成的移动与整组数据真实发生的位移一样大，标准差与四分位距正是为这件事而存在的：那两个量把影响摊到更多数据上，长尾数据里也照样能用。极差与平均数并排出现通常是个警告信号（除非数据很少），而与最大值、最小值并排出现，就像上面那样，只是把两端描述了一遍。

1. 八个数的极差是 7

   1. 排序：2、4、4、4、5、5、7、9——最小值是 2，最大值是 9
   2. 极差 = 9 − 2 = 7
   3. 中间那六个数（4、4、4、5、5、7）完全没有参与计算

   这八个数其实都挤在中间三个单位之内，极差却报出 7，因为它量的是整个跨度，不是挤在一起的那一段。「这组数铺得多开」与「这些数挨得多紧」之间的这道缝隙，正是通常还要再报一个离散程度的原因。

2. 只挪动一个数：极差跳到 88

   1. 只把最大值从 9 改成 90，另外七个数与第一例完全相同
   2. 极差 = 90 − 2 = 88
   3. 同一组数的样本标准差是 30.2864，改动前是 2.1381

   两个量都涨了，但涨的原因不同。极差正好移动了那个极端值移动的距离，因为决定它的就是两端那两个点，别的一概不算。标准差被八个数分摊，所以同样一次改动被另外七个数吸收、摊薄了。一个数抄错一位，就足以让极差失去意义；要让标准差动到那个程度，得是数据本身真的变了。

3. 带负数与小数的一组

   1. 最小值是 −5，最大值是 10——负号是数值的一部分，所以跨度要跨过 0
   2. 极差 = 10 − (−5) = 10 + 5 = 15
   3. 负数与正数完全一样处理：减去最小值等于加上它的绝对值，两个负号抵消掉了

   减去一个负数是最容易手算出错的一步，而数据跨过 0 的时候答案会明显比两个端点都大。零下的气温、海平面以下的海拔、账户余额，都是同一回事。

极差只用到整组数据里的两个数，所以一个极端的读数就能完全决定它：一次打错字、一次仪器抖动、一个确实异常的日子，这个数就按误差的全额移动。它对数据中间那一段也一无所知，而多数数值通常正落在那里——最小值和最大值相同的两组数据，可以铺得很均匀，也可以全挤成一堆，极差分不出来。跨数据集比较极差只在单位可比、样本量也大致相当的时候才有意义，因为样本越大越容易撞上一个极端值。列表上限 200 个数，而 1,500 这种写法会被直接拒绝而不是猜：「数字中间一个逗号」在一些国家是小数点，在另一些国家是千位分隔符。这一页不标记离群点：极差恰恰是最不该用来做这件事的量，因为它的定义本身就建立在你要检验的那些极端值上。

极差怎么算？

找出这组数里最大的那个和最小的那个，然后相减：极差 = 最大值 − 最小值。对 2、4、4、4、5、5、7、9 这组数就是 9 − 2 = 7。其余的数一个都不参与，所以你既不必排序，也不必先数一共有几个——只是数据多的时候，排一下序是找出两端最稳妥的办法。上面的计算器照你粘贴进去的数字直接算，并把最大值与最小值一起印出来，方便核对那一步减法。

为什么一个数就能把极差带偏？

因为它的定义只用到最远的两个点，其余全部忽略。把上面例子里的 9 换成 90，极差就从 7 变成 88——涨了 81，正好是那个数移动的距离。同一组数据的样本标准差只是从 2.1381 涨到 30.2864，因为八个数各占一份。这不是公式的缺陷，这正是「这组数铺了多宽」这句话的意思。但它意味着报极差时应当一并说明这组数有多少个。

极差和四分位距是一回事吗？

不是，两者回答的是不同的问题。极差是数据的整个宽度，从最小值到最大值。四分位距是中间那一半的宽度，从第一四分位数到第三四分位数。四分位距有意对尾部不敏感，极差有意对尾部敏感，所以两个都报出来，读者就用两个数同时拿到了整体宽度与中间密集区的宽度。只能报一个的时候，先问问自己：这组数据里那个极端的读数是真有意义，还是一个错误？

极差和「样本还是总体」有关系吗？

没有关系，这也正是这一页没有那个下拉框的原因。那个选择只影响要除数的量——方差与标准差——因为它们的分母在样本与总体之间不同。极差是一次减法，没有分母可以分歧。方差与标准差那两页都带那个下拉框；放在这一页什么都不会改变，反而会让人以为它改变了什么。

极差会是负数或者 0 吗？

永远不会是负数：最大值按定义不会小于最小值，所以相减的结果是 0 或者正数。当且仅当每一个数都相同时它等于 0，其中也包括只有一个数的情况——那时最大值与最小值都是那个数，极差为 0。这里的 0 是算得出来的真答案，不是失败信号，它说的是这组数据完全没有离散。一个数也照样能算，因为这条算式本来就不需要第二个观测值。

这一页会告诉我哪些数是离群值吗？

不会。判断可疑离群点的通行规则是建立在四分位距之上的——某个值比第一四分位数低出 1.5 × IQR 以上，或者比第三四分位数高出 1.5 × IQR 以上——那是一个单独的计算器。用极差来做这件事会陷入循环：极差正是由你要检验的那些极端值定义的，任何一组数据的最小值与最大值按定义就是它最极端的两个点。这一页只描述这组数有多宽，判断留给为判断而做的那个工具。

• Measures of Scale — NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.6（把极差定义为最大值减最小值，并指出数据中心附近的离散程度完全没有被它捕捉到） — National Institute of Standards and Technology（美国国家标准与技术研究院）
• GB/T 3358.1-2009 统计学词汇及符号 第 1 部分：一般统计术语与用于概率的术语（覆盖极差及其他离散程度的术语标准；记录页注明不提供在线全文） — 国家市场监督管理总局