四分位数计算器

Q1 = 位置 (n − 1) × 0.25 上的值，Q2 取 0.5，Q3 取 0.75（位置夹在两个观测值之间时插值）；四分位距 = Q3 − Q1

xᵢ

数据集里的一个值。四分位数用的是排序后的位置，所以起作用的是值的次序而不是大小——一个极端读数只会把外侧的两个标记挪动一点，中间一半几乎不动

n

这组数有几个，本页最多 200 个。位置从 0 开始数，最后一个位置是 n − 1，三个四分位数的位置就分布在这段范围里

Q1

第一四分位数，约有 25% 的数据在它及以下。它标记排序后最下面四分之一到哪里为止，而不一定是你数据里出现过的某个值

Q2

第二四分位数，就是中位数：一半数据在它及以下。印在这里是为了对照，专门的中位数那一页用同一条规则算出同一个数

Q3

第三四分位数，约有 75% 的数据在它及以下。它与 Q1 一起框出中间一半的数据——箱线图上那个盒子画的就是这一段

IQR

四分位距，即 Q3 − Q1，中间一半数据的跨度。它与数据同单位，而且和标准差不同：它完全不管外侧的两个四分之一，所以几乎不受离群值影响

当数据偏态、有离群值，或者所用的尺度加总起来没有意义时，四分位数才是合适的概括——收入、房价、响应时间、考试分数都是这样。平均数与标准差描述的是对称的钟形分布，而五数概括不假定任何形状：中位数说中心在哪，Q1 与 Q3 说中间一半铺开多宽，最小值与最大值框住全部。四分位距是中位数的常规搭档，理由与标准差配平均数一样，而且想报一个不会被单个离谱读数抬高的离散程度时，人们报的就是它。它同时是箱线图与 1.5 × IQR 判据的基础——围栏在这里给出，判定离群点则是另一件事。能画直方图时就把两者放在一起看：四个切点看不出数据是不是有两个鼓包，而双峰的数据完全可以给出一份平平无奇的五数概括。

1. 八个数：Q1 = 4、Q3 = 5.5、四分位距 1.5

   1. 排序：2、4、4、4、5、5、7、9——8 个数，所以 n − 1 = 7
   2. Q1：位置 7 × 0.25 = 1.75，夹在位置 1 的 4 与位置 2 的 4 之间，所以 Q1 = 4
   3. Q2：位置 7 × 0.50 = 3.5，夹在 4 与 5 之间，所以 Q2 = 4.5——与中位数那一页报的同一个数
   4. Q3：位置 7 × 0.75 = 5.25，夹在位置 5 的 5 与位置 6 的 7 之间：5 + 0.25 × 2 = 5.5
   5. 四分位距：5.5 − 4 = 1.5，也就是中间一半数据跨度为 1.5

   这里中间一半是 4 到 5.5 那四个值，四分位距就是这个带宽。注意 Q1 正好落在一个数据点上，而 Q3 没有：四分位数是否与观测值重合完全取决于数据个数，五数概括描述的是位置，不是数据里的某个子集。

2. 四个数：三个四分位数全都靠插值

   1. 排序：1、2、3、4——4 个数，所以 n − 1 = 3
   2. Q1：位置 3 × 0.25 = 0.75，从 1 往 2 走四分之三，所以 Q1 = 1.75
   3. Q2：位置 3 × 0.50 = 1.5，在 2 与 3 正中，所以 Q2 = 2.5
   4. Q3：位置 3 × 0.75 = 2.25，从 3 往 4 走四分之一，所以 Q3 = 3.25
   5. 四分位距：3.25 − 1.75 = 1.5

   这一组正是两种约定分道扬镳的地方，所以值得知道另一种算法给出什么。OpenStax 以及不少教材用的「对半法」把数据从中位数切开，各取一半的中间值：下半部分是 1 与 2，所以 Q1 = 1.5；上半部分是 3 与 4，所以 Q3 = 3.5，四分位距变成 2。这一页采用相邻观测值之间的插值，也就是 R 与 NumPy 的默认口径，并且把 Q1 与 Q3 印出来，用的是哪一套一眼可见。

3. 教材自己那 14 个数，按另一套约定算是多少

   1. 排序：1、1、2、2、4、6、6.8、7.2、8、8.3、9、10、10、11.5——14 个数，所以 n − 1 = 13
   2. Q2：位置 13 × 0.50 = 6.5，在 6.8 与 7.2 正中，所以 Q2 = 7——与教材报的中位数完全相同
   3. Q1：位置 13 × 0.25 = 3.25，从位置 3 的 2 往位置 4 的 4 走四分之一，所以 Q1 = 2.5
   4. Q3：位置 13 × 0.75 = 9.75，从 8.3 往 9 走四分之三，所以 Q3 = 8.825
   5. 四分位距：8.825 − 2.5 = 6.325

   同样这 14 个数出现在 OpenStax 讲数据位置的章节里，那一节用对半法，给出的是 Q1 = 2、Q3 = 9、四分位距 7。两个答案都来自有据可查、可以讲解的规则，差别只在于如何在同样的观测值之间插值。中位数则分毫不差——这一点让人安心：无论用哪套约定，一组数据的中间就是这组数据的中间。

四个切点本身描述不了分布的形态。两组数据可以每一个四分位数都相同，样子却完全两样——一组紧紧挤在一起，一组有两个鼓包——所以形状要紧时，五数概括要配上直方图一起读。四分位数还是约定而不是事实：这一页按 Hyndman–Fan type 7 在相邻观测值之间插值，而许多教材用的对半法在数据个数不是 4 的倍数时都会给出不同的数。数据个数还有另一层影响：少于 4 个数时每一个四分位数都是插出来的，而只有一个数时五个数全都是它、四分位距为 0，因为根本没有可测的离散。列表上限 200 个数；像 1,500 这样的写法会被拒收而不是替读者猜，因为夹在数字中间的逗号在有些国家是小数点、在另一些国家是千分位。这一页不判定离群点：1.5 × IQR 是通行的围栏规则，套用它属于另一个工具的活。

四分位数怎么算？

先排序，再读三个位置：(n − 1) × 0.25 是 Q1，(n − 1) × 0.50 是 Q2，(n − 1) × 0.75 是 Q3，位置夹在两个值之间时做插值。8 个数的三个位置分别是 1.75、3.5、5.25，得到 Q1 = 4、Q2 = 4.5、Q3 = 5.5。四分位距就是 Q3 − Q1，这里是 1.5。三个四分位数连同最小值、最大值都印在面板上，整份概括在一屏之内。

为什么我算的 Q1 与别的计算器不一样？

因为四分位数是约定而不是事实，而两种常见约定在数据个数不是 4 的倍数时都会给出不同的答案。这一页在相邻观测值之间插值，用的是 Hyndman–Fan type 7，也就是 R 与 NumPy 的默认口径。OpenStax 等不少教材先把数据从中位数切成两半、再各取一半的中间值：对着它自己那 14 个数，那样算出 Q1 = 2、Q3 = 9，而这一页给的是 2.5 与 8.825。两套规则都有出处。Q2（中位数）在两种算法下完全相同。

四分位距说明什么？

它是中间一半数据的宽度，也就是落在 Q1 与 Q3 之间的那 50% 数据跨了多远。它与你的数据同单位：四分位距是 1.5，就说明中间一半跨度是 1.5 个你正在测的东西。因为它丢掉了最高的和最低的四分之一，一个极端读数几乎推不动它，所以它常与中位数一起报。四分位距为 0 意味着中间一半是同一个重复的值——一半以上的数据完全相同——而不是哪里出错了。

五数概括指的是哪五个数？

最小值、Q1、中位数、Q3、最大值，通常就按这个顺序写，也就是这一页印出来的那五个。它是不假定任何分布形状就能描述一组数据的方式，而箱线图画的就是它：从 Q1 到 Q3 一个盒子、盒子里一条中位线，再往外引出两条须到极值。放在最上面的四分位距不属于这五个数，它是 Q3 − Q1，也就是盒子的宽度。

四分位数可以不是我数据里的值吗？

可以，而且数据少的时候往往不是。四分位数是数据刻度上的一个位置，所以 1、2、3、4 这四个数的第一四分位数是 1.75 很正常，尽管列表里没有 1.75。位置正好是整数时，四分位数才与某个观测值重合。两种情形旁边都印着数据个数，看的是哪一种一目了然。

这一页会判定离群点吗？

不会。它给出四分位距，而那正是通行判据的输入：某个值低于 Q1 达 1.5 × IQR 以上，或高于 Q3 达 1.5 × IQR 以上，就被当作可疑的离群点。把这道围栏单独交给另一个工具，是为了让这一页老老实实描述数据，而不是替读者决定该丢掉哪些点。对上面那八个数，1.5 × IQR 是 2.25，围栏从 1.75 到 7.75。

• GB/T 3358.1-2009《统计学词汇及符号 第1部分：一般统计术语与用于概率的术语》（推荐性国家标准，现行：2009-10-15 发布 / 2010-02-01 实施，采标；该站注明因涉及国际版权不提供在线阅读，全文需另寻） — 国家市场监督管理总局 国家标准全文公开系统
• Measures of the Location of the Data — Introductory Statistics 2e, section 2.3（四分位数与四分位距「中间一半」的定义，并完整演算了那 14 个数；该节用的是对半法，与这一页的插值口径不同） — OpenStax（莱斯大学）
• quantile — R stats 包参考文档（列出九种分位数类型，type 7 是默认值，也是这一页三个四分位数共用的口径） — R 项目（The R Project for Statistical Computing）
• numpy.quantile — NumPy 参考文档（method 默认取 linear，插值方式与这一页相同） — NumPy