加速度大小计算器

|a| = √(aₓ² + a_y² + a_z²)

aₓ

加速度的 x 分量，单位米每二次方秒，下拉框里也有 ft/s² 与标准重力。符号表达的是方向而不是大小，所以负数是最普通不过的输入，意思是这一条轴上的加速度指反了。只有 z 那一格可以留空，x 与 y 是页面必须要的两个

a_y

y 分量，单位与符号规则同上。它和另外两个一样是平方之后进式子的，所以三条轴的先后顺序不影响任何东西——把整个图形绕 z 轴转一圈，三个分量都变了，而大小不变。正是这条性质让它成为一个矢量的大小，而不是某种随便的组合

a_z

z 分量，它是选填的：留空时页面把它当成二维问题处理，效果与填 0 相同。它在这里是因为真实的加速度并不总是躺在一个平面里——弯道上的车、离手的球、任何三轴加速度计测出来的东西都有三个分量。默认取 0，是为了让首屏停在平面问题上

|a|

加速度的大小，同时给出 m/s² 与标准重力的倍数。它是加速度这个矢量的长度，永远不可能为负，因为加法之前每一个符号都被平方消掉了。第二行是同一个数除以 9.80665，也就是重力加速度的定义值——它是同一个结果的第二种写法，不是第二个结果，之所以要有它，是因为 30 m/s² 对多数人的直观不如 3 g

当您手上是拆成分量的加速度、要的是它有多大时，用这一页：三轴加速度计的三路输出、弯道上的车（它的加速度同时有横向与竖直两部分）、既不处在最高点也不处在最低点的抛体，或者仿真给出一串分量、要拿它跟一个实测值核对。要判断一个加速度算不算大，也该用这一页——第二行把它换成 g，而 g 这个单位才让 30 m/s² 与站着不动的 1 g 变得可比。两件事要记住。第一，几个矢量分量之间必须两两垂直、而且用同一个单位；这是求一个矢量的大小，不是把碰巧列在一起的三个加速度合起来的方法。第二，页面不会告诉您加速度指向哪边，而那件事在平面里两个分量就够了、角就是它们的反正切；三维的方向要两个角，没有哪个单个数可以印出来。把同一套操作作用在速度矢量上的是另一页，因为算法一模一样，只是量不同。

1. 默认值：3、4、0，一组 3-4-5

   1. 先平方：3² = 9，4² = 16，0² = 0
   2. 相加：9 + 16 + 0 = 25
   3. 开根号：√25 = 5
   4. 所以大小正好是 5 m/s²，而 z 分量为零，一点都没参与
   5. 换成标准重力：5 ÷ 9.80665 = 0.510，页面印成 0.51 g

   这里的每一步都能心算，而默认值取这三个数就是为了这个：9 加 16 是 25，25 开根号是 5，不用计算器也没有取整。请注意没有发生的那件事——三个分量并没有相加得 7。那是这一页最常见的错法，而值得看清它错在哪里、而不只是『跟另一种约定不同』：一个沿 y 的分量对 x 方向上的长度毫无贡献，所以两者必须按直角关系合成，平方再开根号做的就是这件事。

2. 真正的三维：1、2、2

   1. 先平方：1² = 1，2² = 4，2² = 4
   2. 相加：1 + 4 + 4 = 9
   3. 开根号：√9 = 3
   4. 大小 3 m/s²，三个分量都参与了
   5. 换成标准重力：3 ÷ 9.80665 = 0.306 g

   z 分量是这一行与上一条的区别，而它也正是用来抓那种悄悄忽略 z 的实现的：漏掉 z 会得到 √5 = 2.236，低了四分之一，而印在屏幕上看起来完全合理。它同时是那几组需要三条轴的整数解里最小的一组：1-2-2 的平方和是 9，开根号得 3；同一族里 2-3-6 得 7、3-4-12 得 13。这一族并不短——1-4-8 得 9、6-10-15 得 19 都落在同一个范围里——所以要带走的是那个形状而不是那几组数：任意一组整倍放大都还在这一族里，1-2-2 乘 2 是 2-4-4，而大小也跟着乘 2。一个有用的习惯是拿答案与最大的那个分量对照：大小永远不会小于三个分量里最大的那个，这里 3 对最大的分量 2，是令人放心的。

3. 符号混在一起：3、−4、12

   1. 先平方：3² = 9，(−4)² = 16，12² = 144——负号在这一步就没了
   2. 相加：9 + 16 = 25，再加 144 得 169
   3. 开根号：√169 = 13
   4. 大小 13 m/s²，与 3、4、12 那一组完全相同
   5. 换成标准重力：13 ÷ 9.80665 = 1.326 g

   负的那个分量是这一行的重点，加法的顺序也是：9 加 16 得 25，25 加 144 得 169，而 169 是 13 的平方。分两步而不是一步做完，正是这条式子的意思——先把前两个分量用勾股定理合成，再把那个结果与第三个按直角关系合成。负号消失不是代码里特判出来的，是平方自动做到的，这也是这一页敢收负输入、而且永远不会给出负答案的原因。

大小只是矢量的一部分，丢掉方向就丢掉了真实的信息：以 1 g 向上加速的物体与以 1 g 横向加速的物体在这一页是同一个数，而行为完全不同；一辆以 1 g 过弯的车与一辆以 1 g 刹车的车也不是一回事。这一页对此一个字都不说。这条式子还要求三个分量两两垂直、单位相同、而且取自同一时刻——来自两套坐标系、或者来自两个不同时刻的分量，合成出来的数看着没问题，其实什么也不代表。它也不专属于加速度：把三个速度分量填进来它照样算，而那个答案也是对的，这一点值得知道，因为它意味着这套算术并不能反过来验证您填对了量。g 那一行是一次换算而不是一道门槛，所以它不包含『这个值能不能扛住』的判断；那个界限属于场合与持续时间，不属于这个数。最后，z 可以留空意味着『二维问题』与『恰好在一个平面上的三维问题』在屏幕上分不出来，这在这里无害，但如果您要把输入抄进一份报告，值得记住这一点。

加速度大小的公式是什么？

|a| = √(aₓ² + a_y² + a_z²)：把每个分量平方，把平方相加，再开根号。平面里两个分量是 3 与 4 时，就是 √(9 + 16) = √25 = 5 m/s²。它是勾股定理用了两次，因为三条轴两两垂直——大小就是这几个分量张成的那个长方体的对角线长度。结果永远不会是负数，因为加法之前每个分量的符号都被平方消掉了。

为什么不能把三个分量直接相加？

因为它们指向不同的方向。一个沿 y 的分量对加速度在 x 方向上伸出多远毫无贡献，而直接相加等于把两个互相垂直的量当成排在同一条直线上。两个分量是 3 与 4 时，直接相加得 7，而真正的大小是 5，这个误差不小——这里错了百分之四十，而且随着两个分量越来越不相等还会更大。唯一相加就对的场合是除了一个分量之外全是零，而那算不上什么场合：它意味着加速度本来就沿着一条轴。

页面为什么不给出加速度的方向？

因为三维里的方向要两个角，而这一页只能印一个数。平面里能用的那个角是两个分量的反正切，但它是按投影量的，当加速度完全沿 z 轴时就变得没有定义——xy 平面里压根没有方向可报，就像北极点上没有经度一样。最省事的偷懒做法是让那种情形返回零，可那会印出一行『方向 0 度』，读起来就是沿 x 轴，而那是彻头彻尾的错。反过来拒绝回答也不行：那会把『竖直方向的加速度有多大』这个完全正当的问题变成一句报错。所以页面只给大小；平面问题里要方向，请自己算那两个分量的反正切。

分量可以是负数吗？

可以，而且在这一页里它们经常是负数，因为负分量表示加速度在这一条轴上指向反面，而不是表示它更小。平方会把符号消掉，所以 3、−4、12 与 3、4、12 给出同样的 13 m/s²——矢量的大小并不在意它指向哪边。这也是答案永远为负不了的原因，同时也说明结果正好为 0 是一个真实的答案而不是错误：它表示这个物体根本没有在加速，而那是对匀速运动的一个完整描述。

z 分量必须填吗？

不必。留空就当成零，问题随之变成二维的，而这对任何发生在一个平面里的事情都是对的——平路上的车、桌面上的冰球、通常理想化处理下的抛体。真正有第三个分量的时候才填：弯道上的车、斜着抛出的球，或者三轴加速度计的原始输出——它永远有三个数，无论第三个数重不重要。默认取 0，所以页面打开时是一个平面问题，需要第三条轴的时候再加上去。

g 那一行是做什么用的？

它是同一个大小除以 9.80665 m/s²，也就是标准重力的定义值，于是加速度可以写成 g 的倍数。这一行之所以在，是因为 g 才是人们真正有感觉的单位：30 m/s² 单独看没什么意义，而 3 g 一看就是过山车，0.1 g 读起来就是电梯启动。它也是换算成力的那一行：n 个 g 的加速度意味着托住您的那个东西必须用 n 倍体重去推，所以 10 g 对人的意义是一道极限而不是一件趣闻。话虽如此，它是同一个结果的第二种写法，不是第二个结果，也不包含『这个值算不算大』的判断——0.1 g 与 30 g 在各自的场合里都很普通，而一个加速度人能不能受得了，既取决于它持续多久，也取决于它有多大。

• GB/T 3102.3-1993《力学的量和单位》（等效采用 ISO 31-3:1992；加速度的单位为 m/s²、标准重力加速度的定义值为 9.80665 m/s²——这一页三个输入与两个输出的单位口径） — 国家市场监督管理总局 国家标准全文公开系统
• Euclidean vector（英文原文）——大小即矢量的模、分量的符号表示方向而不是大小，以及为什么三维里的方向要两个角 — Wikipedia