从小到大排序计算器

7；−3；12.5；0；−10；4 ⇒ −10、−3、0、4、7、12.5；最小 ＝ −10，最大 ＝ 12.5

n

这一串数有几个——1 到 200 之间。1 是收的，给出只有一项的清单，而这是真的正确而不是退化情形：单个数字本来就是升序的，而且它同时是这组数里最小与最大的那个

a ≤ b

排序所依赖的那次比较，也是它正确性的全部。这是一次数值比较，所以 −10 ≤ −3 与 9 ≤ 10 都成立。按文本比则会把 −10 排在 −3 前面（碰巧对了），也会把 10 排在 9 前面（同一个碰巧错了），因为它从左往右逐字符比，比的是字符而不是值

−10, −3, 0, 4, 7, 12.5

排好的输出，同时也是输入的一个排列——六个值进去、六个值出来、还是那六个。这是你怀疑结果时该核对的那条不变量：个数要对得上，而且你放进去的每个值出现的次数要与放进去时一样。这一页不添加、不删除、也不合并任何数

最小 ＝ −10

排好那一串的第一个元素，是从它上面取的，不是另扫一遍找出来的。在数轴上它是最左边那个点。它不等于输入里「看起来最小」的那一项：−10 看起来比 −3 短，而它是更小的数

最大 ＝ 12.5

排好那一串的最后一个元素，同样是读出来的而不是搜出来的。它与最小值之间的差就是极差，那是唯一一个只要有这两个输出就够了的统计量——range-calculator 算的正是这一对

3, 5, 5

重复项会怎样。输入 5、5、3 排出来是 3、5、5——那个重复活着。去掉它看起来会更整洁，却会破坏上面那条不变量，而且会悄悄改掉任何关于「一共有几个值」的问题的答案，中位数就在其中

读中位数是排序最常见的理由：中位数是排序后正中间那个值，个数为偶数时取中间两个的平均，而这两件事在没排序的串上根本读不出来。四分位数与百分位数也一样，它们是由在排序里的位置定义的。第二种用法是极差，它就是最大值减最小值，而这一页直接把那两个数印出来——如果你要的只是那个差，range-calculator 做减法。第三种是普通人最朴素的用法：从表格里贴过来的一列测量值、价格、年龄或成绩，排好之后好读得多，因为极值跳出来了、聚集也看得见了。这也是为什么排序是画图前的第一件事——频数统计与直方图都从它开始。第四种用法是核对你手里那个软件的排序。当一列数据被格式化成奇怪的样子时，按文本而不是按数值排序是表格软件里常见的错误，症状恰是上面描述的那个——10 在 9 前面，或者 12.5 在 4 前面。如果一列排好的数看着不对劲，把同一批值放进这一页跑一遍，就知道两者之中是哪一个读错了输入。排好之后，描述统计那几页接手：median-calculator 读中间，range-calculator 读两头，quartile-calculator 读四分之一位置，而 average-calculator 读平均值——它是这几个里唯一不在乎顺序的。

1. 正负混杂加一个小数：7; −3; 12.5; 0; −10; 4

   1. 先找最小的值：−10 比这一串里任何数都靠左
   2. 接着是次小的 −3，然后是 0，然后是 4，然后是 7
   3. 12.5 最大，排在最后
   4. 排好的串是 −10、−3、0、4、7、12.5，它的两头就是最小值与最大值

   这一页的默认输入，而且是有意挑得别扭的一个：它有两个负数、一个正小数和一个零，一次把两个坑都踩到。注意 −10 排在第一位，尽管 −3 才是看着更长的那个；以及 12.5 排在 7 后面，尽管 12.5 和 1 打头。按文本排这些会得到 −10、−3、0、12.5、4、7——负数那一头碰巧看着是对的，而小数落错了地方。

2. 个位数藏不住的那个坑：9; 10; 100; 2

   1. 按值比，不按第一位比：2 比 9 小
   2. 10 比 9 大但比 100 小
   3. 顺序是 2、9、10、100
   4. 最小的是 2，最大的是 100

   四个短数、全是正的，也是能抓住文本排序的那一串。按字符串比会把 10 排在最前、2 排在最后，因为比较在第一个字符上就停了：1 在 2 前面，2 在 9 前面。正确的顺序来自比较值，而出错的迹象是结果看着不像一条数轴——没有任何一种数字的排法能让 10 坐在 2 前面。这一格值得用来测任何排序代码，因为一串个位数两种做法都对。

3. 负数的另一个方向：−5; −20; −3

   1. 在数轴上，−20 是这三个里最靠左的
   2. −5 在它右边，而 −3 是三个里最靠右的
   3. 所以升序是 −20、−5、−3
   4. 最小值是 −20——这一串里数字看着最大的那个

   上一个算例的镜像，也是抓住读者而不是抓住代码的那一格。−20 是三个里最小的，尽管它的数字最大，因为在线上越靠左就越小。按文本排恰好会把这一格排对——字符串 −20 确实在 −5 前面——所以负数这一档是文本排序看着正确的地方，而正的多位数那一档才是它崩掉的地方。两格合起来把两个方向都盖住了，这也是它们都在这里的原因。

这一串收 1 到 200 个数，可以用逗号、分号或空格分隔，三种也可以混用。两百是这一页愿意收多长一串的上界，不是性能护栏——更长的串不是慢，而是被拒绝，因为这么长的输入框已经没法编辑、答案也没法读了。数可以是负的、可以带小数、可以是零，重复项保留而不是去掉。千分位分隔符不认识：逗号后面跟一个空格才是分隔，而夹在两位数字之间、后面不带空格的逗号按小数点读（1,5 就是一点五）。1,500 这种形状两者都不是，1500 还是 1.5 判不了，所以会被直接拒收、不去猜——从表格里贴过来的、大数带分组的那一列是被拒绝的，不会被悄悄读错。贴之前先把分隔符去掉。指数记法也不认识，所以 1e5 是拒绝而不是读成 100000。输出是每个值的规范拼写，而不是你输入的逐字复制：12.50 印成 12.5、+7 印成 7、−0 印成 0。极大的值在输出里会改用指数记法，从 10²¹ 起，那是数字转字符串自己换记法的位置；要压平它就得再写一套数字打印机，而这一页没有。这一页没有参考表：表是用来展示一个结果落在哪一档的，而排序没有档。只提供升序一个方向——要降序，把输出从右往左读即可。

一串数里既有负数又有小数，怎么排？

贴进来让这一页排——分隔符可以是逗号、分号或空格，三种也能混用。负数与小数都不改变规则，规则只有一条：越小的数越靠左。唯一要当心的是 −20 比 −3 小，尽管它的数字更多；以及 12.5 比 4 大，尽管它以 1 打头。按值而不是按数字的文本去比，就是这里正确性的全部。

我输入这些数的顺序有影响吗？

完全没有——你给什么这一页就排什么，同一组数无论以什么顺序进来，输出的都是同一个结果。这正是结果可以核对的原因：排一遍，再排一遍，输出一模一样，因为一组确定的数只有一种升序。输入的形状唯一残留的地方是重复项，因为 5、5、3 与 3、5、5 排出来都是 3、5、5。

重复的数会被去掉吗？

不会，这是有意的。输出是输入换了顺序，所以它必须恰好装着你给的那些数，每个出现你给它那么多次。去掉重复是另一件事——那叫去重，它会改变关于这一串的每一个问题的答案，包括一共有几个值、中位数是多少。如果你要的是一串互不相同的值，那是另一步，而且那一步应该是看得见的。

为什么 12.50 回来变成了 12.5？

因为末尾的零不是值的一部分，而这一页印的是每个数的规范拼写，不是照抄你输入的样子。同一个归一化会把 +7 变成 7、把 −0 变成 0。这是输出唯一一处不完全等于输入的地方；如果你那些数的写法本身带有含义，这件事就值得知道——比如金额，12.50 与 12.5 在人眼里读起来是不一样的，尽管它们是同一个数。

能不能按从大到小排？

这一页给的是升序，而降序就是把同一个输出从右往左读——没有额外要算的东西，因为把一个排好的串倒过来立刻就得到逆序。这一页只提供这一个方向，是因为下游每一个统计量要的都是它：中位数、四分位数与极差全都是从升序那串定义的，给一个降序的反而要先倒回来才能读。

为什么我从表格里贴过来的一列被拒绝了？

几乎一定是千分位分隔符。这一页上逗号加空格才是分隔，而夹在两位数字之间、后面不带空格的逗号按小数点读；1,500 这种形状两者都不是，1500 还是 1.5 判不了，所以整串会被直接拒收、不去猜。指数记法同理：1e5 也是拒绝，而不是读成 100000。贴之前先把分隔符去掉。

• Sorting——把一组东西排好这个一般性问题，以及为什么基于比较的排序本身就是一个研究领域 — Wolfram MathWorld（美国）
• Ordering——全序是什么，以及一次比较要满足哪些性质，一串数才谈得上按它排序 — Wolfram MathWorld（美国）
• Real Line（实轴）——让「从小到大」等于「从左到右」的那张图，负数也在其中 — Wolfram MathWorld（美国）
• 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022 年版）的通知——该通知的附件清单第 5 项是《义务教育数学课程标准（2022 年版）》；数的大小比较与数轴是小学阶段数与代数领域的内容，原文与学段要求以该附件为准 — 中华人民共和国教育部