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最小公分母计算器

结果

60

最小公分母

通分后的分数
45/60, 50/60, 42/60

最小公分母是一组分数的分母都能整除的那个最小的数。3/4、5/6、7/10 的最小公分母是 60：60 是 15 个 4、10 个 6、6 个 10，没有比 60 更小的数能同时被这三个分母整除。写出来就是 45/60、50/60、42/60——分值不变，共用一个分母，而要加减或比较分数，就得先变成这个形状。缩写 LCD 也很常见，本页有时直接用它。走到答案有两步，其中第一步最容易被跳过。先把每个分数约到最简，因为 6/8 与 3/4 是同一个数却带着不同的分母，不约就读分母，得到的会是一个公分母而不是最小的那个——把 6/8 与 10/12 约成 3/4 与 5/6，答案就是 12 而不是 24。然后把分母合起来：一组分数的最小公分母，就是它们约分后的分母的最小公倍数。整个计算就这一句，这也是本页与最小公倍数页从两个方向走到同一个数的原因。三个以上是一次折叠两个分母，所以 4、6、10 先得到 12，再和 10 得到 60。手算时退回列表法：把每个约分后分母的倍数列出来，取第一个都出现的数。有两种情况经常遇到，值得知道。整数会被当成以 1 为分母的分数，它们不会把答案抬高，但通分后印出来是带着分母的——答案是 2 时，输入里的 2 会印成 4/2。而一个分母是另一个的倍数时（2 与 4 里的 2），它什么都不增加，因为 2 本来就整除 4。得到的结果正是异分母分数相加减所需要的那一步，和的分母就是这个数。

1/2、2/3、3/4 通分到它们的最小公分母

分数分母通分后
1/226/12
2/338/12
3/449/12

把中间一列竖着读，三个数是 2、3、4。它们的最小公倍数是 12，那就是答案，也是三个数都整除的第一个数：12 是 2 的第 6 个倍数、3 的第 4 个、4 的第 3 个。右边一列接着把每个分数改写到 12 上面，每一格都值得拿去和它替换掉的那个核对——6/12 是二分之一，8/12 是三分之二，9/12 是四分之三，每一个都还是，因为分子与分母乘的是同一个数。那个乘数就是「答案 ÷ 该分数自己的分母」：第一行 12 ÷ 2 = 6，第二行 12 ÷ 3 = 4，第三行 12 ÷ 4 = 3。注意第三个分母 4 虽然是里面最大的数，却不是贡献最大的那个：真正要紧的是质数，12 需要的两个 2 由 2 或 4 任何一个都能提供，而那个 3 只有 3 带得来。这张表固定在这三个分数上，不跟着你填的数走——上面的面板回答你的输入，这张表展示的是方法，行数少到能用眼睛核对。

公式

3/4、5/6、7/10 ⇒ 最小公分母 = lcm(4, 6, 10) = 60 ⇒ 45/60、50/60、42/60

3/4、5/6、7/10
要处理的一组分数，2 到 10 个，每个都写成「分子/分母」，两部分的绝对值都是 1 到 1000000 之间的整数，用空格、逗号或分号隔开。像 2 这样的整数也收，按 2/1 读。每个分数在取分母之前都会先约到最简，这一步就是答案不会偏大的原因
4、6、10
约分后的分母。先约分才让它们是 4、6、10 而不是更大的数——6/8 若不约，贡献的就是 8。这以后的每一步都只跟这几个数打交道，分子完全不影响答案
最小公分母 = lcm(4, 6, 10)
整个计算浓缩成一句：最小公分母就是各分母的最小公倍数。4 是 2²，6 是 2 × 3，10 是 2 × 5，要凑的是 2²、3 与 5，也就是 4 × 3 × 5 ＝ 60。三个以上一次折叠两个：4 与 6 得 12，12 与 10 得 60
60
答案。每个约分后的分母都整除它，而比它小的数都做不到——这才叫「最小」，而不只是「公共」
n × (60 ÷ d)
每个分数怎么改写：分子乘以「答案 ÷ 自己的分母」。3/4 就是 3 × 15 ＝ 45，所以 3/4 变成 45/60。分数的值没有变——分子分母乘的是同一个数，这正是「等值分数」的意思
45/60、50/60、42/60
通分后的分数，分母全是那个数。输入里的整数在这里会带着分母出现而不是被约回整数：答案是 2 时，2 回来是 4/2，因为在这一列里印一个光秃秃的整数，读起来像是那一行被跳过了

异分母分数的加法都要从这里开始：3/4 与 5/6 得先都写成 12 分之几才能合并，而通分是过程的第一行。比较分数是同一步——5/6 与 7/10 哪个大看不出来，换成 50/60 与 42/60 一眼就定了，分母一致时只需要读分子。减法有同样的要求。出了算术课堂，凡是用不同分数单位记下来的量要合并，靠的都是那个共同的分母。下面那张表就是手算的过程：把每个约分后分母的倍数列出来，取每一列都出现的第一个数。两条捷径能省掉大部分工作量，而且都很常见：一个分母是另一个的倍数时可以整个忽略；两个分母互质时（比如 6 与 5）直接乘起来就是答案。分数不在最简形式时，约分不是可选项，而且值得放在最前面做而不是最后补，因为漏掉这一步得到的答案看起来完全合理。

算例

  1. 三个分数：3/4、5/6、7/10

    1. 三个分数都已经是最简形式，所以要合的分母是 4、6、10
    2. 4 的倍数：4、8、12、16、20、24、28、32、36、40、44、48、52、56、60
    3. 6 的倍数：6、12、18、24、30、36、42、48、54、60
    4. 10 的倍数：10、20、30、40、50、60
    5. 三个列表里第一个都出现的是 60，所以最小公分母是 60
    6. 3/4 变成 45/60，因为 60 ÷ 4 = 15，3 × 15 = 45
    7. 5/6 变成 50/60，因为 60 ÷ 6 = 10，5 × 10 = 50
    8. 7/10 变成 42/60，因为 60 ÷ 10 = 6，7 × 6 = 42

    默认值。折叠那条路比列表短：4 与 6 得 12，12 与 10 得 60。通分后那一列才是好用的核对，因为替换后的每个分数都必须与它换掉的那个相等——45/60 就是 3/4，50/60 就是 5/6，42/60 就是 7/10；只要有一个不相等，就说明乘的数只作用在分数的某一部分上。

  2. 为什么必须先约分：6/8 与 10/12

    1. 6/8 与 10/12 都不是最简形式
    2. 6/8 的分子分母同除以 2 变成 3/4，分母是 4
    3. 10/12 的分子分母同除以 2 变成 5/6，分母是 6
    4. 4 与 6 的最小公倍数是 12，所以最小公分母是 12
    5. 3/4 变成 9/12，5/6 变成 10/12
    6. 若不约分、直接读原来的分母 8 与 12，它们的最小公倍数是 24

    这一格就是这一页存在的理由。24 不是错的分母——6/8 与 10/12 确实都能写成 24 分之几——它只是不是最小的那个，而面板上显示 24 看起来毫无破绽。把它们先约到最简，两者才分得开，所以这个字段在取分母之前会先把每个分数约掉。

  3. 分数里夹着整数：1/2、2、3

    1. 2 与 3 按 2/1 与 3/1 读，分母是 1
    2. 要合的分母是 2、1、1
    3. 每个整数都是 1 的倍数，所以 1 对答案没有任何贡献
    4. 2、1、1 的最小公倍数是 2
    5. 1/2 保持 1/2，2 变成 4/2，3 变成 6/2

    4/2 与 6/2 是有意为之，不是没约分。这一页叫「通分后的分数」，里面每一行都得带上那个分母，否则印成一个光秃秃的 2 会读成「这一行没被处理」。两种写法的值一样——4/2 就是 2——而这是全页唯一一处输出看起来没约分是故意的。

  4. 接近上界的一组：1/1000 与 2/999983

    1. 1000 = 2³ × 5³，999983 是质数，两个分母没有公共因数
    2. 什么都约不掉，所以最小公倍数是它们的乘积：1000 × 999983 = 999983000
    3. 1/1000 变成 999983/999983000，因为 999983000 ÷ 1000 = 999983
    4. 2/999983 变成 2000/999983000，因为 999983000 ÷ 999983 = 1000，2 × 1000 = 2000

    两个分母互质时答案就是乘积，这也是给定一对分母时答案能取到的最大值，而这一格就贴着页面拒绝的那条线。这里的分子还是精确的——999983 是六位数，仍在机器能精确表示的整数范围内——但分子再大一点，通分后的乘积就会越过去，这也是页面在分母超过一定大小之后宁可拒绝、也不印一个被取整的改写结果的原因。

局限

每个分数都写成「分子/分母」，两部分的绝对值都是 1 到 1000000 之间的整数，而且要有 2 到 10 个。小数一律拒绝而不是转换：0.75 不是写成分数形式的分数，把它变成 3/4 等于替写的人猜他想要什么。负号只收在分子前面——3/-4 被拒绝，因为分数的符号该写在哪一侧是有约定的，这一页不替读者挑。分母为 0 被拒绝，因为没有任何东西能分成 0 份。只有一道上限，而且它不在输入上而在答案上：最小公分母必须不超过 1000000000，越过之后页面宁可拒绝也不印通分后的分数。理由是每个通分后的分子都是「原分子 × 答案 ÷ 自己的分母」，所以一个大的公分母乘上一个大的分子就不再精确，而不精确的改写结果看起来与任何一行没有区别。至少要两个分数，因为一个分数没有可以「公」的分母。重复写同一个分数不影响结果，一个分母是另一个的倍数时它只是多余的。下面那张参考表固定在 1/2、2/3、3/4 上，不跟着你填的数走；上面的面板回答你填的分数，表格展示的是方法和那三行改写结果。答案精确，从不四舍五入。

常见问题

公分母和最小公分母有什么区别？
凡是每个分母都能整除的数都是公分母，其中最小的那个就是最小公分母。4、6、10 的公分母有 60 也有 120，60 是最小的。手算值得算的只有最小那个，因为更大的公分母意味着每个通分后的分数都更大，而数一大就容易算错。页面返回的永远是最小的那个。
为什么取分母之前要把分数约分？
因为同一个数可以带着不同的分母。6/8 与 3/4 相等，但拿 8 去凑公分母得到 24，而正确答案是 12。错的那个不是一眼看得出错的——24 确实是这两个分数的一个公分母——所以页面会先把每个分数约到最简，上面的算例把这一格钉死了。
最小公分母与最小公倍数是什么关系？
是同一套计算用在不同输入上。把约分后各分数的分母拿出来求最小公倍数，得到的就是最小公分母。这也是这两页结果一致的原因：4、6、10 的最小公倍数是 60，而分母是这三个数的一组分数，最小公分母就是 60。分子完全不进入答案。
为什么整数回来时带着一个分母？
因为输入里的整数按分母为 1 的分数读，而这一页的输出列叫「通分后的分数」，里面每一行都得带上那个分母。答案是 2 时 2 变成 4/2，那是同一个值写在共同的分母上，不是约分没做。这是全页唯一一处输出看起来没约分是故意的。
答案最小能是多少？
当其余每个分母都整除最大的那个分母时，答案就是那个最大的分母。1/2、1/4、3/4 的答案是 4，因为 2 整除 4，而 4 就是它自己。它不可能比最大的分母还小，因为答案必须是每个分母的倍数，而一个数的倍数不会小于它本身。
分子会影响答案吗？
不会。最小公分母只由分母算出来，1/4 与 3/4 的最小公分母相同。分子出现在通分后的分数里，每个都乘以「答案 ÷ 自己的分母」，所以它们改变的是那几行写出来是什么样，而不是整个被分成了几份。

参考资料

相关计算器

最小公倍数计算器求两到十个整数的最小公倍数，并列出前四个公倍数。分数加法计算器异分母分数相加，结果自动约分。分数减法计算器异分母分数相减，并给出通分后的公分母。等值分数计算器列出与给定分数相等的分数，可设上限。