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最小公倍数计算器

结果

180

最小公倍数

前四个公倍数
180, 360, 540, 720

最小公倍数是一组数都能整除的那个最小的数。12、18、30 的最小公倍数是 180：180 是 15 个 12、10 个 18、6 个 30，而没有比 180 更小的数能同时被这三个数整除。这一页还把前四个公倍数一起印出来，理由是单看一个「最小」太难验：180 确实被这三个数整除，但它是不是最小的，得看到 180、360、540、720 依次排开、中间没有跳过一个更小的公倍数才说得清。算它有三条路。一条是把每个数的倍数列出来，取第一组都出现的那个——参考表走的就是这条，它最好懂也最慢。一条是质因数分解：把每个数拆成质数，凡是出现过的质数都要保留，而且取它在各个数里指数最大的那一次——12 是 2² × 3，18 是 2 × 3²，30 是 2 × 3 × 5，要凑齐的是 2²、3² 与 5，也就是 4 × 9 × 5 ＝ 180。注意这与最大公因数恰好相反：那个取的是公共质数里指数最小的，这个取的是出现过的每个质数里指数最大的。中文教材把这条竖着写成短除法，两者是同一件事，横竖不同而已。第三条是先约掉最大公因数再乘：两个数的最小公倍数乘以它们的最大公因数等于这两个数的乘积，4 与 6 的乘积是 24、最大公因数是 2，所以答案是 12。这条捷径只对两个数精确，三个以上就失效了——页面对多个数是一次折叠两个，所以十个数的答案也是对的。互质的数是最省事的情况：7、11、13 两两没有公共质数，什么都约不掉，答案就是它们的乘积 1001。这个数在通分时用得上：1/12 与 1/18 必须先都写成 36 分之几才能相加，而 36 正是它们的最小公倍数。

4、6、8 的倍数并排——答案就是三列里第一次同时出现的那个数

n4 × n6 × n8 × n
1468
281216
3121824
4162432
5203040
6243648
7284256
8324864

横着读每一行，答案是右边三格第一次相同的那个：4 × 6、6 × 4 与 8 × 3 都是 24，所以 4、6、8 的最小公倍数是 24。这样读出来的过程本身就是方法，这也是为什么这张表是一架梯子而不是一个结果。注意三列第一次一致的行号并不相同——24 是 4 的第 6 个倍数、6 的第 4 个、8 的第 3 个——所以表必须一直往下建到某个数在每一列里都出现为止，而不是建固定的行数。还要注意它前面没有哪一行是三列一致的：12 出现在 4 与 6 下面，16 出现在 4 与 8 下面，两个都是死路。这一点值得记住，因为公倍数很容易凑出来，而「最小」才是真正被问的那个。表固定在 4、6、8 上，不跟着你填的数走；它到第八行为止，因为 24 在那之前就已经到了。

公式

12 = 2² × 3，18 = 2 × 3²，30 = 2 × 3 × 5 ⇒ 最小公倍数 = 2² × 3² × 5 = 180，前四个公倍数是 180、360、540、720

12、18、30
要算的几个数，2 到 10 个，每个都是 1 到 1000000 之间的整数。空格、逗号、分号都能当分隔符，12 18 30 与 12, 18, 30 是同一份输入。0、负数与小数一律拒绝：公倍数是一句计数的话，列表里的每个数都得有公倍数
2² × 3² × 5
需要的质数，每个都取它在整组数里出现过的最高次幂：2² 来自 12，3² 来自 18，5 来自 30。取最高次幂而不是最低次幂，正是这一页与最大公因数那一页的分界，也是为什么答案总不会小于输入里最大的那个数
180
答案，也就是第一个公倍数。它能被列表里每个数整除，而没有比它更小的数能做到——「最小」这两个字的全部内容就在这里
180、360、540、720
前四个公倍数，印出来是为了让答案可核对：它们是答案的 1、2、3、4 倍，相邻两个之间隔着的就是答案本身。假如存在更小的公倍数，它只能落在 180 以下，而这串数说明公倍数就是从 180 开始的
lcm(a, b, c) = lcm(lcm(a, b), c)
三个以上怎么处理：一次两个，把已经算出来的结果拿去和下一个数再折叠一次。这与最大公因数那一页的折叠是同一套，也是这一页不用上面那条乘除捷径的原因——那条捷径只对两个数精确
1000000000000
答案的上界，不是输入的上界。十个六位数能算出一个远远越过机器精确整数范围的答案，而那种答案印出来看起来完全正常。越过这条线时页面宁可拒绝，也不印一个只是接近的数

通分是公倍数最实际的用途。1/12 与 1/18 原样相加不了，两个都得改写成 36 分之几，而 36 就是它们的最小公倍数——任何公倍数都能用，取最小的那个是为了让数字尽量小，这也是教材先教它的原因。分数和的父母亲就是这个数，本仓库的最小公分母页算的是同一件事，只是输入换成了分数。课堂之外最常见的版本是周期对齐：每 12 天一次和每 18 天一次的两件事，36 天之后再次撞在一起；三个循环的灯要一起亮，靠的是三个数的公倍数。齿轮也一模一样，啮合的花样在两个齿轮都转过整数圈之后重复。做题时最小公倍数是被直接问的那个量，而参考表就是标准过程：把每个数的倍数列出来，直到某一列第一次出现在每一列里。两个数互质时最省事——答案就是它们的乘积，认出这种情况可以完全不动笔。

算例

  1. 12、18、30 的最小公倍数

    1. 12 的倍数：12、24、36、48、60、72、84、96、108、120……180
    2. 18 的倍数：18、36、54、72、90、108、126、144、162、180
    3. 30 的倍数：30、60、90、120、150、180
    4. 第一组在三个列表里都出现的是 180
    5. 用质因数分解核对：12 给 2²，18 给 3²，30 给 5，4 × 9 × 5 还是 180

    默认值。注意 36 同时是 12 与 18 的倍数但不是 30 的倍数，60 同时是 12 与 30 的倍数但不是 18 的倍数——答案要满足列表里的每一个数，不是满足其中多数。两条路给出的结果一致，而列倍数会很长的时候用分解那条。

  2. 两个数：4 与 6

    1. 4 的倍数：4、8、12、16、20、24
    2. 6 的倍数：6、12、18、24
    3. 第一个共同出现的是 12
    4. 用乘积规则核对：4 × 6 = 24，4 与 6 的最大公因数是 2，24 ÷ 2 = 12

    两个数是乘积规则唯一成立的场合，而这个核对值得手做一次，因为它能说明规则为什么到第三个数就失效：4、6、9 三个数乘起来是 216，而答案是 36，只拿 4 与 6 的最大公因数去除是补不回来的。页面一次折叠两个数，所以不会被这件事绊倒。

  3. 互质的一组数：7、11、13

    1. 7、11、13 都是质数，两两之间没有公共因数
    2. 乘积里什么都约不掉，所以最小公倍数就是 7 × 11 × 13
    3. 7 × 11 = 77，77 × 13 = 1001
    4. 前四个公倍数每次加 1001

    没有公共质数时答案就是乘积，这也是答案唯一会这么大的情况。1001 因为另一件事被记住——它分解成 7 × 11 × 13，这正是「三位数循环写两遍能被 1001 整除」那条速算技巧的来历。页面处理它的方式与其他输入没有区别。

  4. 其中一个数整除其他数：6、8、12

    1. 12 是 6 的倍数，所以 6 提出的要求 12 已经全包含了
    2. 8 的倍数：8、16、24
    3. 12 的倍数：12、24
    4. 第一个共同出现的是 24，答案并不等于输入里最大的那个数

    答案不一定是输入里的某个数，这与最大公因数那一页恰好相反——那一页的答案永远是最小的那个输入的因数。这里 24 比列表里的每个数都大，因为公倍数得是被它们整除的那个数。把 6 去掉什么都不变：12 已经带上了 6 要求的全部质数，折叠之后答案照旧。

局限

每个数都必须是 1 到 1000000 之间的整数，而且要有 2 到 10 个。输入的限制在这里，但真正咬人的限制在答案上：最小公倍数必须不超过 1000000000000，而十个大数会在输入范围还远没用完的时候就越过它。越过之后页面宁可拒绝也不印答案，因为那么大的整数已经没法精确表示，回来会是一个看起来普普通通的结果。0 与负数都被拒绝：「任何整数都是 0 的倍数」不是一句有用的话，而最小公倍数是定义在正整数上的。小数与分数一律拒绝而不是四舍五入，理由与公因数那一页相同。分隔符可以用空格、逗号或分号，也可以混着用。重复写同一个数不影响结果；一个数整除同组的另一个数时，它只是多余的。下面那张参考表固定在 4、6、8 上，不跟着你填的数走——面板回答你填的数，表格展示的是答案怎么读出来。答案永远精确，从不四舍五入。

常见问题

最小公倍数怎么手算？
把每个数的倍数列出来，直到某个数在每一列里都出现。12、18、30 的结果是 180：它是 12 的第 15 个倍数、18 的第 10 个、30 的第 6 个。更快的是质因数分解：凡是列表里出现过的质数都保留，每个取指数最大的那一次，这三个数要的是 2²、3² 与 5，乘起来是 180。两条路本页上面的算例都写了。
最小公倍数和最大公因数有什么区别？
最大公因数是能整除所有输入的最大那个数，最小公倍数是所有输入都能整除的最小那个数。公因数不会超过输入里最小的那个数，公倍数不会小于输入里最大的那个数。用质因数分解来说，区别只有一个字：公因数取公共质数里指数最小的那一次，公倍数取出现过的每个质数里指数最大的那一次。
能不能直接把它们乘起来？
乘起来得到的是一个公倍数，但通常不是最小的那个。两个数时有一条精确的规则：乘积等于最小公倍数乘以最大公因数。4 与 6 的乘积是 24、最大公因数是 2，所以答案是 12。三个数以上这条规则不成立，这也是页面不用它、而是一次折叠两个数的原因。
为什么答案太大时页面会拒绝？
因为机器超过一定大小之后就不再精确地表示整数了，那样大的答案回来时会被取整，而它看起来与一个正常结果没有区别。输入每个数上限是 1000000，但答案可以远远超过它——十个六位数乘起来是极大的数——所以页面在答案上也拦一道，宁可拒绝也不印一个只是接近的数。
两个互质的数的最小公倍数是多少？
它们的乘积，因为什么都约不掉：7 与 11 互质，最小公倍数就是 77。互质意味着两个数没有任何公共质数，所以列表里每个质数的最高次幂就是它本身。相邻的两个整数一定互质，一个质数与任何不是它倍数的数也一定互质。
最小公倍数用在哪儿？
分数相加或比较需要通分，而最小的那个公分母就是这个数——1/12 与 1/18 都改写成 36 分之几。课堂之外，凡是按两个周期重复的事情，都会在它们的最小公倍数之后重新对齐：每 12 天与每 18 天一次的两件事，36 天之后重合；齿轮的啮合花样也在两个齿数的公倍数之后重现。

参考资料

相关计算器

最大公因数计算器求两到十个整数的最大公因数，并列出全部公因数。最小公分母计算器求一组分数的最小公分母，便于通分。分数加法计算器异分母分数相加，结果自动约分。分数计算器分数的加减乘除，结果自动约分。因数计算器列出一个数的全部因数与因数对。