调和平均数计算器

调和平均数 = n ÷ (1/x₁ + 1/x₂ + … + 1/xₙ) = n ÷ Σ(1/xᵢ)

xᵢ

列表里的一个数，每一个都必须大于零。出现 0 时 1/x 是无穷大，倒数之和因此是无穷大，而答案会出来一个「看着像结果的 0」；出现负数则可能让分母变成 0，或者让答案跑到数据的两端之外

1/xᵢ

一个数的「倒数」——把速率翻成时间，或者把时间翻成速率。正是这一步让调和平均数与另外两种的脾气完全不同：小的数倒数大、拉得最狠，而当一个数代表「很慢的速度」时，正该如此，因为它吞掉的时间最多

Σ(1/xᵢ)

所有倒数相加的和，也就是分母。项数不多时面板把它逐项写出来，因为这个和就是整个计算——剩下的只是最后那一步除法

n

一共有多少个数，结果面板上会印出来。它把倒数除下去的量乘回来——没有它，得到的会是「某个平均数的倒数」，而不是一个平均数

当「分子固定、分母在变」的时候用调和平均数：一段固定距离用不同的速度走完、一份固定的活由速率不同的机器干完、一个固定预算按不同的价格花掉、一个固定电压加在阻值不同的电阻上。最经典的是走一段路的两半——去程 30、回程 60，平均是 40，因为回程花的时间只有去程的一半，慢的那个速度因此有双倍的时间去影响答案。把两个速度直接做算术平均得到 45，如果「一半「时间」开 30、一半时间开 60」，45 才是对的，所以要清楚题目问的是哪一种。同一套结构还管着两段行程的油耗、固定预算按两个价格花掉时的平均成交价，以及并联电阻——总阻值是倒数之和的倒数，几个相同电阻并联时它就化简成「阻值除以个数」，而那正是调和平均。反过来，能相加的量不要用它：对分数、身高、金额求调和平均会得到一个更小、且背后没有任何现实意义的数，而且这些数差得越远，它比算术平均数低得越多。

1. 五次考试分数

   1. 取每个数的倒数：1/85 = 0.011765，1/90 = 0.011111，1/78 = 0.012821，1/92 = 0.010870，1/88 = 0.011364
   2. 把它们相加：0.011765 + 0.011111 + 0.012821 + 0.010870 + 0.011364 = 0.057931
   3. 用个数除以倒数之和——上面那个 0.057931 是舍入过的，除不回来：5 ÷ (1/85 + 1/90 + 1/78 + 1/92 + 1/88) = 86.3118

   面板「有意不印」中间那个 0.057931：它是舍入过的，而 5 ÷ 0.0579 = 86.3558，读者拿它去验算会得到一个与面板上不一样的数。所以印的是那个式子本身——它说明了做了什么，又不会引着人去除一个除不回来的数。这个算例同时把站上的那条链补全了：这五个数的调和平均数是 86.3118、几何平均数是 86.458、算术平均数是 86.6，三者的大小顺序与那条不等式一致，而它们之间的差距正是这组数有多不均匀的读数。

2. 去程 30、回程 60——平均速度是 40

   1. 取倒数：1/30 = 0.033333，1/60 = 0.016667
   2. 把它们相加：0.033333 + 0.016667 = 0.05
   3. 用个数除以这个和：2 ÷ 0.05 = 40

   这一页存在的理由就是这个算例。以 30 公里的时速开 60 公里去，再以 60 公里的时速开 60 公里回：去程两小时、回程一小时，120 公里共用三小时，也就是 40 公里/小时。30 与 60 的算术平均是 45，而 45 对应的是「各开一小时」——那是一个关于「时间」的问题，而这一个是关于「路程」的。站上那台「速度、距离、时间计算器」用的正是总路程除以总时间，在同一组数上给出同一个 40，两页因此在数字上对得上。反过来，去程回程都是 30 时两种算法都给 30——数都一样的时候，它们没有可分歧的地方。

3. 三个数：1、2、4

   1. 取倒数：1/1 = 1，1/2 = 0.5，1/4 = 0.25
   2. 把它们相加：1 + 0.5 + 0.25 = 1.75
   3. 用个数除以这个和：3 ÷ 1.75 = 1.7143

   倒数把大小关系翻了过来，这正是这种平均数的全部性格：1 是这组里「数值最小」的数，却贡献了最大的一项 1；4 是数值最大的数，贡献的却是最小的 0.25。所以答案远低于算术平均数 2.3333，而且偏向列表小的一端。这三个数还是等比排列的（每个都是前一个的两倍），在这种列表上三种平均数分得最开：调和平均 1.7143、几何平均 2、算术平均 2.3333。

4. 跨过 1：倒数把顺序翻了过来

   1. 取倒数：1/0.5 = 2，1/2 = 0.5
   2. 把它们相加：2 + 0.5 = 2.5
   3. 用个数除以这个和：2 ÷ 2.5 = 0.8

   小于 1 的数倒数是大于 1 的，所以这一对里数值小的那个反而贡献了更大的一项，主导了整个分母：0.5 贡献 2，而 2 只贡献 0.5。调和平均数因此落在 0.8，离小的那个数很近；而算术平均数 1.25 落在两者正中间。这个方向搞反——把「个数 ÷ 和」写成「和 ÷ 个数」——算出来就是 1.25，也就是算术平均数，面板上看起来毫无破绽，所以顺序是有讲究的，而这一对数是最能暴露它的地方。

5. 八个数，改用 Σ 写法

   1. 取每个数的倒数：1、0.5、0.333333、0.25、0.2、0.166667、0.142857、0.125
   2. 把它们相加：2.717857
   3. 用个数除以这个和：8 ÷ 2.717857 = 2.9435

   超过六项时，逐步过程那一行改用缩写：8 / Σ(1/xᵢ) = 2.9435。之所以是这一页更需要缩写，是因为每个倒数至少四个字符，两百项的列表会撑出一行一千多字符的式子；而缩写保留了唯一猜不出来的那件事——这个分数是哪一头朝上。这里两者的差距是整页最宽的一次：2.9435 对算术平均数 4.5，因为这八个数均匀地铺开在一个 8 倍的跨度上，而调和平均正是最受列表小端影响的那一种平均数。

每个数都必须大于零，列表里出现 0 或者负数时页面会拒收。其中最危险的是 0：0 的倒数是无穷大，公式给出的答案是一个干干净净的 0——那个数看起来像个结果，而不像个失败。负数则可能让倒数之和恰好为 0（那就是除以零），或者把答案推到数据本身的两端之外。这个平均数只在「总量固定、被分摊到不同的速率上」时有意义，比如一段固定距离用不同速度走完、一笔固定预算按不同价格花掉；用在分数、身高、金额上，它会给出一个更小、却读不出任何意思的数，而且这些数差得越远，它比算术平均数低得越多。中间那个倒数之和只有你自己加的时候才是舍入过的——面板印的是式子，正因为一个舍入过的中间值除不回面板上的答案。列表上限 200 个数，像 1,500 这样的写法会被拒收而不是替读者猜：夹在两个数字中间的逗号在有些国家是小数点，改写 1500 或 1.5 都可以。

调和平均数怎么算？

把每个数取倒数、相加，再用个数除以这个和。以 30 和 60 为例，倒数是 0.033333 与 0.016667，加起来是 0.05，2 ÷ 0.05 = 40。顺序是有讲究的：是「个数除以和」，不是和除以个数，弄反了算出来的就是算术平均数。

调和平均数为什么比另外两种都小？

因为取倒数把数值的大小关系翻了过来，之后每个数对答案的影响与它有多小成正比。小的数倒数大、把分母抬高，答案因此被压低，而差距随这组数的离散程度一起变大。所有数都相等时三种平均数完全一致；一组数铺得越开，调和平均数就比几何平均数低得越多，几何平均数又比算术平均数低。

为什么平均速度是 40 而不是 45？

因为两段路花的时间不一样。同样一段距离分别用 30 和 60 走完，慢的那一段花的时间是快的一段的两倍，所以在答案里它的话语权也是两倍：以 30 开两小时、以 60 开一小时，120 公里共用三小时，即 40。45 是算术平均数，它回答的是另一个问题——「一半「时间」用 30、一半时间用 60」时的平均速度。两个数都对，混淆的是问题。

什么时候该用它而不是普通平均数？

当「总量固定、在变的是速率」时：一段固定距离用不同速度走完、一份固定的活由速率不同的机器干完、一笔固定预算按不同价格花掉、一个固定电压加在阻值不同的电阻上。反过来，如果这些数本身是能相加的量，或者每一项都该算同等分量，那么该用算术平均数，调和平均数只会给出一个更小、背后什么都没有的数。

它和并联电阻是什么关系？

直接相关：几个电阻并联的总阻值是各自倒数之和的倒数，也就是本页这个公式省掉最后那一步「乘个数」。两个 10 欧的电阻并联是 5 欧，而本页对 10 和 10 给出的调和平均数是 10——一组完全相同的数，三种平均数都给这个数。有意思的是不相等的情形：并联总阻值永远小于最小的那个电阻，正如调和平均数永远小于列表里最小的那个数。

比 1 小的数也能算吗？

能，只要都大于零。小于 1 的数倒数是大于 1 的，所以它们贡献的是最大的几项，答案会落在它们附近：0.5 与 2 的调和平均数是 0.8，远低于算术平均数 1.25。这与本页别处的规则是同一条，只是换个方向读——起主导作用的永远是小的那个数，不管它在 1 的哪一侧。

• GB/T 3358.1-2009《统计学词汇及符号 第1部分：一般统计术语与用于概率的术语》（推荐性国家标准，现行：2009-10-15 发布 / 2010-02-01 实施；该站注明因涉及国际版权不提供在线阅读，全文需另寻） — 国家市场监督管理总局 国家标准全文公开系统
• Harmonic Mean — MathWorld（调和平均数的定义、它与算术平均数及几何平均数的关系，以及经典的作图构造） — Wolfram MathWorld
• Harmonic Mean — Dataplot Reference Manual, auxiliary chapters（为什么「总量固定、速率在变」该用调和平均数而不是算术平均数） — 美国国家标准与技术研究院（NIST）