几何平均数计算器
结果
几何平均数
- 平均数
- 86.6000
- 个数
- 5
几何平均数，是一串数连乘之后开 n 次方——也就是那个数：把它替换掉列表里的每一个数，乘积不变。当这些数是「倍数」或「比值」而不是「数量」时就要用它：逐年增长、一连串百分比变化、与一个矩形面积相同的正方形的边长。这个计算器把它印在算术平均数旁边，两者之间的差才是重点——一组正数的几何平均数「永远不会大于」算术平均数，只有所有数都相同时两者才相等。看一个基金三年分别涨 10%、涨 20%、跌 10% 的例子：算术平均说是每年 6.67%，而几何平均数——也就是对账单上会印的那个复合增长率——说是 5.91%。
公式
几何平均数 = ⁿ√(x₁ · x₂ · … · xₙ) = exp(mean(ln xᵢ))
- xᵢ
- 列表里的一个数，每一个都必须大于零。出现一个 0，乘积就是 0，答案是 0，列表里别的数说什么都不算了；出现一个负数，乘积为负，开偶数次方根本不是实数
- n
- 一共有多少个数，结果面板上会印出来。它是根指数：两个数开平方，三个数开立方，五个数开五次方。手算这一步最常见的错就是把个数数错，所以页面把它印出来，而不是留给你去列表里数
- x₁ · x₂ · … · xₙ
- 所有数的连乘积。只有乘积和个数进得了这个式子，所以答案与你把这些数按什么顺序写下来无关——两个数的情形就是最常见的「乘积开平方」
- mean(ln xᵢ)
- 同一个式子的另一种写法，也是计算器实际用的那一种：先取每个数的自然对数，把这些对数求平均，再取回来。答案与先连乘一样，但不会像连乘一长串大数那样溢出
当这些数是「乘出来」而不是加起来的时候用几何平均数：逐年的百分比变化、比值、指数点位、增长倍数。一个基金第一年涨 10%、第二年涨 20%、第三年跌 10%，三年下来是涨 18.8%，也就是 1.1 × 1.2 × 0.9；平均每年的增长倍数是它的立方根 1.0591，所以诚实的年化数字是 5.91%，而不是把三个百分数直接平均得到的 6.67%。同一套道理适用于一切乘性尺度上的量：细菌数量、地震震级、跨度好几个数量级的一组尺寸，以及市盈率这类比值——那里一个极端值就能把普通平均数整个带跑。反过来，能相加的量不要用它：一组温度、分数、价格没有有意义的连乘积，它的几何平均数是一个没有解释的数。最值得记住的一条是：几何平均数永远比算术平均数小，一组数彼此差得越远差得越多，所以两者之间的差距本身就是这组数有多不均匀的一个粗略读数。
算例
五次考试分数
- 把五个数连乘：85 × 90 × 78 × 92 × 88 = 4830883200
- 一共有 5 个数，所以开五次方：⁵√4830883200 = 86.458
- 同一组数的算术平均数是 86.6
两个答案差 0.142，小是因为这五个分数本来就挨得近——几何平均数比算术平均数低多少，取决于这组数有多不均匀。这条不等式不是舍入造成的：对正数来说，几何平均数永远不会超过算术平均数，只有所有数完全相同时两者才相等。分数本身并不是乘性的量，这个算例在这里是为了看清机制，而不是它的自然用法；这一页真正要解决的问题是下一个算例里的基金收益。
一个基金：涨 10%、涨 20%、跌 10%
- 把三个增长倍数连乘：1.1 × 1.2 × 0.9 = 1.188
- 一共有 3 个倍数，所以开立方：³√1.188 = 1.0591
- 算术平均数是 1.0667——更高，但对这个问题来说是错的
三年下来一共涨了 18.8%，只有 1.188 说出了这件事。要问「平均每年涨多少」，那个每年的倍数是三年连乘得到 1.188 的那个数，也就是立方根 1.0591，复合增长率 5.91%。把三个百分数直接平均得到 6.67%，它偏高的原因是百分比不能相加：跌 10% 抹掉的比涨 10% 添上的多，因为它是在一个更大的基数上跌的。这里每年差 0.76 个百分点，放到二十年，就是「翻三倍」与「变 3.6 倍」的差别。
两个数：比例中项
- 把两个数相乘：2 × 8 = 16
- 一共有 2 个数，所以开平方：√16 = 4
- 同一对数的算术平均数是 5
两个数的几何平均数就是它们的乘积开平方，也就是古代几何学家说的「比例中项」：2 比 4 等于 4 比 8。它同时还是面积与 2×8 矩形相等的那个正方形的边长——两边都是 16；而算术平均数 5 是周长相等的那个正方形的边长，也就是面积 25 的 5×5 正方形。这是两种平均数分歧最清楚的一个例子，也说明了为什么关于面积、尺度、增长的问题该用几何平均数，而关于总量的问题才用算术平均数。
局限
每一个数都必须大于零，列表里出现 0 或者负数时页面会直接拒收，而不是给出一个没有意义的结果——只要有一个 0，乘积就是 0，答案是 0，列表里别的数说什么都不算了；而负的乘积开偶数次方不是实数。负数个数为奇数时原则上存在一个实数的答案，但用负数算出来的几何平均数的符号没有任何解释，所以那种列表同样拒收，正确的做法是改用增长倍数而不是百分比变化。这个平均数只对「乘起来」的量有意义；对分数、温度、价格来说它是一个算得出来的数，却没有可以读出来的意思，这也是它旁边始终印着算术平均数的原因。它也不能用在任何一项为 0 的列表上，于是「包含一次全损」的一组收益率被排除在外。列表上限 200 个数，像 1,500 这样的写法会被拒收而不是替读者猜：夹在两个数字中间的逗号在有些国家是小数点，改写 1500 或 1.5 都可以。
常见问题
- 几何平均数怎么算？
- 把所有数乘在一起，再开一个次数等于「一共有多少个数」的方根。以 2 和 8 为例，乘积是 16，一共两个数，所以几何平均数是 √16 = 4；五个数就要开五次方。计算器内部走的是同一条路的对数版本：取每个数的自然对数、求平均、再取回来，这样就不必先得到一个巨大的中间乘积。
- 几何平均数为什么比算术平均数小？
- 因为乘法对跌和涨是不对称的。一个量先跌 10% 再涨 10%，结果是 1.1 × 0.9 = 0.99，比原来还低，所以只要这组数有涨有跌，几何平均数就一定低于算术平均数。两者只在所有数完全相同时相等，数之间差得越远差距越大——这也是为什么这两个数之间的差本身就能粗略读出一组数有多不均匀。
- 什么时候该用几何平均数而不是算术平均数？
- 当这些数是乘起来而不是加起来的时候。增长率、逐年复合的百分比、比值、指数点位都是乘性的，用普通平均数去平均它们会高估答案。能相加的量——分数、温度、价格、件数——是加性的，那些该用算术平均数。一个有用的判据是：如果每个数都翻倍，答案是不是也应该翻倍？如果是，这个量就是乘性的。
- 列表里有 0 或者负数还能算吗？
- 不能，页面会拒收。只要有一个 0，乘积就是 0，答案是 0，列表里别的数说什么都不算了，那已经不是任何东西的平均数；出现负数则乘积为负，开偶数次方不是实数。一组包含全损的收益率，实际做法是改用增长倍数（跌 50% 就是 0.5），并且接受「倍数为 0，也就是全损」根本没有几何平均数这件事。
- 它和复合增长率是什么关系？
- 复合增长率就是逐年增长倍数的几何平均数，用百分比说出来。一个投资三年分别乘上 1.1、1.2、0.9，乘积是 1.188，立方根是 1.0591，复合增长率就是 5.91%。这一页本来就在这个口径上：填增长倍数而不是填百分比，面板上给出的就是那个倍数，换成百分比就是年化收益率。
- 这些数换个顺序写，答案会变吗？
- 不会。几何平均数只由连乘积和个数决定，而乘法不讲顺序，所以 2、8、4 与 8、4、2 给的是同一个答案。这一点值得知道，因为几何平均数常常用来描述一段时间——若干年的收益率——而它的答案有意不区分哪一年先发生。它回答的是「平均的那一年长什么样」，不是「某一年具体发生了什么」。
参考资料
- GB/T 3358.1-2009《统计学词汇及符号 第1部分：一般统计术语与用于概率的术语》（推荐性国家标准，现行：2009-10-15 发布 / 2010-02-01 实施；该站注明因涉及国际版权不提供在线阅读，全文需另寻） — 国家市场监督管理总局 国家标准全文公开系统
- Geometric Mean — MathWorld（几何平均数的定义、比例中项，以及它与算术平均数的不等关系） — Wolfram MathWorld
- Geometric Mean — Dataplot Reference Manual, auxiliary chapters（为什么比值与增长率该用几何平均数而不是算术平均数） — 美国国家标准与技术研究院（NIST）