万有引力计算器

万有引力 = G × m₁ × m₂ / r²

G

万有引力常数，6.6743 × 10⁻¹¹ N·m²/kg²。它是全部物理常数里测得最不准的一个——推荐值的相对不确定度是 2.2 × 10⁻⁵，比第二不准的那个常数还差四个数量级以上——所以这一页算出来的后几位数字没有意义，而这不是输入填得不够准造成的

m₁

第一个物体的质量，单位千克。下拉框里也有克、公吨与磅，而它必须是质量、不是重量：两个 70 公斤的人在这里就是两团物质。它必须为正数，没有质量的东西不产生引力

m₂

第二个物体的质量，单位与规则同上。两个质量在式子里是相乘的，所以它们可以互换——把两个输入对调，答案一个字都不变，这也是这一页不需要区分『哪个是哪个』的原因

r

两个物体质心之间的距离，单位米，不是两个表面之间的空隙。离地面 400 公里的卫星离地心是 6771 公里，式子要的是后一个数。下拉框里也有公里、厘米、英尺与英里，同样必须为正数

F

两个物体互相施加的万有引力，给出牛顿与磅力两种写法，都用科学计数法。它是一个力、不是两个：地球用 687 N 拉着您，您也用 687 N 拉着地球，方向相反。第二行是同一个数换单位，不是第二个结果

当您有两个物体的质量、也知道它们离多远、想知道那股拉力的时候，用这一页：把月球按在轨道上的力、卫星与它绕的行星之间的吸引、实验室里两个质量之间的引力到底测不测得到（测不到，它是 10⁻⁷ N 那一档，所以这个实验一直到 1798 年才做成），以及把一个天体自己的质量与半径代进这条式子能得到的表面重力——表里那八行就是这么来的，而它决定了您在那些地方会有多重。动手之前有两件事值得先确认。一是 r 是质心距：把高度当成 r 填进去会严重高估——400 公里那一档上力会大出约二百九十倍——而只按天体半径算、忘了高度，则差百分之十几，并且这个差随高度一起变大。二是这条式子把两个物体都当成质点，这对球体是精确的、对远小于 r 的东西是够好的近似，而两个几乎贴在一起的物体完全在它之外。

1. 两个 70 公斤的人，相隔一米

   1. 两个质量：70 kg 与 70 kg，质心距离 1 m
   2. 质量之积：70 × 70 = 4900 kg²
   3. 距离的平方：1² = 1 m²
   4. 万有引力：6.6743 × 10⁻¹¹ × 4900 ÷ 1 = 3.2704 × 10⁻⁷ N
   5. 换成磅力：3.2704 × 10⁻⁷ ÷ 4.4482 = 7.352 × 10⁻⁸ lbf

   零点三微牛，就是把这个题目讲清楚的那个数：两个人并排站着互相拉的那点力，相当于三十几微克的东西所受的重力，而日常生活里没有任何东西能让人察觉到它。请注意整条算式从头到尾没有离开指数——4900 只有四位，真正把答案压下去的是那个 10⁻¹¹。引力弱就弱在这里：不是这个常数比别的数小一点，而是它比人能用质量凑出来的任何数都小得多。

2. 地球与月球

   1. 两个质量：地球 5.972 × 10²⁴ kg，月球 7.342 × 10²² kg
   2. 质心距离：384400 km = 3.844 × 10⁸ m
   3. 质量之积：5.972 × 10²⁴ × 7.342 × 10²² = 4.3846 × 10⁴⁷ kg²
   4. 距离的平方：(3.844 × 10⁸)² = 1.4776 × 10¹⁷ m²
   5. 万有引力：6.6743 × 10⁻¹¹ × 4.3846 × 10⁴⁷ ÷ 1.4776 × 10¹⁷ = 1.980 × 10²⁰ N
   6. 换成磅力：1.980 × 10²⁰ ÷ 4.4482 = 4.452 × 10¹⁹ lbf

   1.98 × 10²⁰ N 大约是二百艾牛，它是那个让人以为引力很强的数——这是一股把三十八万公里外的天体按着每个月转一次弯的力。与上一条对着读，整课内容都在指数上：质量大了约 10⁴⁴ 倍，距离大了约 3.8×10⁸ 倍（平方之后是 1.5×10¹⁷），于是力大了 10⁴⁴ ÷ 10¹⁷ = 10²⁷ 倍。两次计算之间定律一个字都没变，变的只是式子两边各放了多少物质。

3. 地球与站在地面上的一个 70 公斤的人

   1. 式子要的距离是地球的平均半径 6371 km = 6.371 × 10⁶ m，不是脚底到地面的距离
   2. 质量之积：5.972 × 10²⁴ × 70 = 4.1804 × 10²⁶ kg²
   3. 距离的平方：(6.371 × 10⁶)² = 4.05896 × 10¹³ m²
   4. 万有引力：6.6743 × 10⁻¹¹ × 4.1804 × 10²⁶ ÷ 4.05896 × 10¹³ = 687.398 N
   5. 换成磅力：687.398 ÷ 4.4482 = 154.533 lbf

   这 687 N 就是体重秤报成 70 公斤的那个力——秤量的其实是力，只是除了 9.8 再印成质量。它也是这一页唯一落在普通写法里的一行：答案在 10⁻³ 到 10⁶ 之间，所以页面照原样印 687.398，不改写成 6.874 × 10²。这个数还故意略低一点：它用的是平均半径，赤道上的人比两极的人离地心远 21 公里，而这一个数取的是两者的平均。

最大的限制不在模型里，在那个常数上。G 只测到四位有效数字——CODATA 的推荐值是 6.67430，末尾两位带 ±15 的不确定度，也就是相对不确定度 2.2 × 10⁻⁵，而它是全部物理常数里测得最不准的一个，比第二不准的那个常数还差四个数量级以上。所以这一页每一个答案的第四位都是装饰：1.980 × 10²⁰ N 其实只是 1.98 × 10²⁰ N，把质量多填几位并不会多出第五位有效数字。此外，这条式子把两个物体都当成质点，只有对球体才是精确的；它不含任何别的力，所以它不说明那两个物体到底是在轨道上还是在互相坠落；它不含广义相对论，而水星近日点的进动与黑洞附近都必须用后者；它假设质量不变，这对一枚火箭或者一颗正在蒸发的彗星不成立。在小尺度上这个模型也被用到了它的适用范围之外：相隔一毫米的两个物体不能被当成质点，而两个原子之间的吸引是化学的辖区，不是这条式子的，距离字段的下限设在 1 mm 正是为了挡住这类输入。最后，表里的表面重力用的是平均半径，并假设天体是完美的球、也不自转，所以地球那一行给出的是 9.82 m/s²，而不是定义的 9.80665 m/s²。

万有引力公式是什么？

F = G × m₁ × m₂ / r²。G 是万有引力常数 6.6743 × 10⁻¹¹ N·m²/kg²，两个 m 是以千克计的质量，r 是以米计的质心距离。两个 70 公斤的人相隔一米：6.6743 × 10⁻¹¹ × 4900 ÷ 1 = 3.270 × 10⁻⁷ N。分母上的 r² 就是『平方反比』这四个字的来历：把两个物体拉开到两倍远，力掉到四分之一，不是掉到一半。

为什么两个人之间的万有引力这么小？

因为 G 本身就小：6.6743 × 10⁻¹¹，比 1 小了十一个数量级。能往反方向使劲的只有质量，而各 70 公斤算不上多少质量。把同一个式子里的质量换成一个行星，指数立刻翻过来：地球与月球之间是 1.98 × 10²⁰ N。这两种场合之间定律没有任何区别——引力就是弱，要一个行星那么多的物质才能让它看起来不像，所以把太阳系按在一起的那个力和拉不动两个人的那个力是同一个力。

r 是两个表面之间的距离还是两个质心之间的距离？

永远是质心之间。一个人站在地球上，r 是地球半径 6371 公里，不是零。离地 400 公里的卫星，r 是 6771 公里而不是 400 公里——高度是相对于表面的，必须先加上半径。这是把答案算错最常见的一条路，而错得有多大值得看清：把 400 公里这个高度填进要半径的那一格，力会大出约二百九十倍；就算反过来把高度整个忘了、只按 6371 公里算，也还大约百分之十二。

表面重力是什么，这一页是怎么算出来的？

表面重力是天体给站在它表面上的东西的加速度，g = GM/R²，也就是把万有引力式子里的第二个质量取 1、把 r 换成天体自己的半径。页面那张表对八颗天体做的就是这件事：月球 1.62 m/s²、地球 9.82 m/s²、太阳 274 m/s²。这个数决定了您在那里会有多重——同样一个人在地球上需要 687 N 的支持力，在月球上只要 113 N，而在太阳表面要一万九千牛，所以『能不能落到太阳上』这个问题在温度被提出来之前就已经有答案了。

这个计算有多准？

大约四位有效数字，而卡住它的是常数、不是算术。G 是全部物理常数里测得最不准的一个：推荐值 6.67430，末两位带 ±15 的不确定度，也就是相对不确定度 2.2 × 10⁻⁵，比第二不准的那个常数还差四个数量级以上。所以 1.980 × 10²⁰ N 应当读作 1.98 × 10²⁰ N，把质量填到十位也不会多出第五位有效数字。而通常更松的那一头是输入本身——地球质量只准到大约十万分之一，页面用的又是平均半径，不是您所在纬度上的那个半径。

质量大的那个拉得更用力，还是两个力一样大？

一样大。两个质量在式子里是相乘的，所以您对地球的力与地球对您的力是同一个 687 N、方向相反——不存在『地球拉得更用力』这回事。不同的是这个力做出来的效果：687 N 让您以 9.82 m/s² 加速，而让地球以 1.15 × 10⁻²² m/s² 加速，所以是您掉下去、行星纹丝不动。同样的道理也是这一页只需要一个距离、一个答案，而不是一对力的原因。

• GB/T 3102.3-1993《力学的量和单位》（等效采用 ISO 31-3:1992；质量为 kg、长度为 m、力为 N——这一页三个输入与两个输出的单位口径，以及 g 作为标准重力加速度的定义值 9.80665 m/s²） — 国家市场监督管理总局 国家标准全文公开系统
• Newton's Universal Law of Gravitation（College Physics 2e §6.5，英文原文）——平方反比律、G 的取值，以及卡文迪什实验 — OpenStax