期望值计算器

期望值 E[X] = Σ pᵢ xᵢ · 方差 Var(X) = Σ pᵢ (xᵢ − E[X])² · 标准差 σ = √Var(X)

xᵢ

其中第 i 个结果的取值。它可以是负数，也可以是小数；这一串数用分号、逗号或空格隔开，最多 200 个

pᵢ

那个结果对应的概率，按百分数填，从 0 到 100。两串数按位置一一对应，所以第三个概率属于第三个结果，而且两串必须一样长

E[X]

期望值：每个结果乘上它自己的概率，再把乘积加起来。这就是面板最先印出的那个加权平均，也是另外两行拿来当基准的数

Var(X)

方差：每个结果先与期望值相减、再平方，然后按那个结果自己的概率加权。取平方正是为什么一个偏得很远的结果能主导整个方差

σ

标准差，也就是方差的平方根。它回到与结果本身相同的单位，所以想知道离散程度有多宽时读的是它

Σ

把所有结果加起来。没有哪一项被重复加权，也没有哪一项被丢掉——概率合计 100% 正是「这串数把可能性说全了」的意思

凡是结果少到可以列出来、每个结果又说得上一个概率的场合都用得上：一张赔付表、一份固定保费换已知比例赔付的保修、三种情景下的一个决定。如果手里的数是一批观测值而不是一批可能性，要的是平均数而不是期望值——平均数按条数除，等于假定每个值等可能出现，而这一页做的正是把那条假定换成你给的概率。如果结果的形态能用公式描述，就该换用分布：固定次数里成功几次的均值由二项分布给出，泊松计数的均值等于它的方差，都不必把每个取值和它的概率逐条打出来。这些数都只在「长期」这个框架里成立：期望值是大量重复之后平均值的收敛目标，不是对下一次的预测。

1. 五个结果、概率不均

   1. 把每个结果乘上它对应的概率（按小数）：5 × 0.10 = 0.5，10 × 0.20 = 2，20 × 0.30 = 6，40 × 0.25 = 10，100 × 0.15 = 15
   2. 五个乘积相加：0.5 + 2 + 6 + 10 + 15 = 33.5，这就是期望值
   3. 算方差时每个结果先减去 33.5、再平方、再按概率加权：0.10 × 812.25 + 0.20 × 552.25 + 0.30 × 182.25 + 0.25 × 42.25 + 0.15 × 4422.25 = 920.25
   4. 920.25 开平方得 30.3356，即标准差

   概率按百分数填，这是这一页最容易出错的一处：把 10 当成分数而不是百分之十，算出来是 3.35 而不是 33.5，而那个错误的答案看不出任何不对劲。离散程度也值得再读一眼——标准差 30.34 与期望值 33.5 几乎一样大，说明那个只有 15% 的 100 在做大部分的事；方差 920.25 说的是同一件事，只是换成了平方单位。

2. 公平骰子：答案是掷不出来的那一面

   1. 六个结果各 16.67%——最后一个是 16.65%，好让六个数正好加到 100
   2. 每个乘积依次是 1 × 0.1667 到 6 × 0.1667，加在一起得 3.4995
   3. 方差是各结果与 3.4995 的差的平方的平均，算下来是 2.916
   4. 2.916 开平方得 1.7076

   当期望值看起来不可能时，要想起的就是这一格：六面骰子的正确答案是 3.5，而没有任何一面是 3.5。期望值描述的是整个分布，不是某一次投掷的预测。这一格也是标准差最能说明自己价值的地方——1.7076 的单位是点数，与结果本身一样，所以「平均会落在离 3.5 大约 1.7 的位置」是一句可以拿去做判断的话，而方差 2.916 的单位是点数的平方。

3. 一笔保险赔付，以及负的期望值

   1. 两个结果：什么都没发生，或者发生了并且要付出 5000——后者写成 −5000
   2. 加权：0 × 0.97 + (−5000) × 0.03 = −150
   3. 方差是 0.97 × (0 + 150)² + 0.03 × (−5000 + 150)² = 727,500
   4. 它的平方根是 852.9361

   负的期望值不是错误，也不是应该回避这个计算的理由——它是对一个真实问题的回答，而且是人们来这里问得最多的那一个：如果这件事有 3% 的概率造成 5000 的损失，那么平均每期要付 150，任何高于 150 的保费就是在买「不自己扛这个风险」。也要留意标准差 852.94 单独看几乎没有信息量：它被同一个 3% 的分支主导，说的其实只是这笔损失又大又少见，而不是结果有多分散。

4. 加权平均不等于普通平均

   1. 四个结果相加是 160，所以它们的普通平均是 40
   2. 按概率加权：10 × 0.40 + 20 × 0.30 + 30 × 0.20 + 100 × 0.10 = 4 + 6 + 6 + 10 = 26
   3. 方差是 0.40 × 256 + 0.30 × 36 + 0.20 × 16 + 0.10 × 5476 = 664
   4. 它的平方根是 25.7682

   两个数差了三分之一以上，差别全在概率上：大的那个 100 只占 10% 的权重，而小的 10 与 20 合起来占了 70%。凡是有人给出一个平均值却没说它是不是加权的时候，藏在这个词背后的就是这个差距。这一格也说明了概率填 0 是有意义的一项而不是空着：那个结果仍然占着它在串里的位置，只是不贡献任何东西——这正是「不可能」与「没被问到」的区别。

这一页有三处容易误读，而三处都在输入上，不在算术上。概率必须合计 100%，而页面拒绝替你补上这个差：把 40/50 悄悄缩放成 44.4/55.6 会得到一个看起来完全正常的数，而它回答的是你没问的那个问题。容差是每条半个末位小数，所以三个等份写成 33.33 各一份（合计 99.99）是接受的，而 40/50 不是。两串数必须一样长，因为两串是按位置并排读的——少一个概率不是 0，而是错位，页面会直接指出来，而不是悄悄把对不上的两个数配在一起。输入之外，这个答案本身的适用范围也有限。期望值描述的是大量重复，所以它对单独一次几乎说明不了什么；它还可能被一个罕见但极端的结果主导，而单看那一个数是看不出来的——要读它旁边的标准差或方差。它还假定你填的概率就是真实的概率：这一页做的是对你给的那组数做算术，建立在一个猜来的概率上的精确期望值，是对另一个问题的精确回答。最后，这一页没有常见期望值的对照表，因为这样的表看不到你填的结果与概率，而一张与上面面板互相矛盾的表，比不放表更糟。

期望值到底说明了什么？

它说明的是：把同一件事重复很多次、再把结果平均起来会得到什么，其中每个结果按它出现的比例计入。对一张赔付表来说它就是盈亏平衡价：一次 −150 的期望值意味着 150 是公平的参与价，低于这个价对你有利。它不说明的是下一次会发生什么。一次只可能产生串里的某一个结果，永远不会产生那个平均值，所以正的期望值与你连玩几把把把都输完全不矛盾。

期望值可以是根本不会出现的数吗？

可以，而且通常都是。公平骰子六个面各 16.67%，期望值是 3.5，而骰子上没有 3.5 这一面。原因是期望值是整串数的加权平均，它不在串里：它是这个分布的平衡点，而平衡点可以落在两个砝码之间的空处。彩票也是一样——期望值是一个很小的负数，而没有任何一张彩票能产生这个数。

为什么概率必须合计 100%？

因为描述同一组可能性的两串数必须把它们说全。概率只加到 90%，要么是串里漏了一个结果，要么是某一个概率填错了，而页面没有办法分辨是哪一种，所以它把合计报出来而不是猜。它也故意不替你把数缩放到 100%：把 40 与 50 按它们的和除一下会变成 44.4 与 55.6，算出来的是你没问的那个问题的答案，而面板上没有任何地方显示这件事发生过。容差是每条半个末位小数，所以三个等份写成 33.33 各一份合计 99.99，是接受的。

这和普通平均数有什么区别？

普通平均数按条数除，等于假定每个值出现的可能性一样。期望值把这条假定换成你给的概率，所以一个只有 10% 概率的取值，拉动结果的力度只有 100% 那一个的十分之一。两者只在概率全相等时给出同一个数——四个结果各 25% 时两种算法结果相同。它们不一致时，差别全在权重上，这也是为什么一个没说清是不是加权的平均值值得再追问一句。

负的期望值意味着什么？

意味着亏损那一侧的结果，要么足够大、要么足够常见，压过了其余的部分，所以重复做这个决定平均下来是亏的。它不等于「你会亏」：97% 什么都不发生、3% 亏 5000 的期望值是 −150，而大多数期根本不花钱。这个负数真正说明的是这个风险平均要花多少钱，而那个数正是拿来与保费、报价或保险方案比较的。这是这个计算最常派上用场的地方，在这里得到一个负数是一个结果，不是一次失败。

为什么这一页没有一张常见期望值的表？

因为这个答案完全取决于你打进去的那两串数，而固定的表看不到它们。人们想要的表是一小串熟悉的例子——一颗骰子、一张彩票、一注轮盘——但每一个都有它自己的结果与概率，所以印在纸上的一行回答的是与面板不同的问题，而两者有时会在大庭广众之下给出不同的数。面板就是那张表：改结果与概率，同样三行重新算一遍。真正需要固定表的，是那些表与输入无关的页面，比如一条分级界线或一套分档区间。

• GB/T 3358.1-2009《统计学词汇及符号 第1部分：一般统计术语与用于概率的术语》（推荐性国家标准，现行：2009-10-15 发布 / 2010-02-01 实施，采标；该站注明因涉及国际版权不提供在线阅读，全文需另寻） — 国家市场监督管理总局 国家标准全文公开系统
• Measures of the Center of the Data — Introductory Statistics 2e, section 2.5（英文原版；平均数是一串取值的平衡点，以及一个极端值能把它推出去多远——期望值可以离串里每一个结果都很远，原因就在这里） — OpenStax（莱斯大学）
• Measures of the Spread of the Data — Introductory Statistics 2e, section 2.7（英文原版；方差是离差平方的平均——本页把这个「平均」换成按概率加权） — OpenStax（莱斯大学）
• 1.3.6.1. What is a Probability Distribution — e-Handbook of Statistical Methods（英文原版；概率分布说的是每个取值各占多少份，期望值就是按这些份数取的加权平均） — 美国国家标准与技术研究院（NIST）