泊松分布计算器

P(X = k) = e^(−λ) · λ^k / k! 其中 λ = 事件速率 × 区间长度，且 Var(X) = λ

λ

区间内期望发生的事件次数——速率乘以窗口的长度，也是这个分布唯一的参数。这一页上的每个数都是它的函数，所以速率与区间长度是分开问的，而不是合成一个数来填

k

你要问的事件次数。它是从 0 开始的整数，而 0 是一个真实答案而不是空答案：只要 λ 大约低于 0.7，「一次都没发生」就是最可能的结果

e^(−λ)

「什么都没发生」的权重，在把次数算进去之前。它正是整个分布随着 λ 变大而收缩的原因：期望次数越大，一次都见不到的概率越小

λ^k / k!

随 k 先增大再回落的那一部分：平均值的 k 次方除以次数的阶乘。它的峰值落在 k = λ 处，而那个峰值就是分布最集中的地方

均值 = 方差 = λ

让这个分布好认的那条性质。计数的均值与方差是同一个数，所以标准差就是均值的平方根——均值 4 次对应 √4 = 2，均值 1000 次对应 √1000 ≈ 31.6

在一个区间内数「来了多少次」、而且各次到达彼此独立的时候用它：一小时里接到多少通电话、一平方米织物上有多少个疵点、固定计数窗口里有多少个粒子。有两个条件分量最重。事件相对于它的机会必须足够稀有——速率高到计数其实被别的东西卡住了，那就不再是泊松；而且它们不能扎堆，因为同一个原因带来的一串到达会破坏独立性，而独立性正是这个分布形状的来源。机会次数固定且可数时改用二项分布：泊松计数没有上界，二项计数不可能超过试验次数。λ 变大以后可以改用正态近似，那时两者已经很接近，而那套熟悉的标准差区间也更好读。均值等于方差还是最快的诊断方式：把一组计数的方差除以它的均值，比值离 1 很远就说明这个过程的离散程度偏大或偏小，这个模型对它是错的形状。

1. 每小时 4 次，问发生 3 次的概率

   1. 速率是每小时 4 次、区间是 1 小时，所以 λ = 4
   2. P(X = 3) = e⁻⁴ × 4³ / 3! = 0.018316 × 64 / 6 = 0.1954，也就是 19.54%
   3. 把 0 到 3 次累加起来是至多 43.35%；3 次以上的那一部分给出至少 76.19%
   4. 均值是 λ = 4，方差也是 4，所以标准差是 √4 = 2

   两行累计在这里是重叠的，而这不是错误：43.35% 加 76.19% 等于 119.54%，超出 100% 的那部分正好就是「恰好 3 次」的 19.54%，它同时落在两行里。这与二项计数那里是同一个陷阱，它也拦住了那个常见错误——把至少算成 1 减至多，那会得到 56.65%。另外注意，在平均 4 次的情况下出现 3 次毫不稀奇：它比均值低半个标准差。

2. 分布的正中央

   1. 这次问 4 次而不是 3 次：P(X = 4) = e⁻⁴ × 4⁴ / 4! = 0.018316 × 256 / 24 = 0.1954
   2. 恰好 4 次的概率与恰好 3 次完全相同（都是 19.54%），因为分布的峰值落在 k = 4 = λ 上，峰值两侧的这两个计数一样可能
   3. 至多 4 次是 62.88%，至少 4 次是 56.65%
   4. 均值、方差与标准差没有变，因为它们只取决于 λ

   两个计数概率相同，是「分布以 λ 为中心」最直观的迹象：平均 4 次的情况下，见到 3 次与见到 4 次一样可能，而其他任何次数都更低。即使在这里，两行累计也不对称——62.88% 对 56.65%——因为至多那一行把整个 k = 4 都算了进去，至少那一行同样把它算了进去，而峰值以下的分布比峰值以上更薄。

3. 同样的速率，区间拉到 3 小时

   1. 速率仍然是每小时 4 次，但区间变成 3 小时，所以 λ = 4 × 3 = 12
   2. P(X = 3) = e⁻¹² × 12³ / 3! = 0.0000061 × 1728 / 6 = 0.0018，也就是 0.18%
   3. 至多 3 次是 0.23%，至少 3 次是 99.95%
   4. 均值是 12、方差也是 12，所以标准差是 √12 = 3.46

   这一格把两个输入框分开了：除了窗口的长度什么都没变，答案却从 19.54% 变成 0.18%。两个字段都必须填，因为参数是它们的乘积，而一个只接收速率的页面会给一小时和一天给出同一个答案。汇总量那一行也跟着动——期望 12 次的时候，3 次已经比均值低两个标准差以上，这就是为什么至少那一行现在几乎是必然事件。

4. 每小时 1 次，什么都不发生

   1. λ = 1 时，恰好 0 次的概率是 e⁻¹ = 0.3679，也就是 36.79%
   2. 问「至多 0 次」等于问同一件事，所以那一行印出同一个数
   3. 「至少 0 次」覆盖了所有可能的次数，所以它正好是 100%，不是 99.99%
   4. 均值与方差都是 1，标准差也是 1

   λ 等于 1 是教科书的起点，而它给出这一页上最反直觉的一个数：一个平均每小时发生一次的过程，有超过三分之一的时间一次都不发生。至少那一行也值得读——它正好是 100%，因为「0 次或更多」就是整个分布，而一个用累计和相减来算它的实现很容易返回 99.99%。问「0 次」也是一个正当的问题，这正是计数那一格从 0 开始而不是从 1 开始的原因。

泊松模型建立在两条会安静失效的前提上，而在相信这些数字之前两条都值得检查。各次事件必须彼此独立，而且在你指定的区间之内速率不能漂移。当几次到达共有同一个原因时独立性就失效了——故障期间来电暴涨、疵点扎堆出现在同一卷织物上、恶劣天气里事故集中——症状是真实计数比这一页预测的更分散，空区间与特别忙的区间都比模型允许的更多。速率漂移则以另一种方式失效：夜里清闲、早上繁忙的呼叫中心并没有一个「每小时速率」，把两者平均会得到一个两个时段都不描述的数。前提之外，还有两条限制是被拦住而不是被解释掉的。区间长度与速率各自可以填到合理的范围，但它们的乘积有上限，因为均值到了几百万次时面板上每个概率都会四舍五入成 0，页面宁可拒绝也不印一整屏的 0。次数本身必须是整数。这一页也没有泊松概率的参考表：人们想要的那种表是均值每个取值一行的表，而这里的均值取决于你填的速率与区间，所以印出来的表回答的是与上面面板不同的问题。

泊松分布与二项分布有什么区别？

二项分布在固定的试验次数里数成功次数，所以计数不可能超过试验次数；泊松分布数的是自己到达的事件，所以没有上界，也没有可填的试验次数。二项分布要两个输入——多少次试验、每次的概率是多少——而这一页要的是一个速率与一个区间长度，两者乘起来才是那个期望次数。两者在「试验次数很大、每次概率很小」这个狭窄的情形里一致，这也是为什么稀有事件在实践中两种说法都用。能点名机会次数时用二项分布，事件只是自己到来时用泊松分布。

为什么这里的均值等于方差？

因为这条恒等式是模型的立身之本，不是这些例子凑巧：泊松计数的均值与方差是同一个数 λ，所以标准差永远是均值的平方根。它给了一个快速检验模型是否合适的方法：取一组实际计数，把它们的方差除以它们的均值，比值远大于 1 说明这些计数是扎堆出现的而不是彼此独立的，远小于 1 说明它们比随机该有的样子更均匀。这两种情况都不是靠换几个输入能修好的——它说明这个过程不是泊松过程。

为什么「至多 k 次」与「至少 k 次」不是互补的？

因为两行都把「恰好 k 次」算了进去，相加等于把这个结果数了两遍。拿上面那个例子：至多 3 次是 43.35%，至少 3 次是 76.19%，合计 119.54%——超出 100% 的部分正好是恰好 3 次的 19.54%。这与二项计数是同一套算术、也是同一个陷阱：把「至少」读成 1 减「至多」，误差正好是你问的那个概率。要真正的互补项，用「至多 k − 1 次」，或者把三行放在一起读，检查恰好 k 次正好填满两行之间的缝。

什么样的计数才真的是泊松计数？

当各次事件彼此独立、速率在区间内平稳、而且事件相对于发生它的机会足够稀有的时候。独立性是真正在起作用的那条前提，也是最常失效的一条，因为扎堆从汇总数字上很难看出来：一家工厂每个月报出的疵点总数都一样，中间仍可能有好日子与坏日子，而那种扎堆会表现为计数比这一页预测的更分散。实用的检查就是上一个回答里的那个办法——把一组计数的方差与它们的均值比一比。两者接近，模型描述得不错；差得远，换哪个速率都修不好。

速率为零的时候会怎样？

区间内不可能发生任何事件，所以「0 次」的概率是 100%，其他每一次的概率都是 0%。页面会把这个结果报出来而不是失败：速率为 0 或区间长度为 0 都会得到 λ = 0、期望发生 0 次，问「一次或更多」返回 0%，问「一次都没有」返回 100%。值得知道这件事是被显式处理过的，因为公式照字面写出来含有「0 的 k 次方」这样的因子的负数无穷的对数，一个直接照算的实现会得到一个没有意义的结果，而不是这个显而易见的答案。

为什么这一页没有泊松概率表？

因为那样一张表的每一行都属于不同的均值，而这里的均值是你填的两个数相乘得到的。印出来的一张表只会对某一个速率与某一个区间成立、对其他所有组合都是错的，于是它回答的是与面板不同的问题——两者矛盾时，正确的那一个是面板。面板就是那张表：三行概率正是你指定的那个均值下的恰好、至多与至少，改速率或改区间都会重算。参考表在那些行与输入无关的页面上才立得住，比如一套分级标准或一组分档区间。

• GB/T 3358.1-2009《统计学词汇及符号 第1部分：一般统计术语与用于概率的术语》（推荐性国家标准，现行：2009-10-15 发布 / 2010-02-01 实施，采标；该站注明因涉及国际版权不提供在线阅读，全文需另寻） — 国家市场监督管理总局 国家标准全文公开系统
• GB/T 4086.5-2025《数据分析与决策 统计分布数值表 第5部分：二项分布》（推荐性国家标准，现行：2025-10-05 发布 / 实施；用来对照这一页丢掉的那条前提——次数固定、每次成功概率恒定的模型，正是泊松计数所没有的约束） — 国家市场监督管理总局 国家标准全文公开系统
• Normal Distribution — NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.6.6.1（英文原版；密度、均值与标准差各自的作用，以及均值大起来之后泊松计数趋近的那个参照分布） — 美国国家标准与技术研究院（NIST）
• 1.3.6.1. What is a Probability Distribution — e-Handbook of Statistical Methods（英文原版；一个计数「有分布」是什么意思，以及概率是怎么从它分配给各个取值的份数上读出来的） — 美国国家标准与技术研究院（NIST）