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CalcMax

正态分布计算器

结果

1.00

Z 分数

低于这个值的概率
84.13%
高于这个值的概率
15.87%
落在均值两侧这个距离内的概率
68.27%

正态分布计算器收一个数值、它所属分布的均值与标准差，然后告诉你：把这个分布的离散程度折算掉之后，这个数值离均值有多远。这个距离用标准差作单位，就是 Z 分数；与它一起给出的还有三个概率——低于这个数值的比例、高于它的比例，以及落在均值两侧同样距离之内的比例。之所以要先换算，是因为换算之后一个数就能通用于任何一条正态曲线：Z 分数为 1 在标准差 15 分的考试成绩里和在被测到百分之一毫米的零件尺寸里说的是同一件事。高于均值的数值 Z 分数为正，低于均值的为负，而两条尾部永远是彼此的镜像。

正态曲线落在均值一个、两个、三个标准差之内的比例

区间占比（%）
±1σ（|z| ≤ 1）68.27
±2σ（|z| ≤ 2）95.45
±3σ（|z| ≤ 3）99.73

这三个占比是用计算器同一个累积函数现算的，所以结果面板上的分级与这张表不可能互相矛盾——它们是同一个数在不同距离上的取值。引用之前有两点提醒。第一，它们是正态分布的性质，不是你的数据的性质：偏斜或长尾的分布落在第三档之外的比例会超过 0.3%，而这张表对此毫无提醒能力。第二，每一行是累计而不是切段，所以三行加起来不是 100%——第二行已经包含第一行，第三行之外剩下的才是那 0.27%。这就是把经验法则从「曲线下的面积」改写成「离均值的距离」，两者是同一句话。

公式

z = (value − mean) / standardDeviation → below = Φ(z)，above = 1 − Φ(z)，within = 2Φ(|z|) − 1

value
你要问的那个测量值——是一次观测，不是若干次的平均值。它是拿来跟所在分布的均值与标准差比的
mean
正态分布的中心，写作 μ。面板上每一个概率都是相对它说的，所以均值为 0、标准差为 1 时，数值本身就是 Z 分数
standardDeviation
分布的离散程度，写作 σ，必须大于 0。它是量距离用的单位，也正是「一张 Z 表能服务任意大小的分布」的原因
z
这个数值离均值有几个标准差。高于均值为正、低于均值为负，数值正好等于均值时为 0
Φ
标准正态分布的累积分布函数：曲线在某个 z 左侧所占的比例。它没有初等闭式，所以是算出来的，不是查表抄来的

关心的是「位置」而不是那个原始数字时用它：一次测量对产生它的工艺来说算不算少见、总体里有多大比例高于某个门槛、或者居中的工艺能覆盖规格窗口的多少。它也是使用正态表的常规入口——先化成 Z 分数，一张表才能适用于所有分布。如果只关心 Z 分数本身、不需要那三个概率，用隔壁的 Z 分数计算器；需要面积的时候用这一页，因为 Z 分数只说了这个值离得多远，没说同样远的曲线有多少。

算例

  1. 高于均值一个标准差

    1. 先减均值：115 − 100 = 15
    2. 再除以标准差：15 / 15 = 1，所以 Z 分数是 1
    3. 标准正态曲线在 z = 1 左侧约占 84.13%，所以右侧留 15.87%
    4. 两侧各一个标准差之内约占 68.27%；两个单侧的数就是两端各自剩下的那部分

    三个数是同一件事的三种说法，而中间那个最容易被读错：低于 84.13% 意味着「高于均值一个标准差」已经盖过约六分之五的分布，可它上面仍然有 15.87%。另外注意「之间」不是两个单侧概率之和——它只算中间那一段，所以数值靠近均值时它是三个数里最小的，随着数值移向尾部才逐渐逼近 100%。

  2. 数值正好等于均值

    1. 先减均值：100 − 100 = 0
    2. 除以任何正的标准差仍然是 0，所以 Z 分数是 0
    3. 正态曲线左右对称，恰好一半在均值左侧、一半在右侧
    4. 宽度为 0 的区间里不含任何比例，所以「之间」是 0%

    「之间」这里的 0% 不是一个很小数被舍掉，它是精确的：这是唯一一种区间宽度真的等于零的情形。所以这条算例也是检验区间方向最干净的一格——「之间」量的是往两侧各出去多远，在均值处一步都没有。它同时展示了面板其余部分依赖的那个对称性，因为两个单侧概率正好对半分。

  3. 远在上面尾部的数值

    1. 先减均值：200 − 100 = 100
    2. 再除以标准差：100 / 15 ≈ 6.67，即高于均值 6.67 个标准差
    3. 高于 z = 6.67 的比例约为 1.3 × 10⁻¹¹，也就是百亿分之几
    4. 这个比例保留两位小数就是 0.00%，而低于它的比例是 100.00%

    上面那个 0.00% 是这一页唯一一个「看着像 bug、其实不是」的数：真值约百亿分之 1.3，两位小数的百分比印不出来。由此有两件事要记住。第一，0.00% 要读成「比显示精度更小」，不是「不可能」。第二，面板掌握的信息比印出来的位数多——尾部是单独算的，正是为了让这一格给出干净的 0，而不是「拿下尾相减」会得到的 0.01 或 0.02。也顺便注意「之间」这时已经是 100%：一个往两侧各伸出 6.67 个标准差的区间，基本把整条曲线都盖住了。

  4. 低于均值一个标准差

    1. 先减均值：85 − 100 = −15
    2. 再除以标准差：−15 / 15 = −1，Z 分数为负
    3. 低于 z = −1 的比例约 15.87%，高于它的约 84.13%
    4. 一个标准差之内的区间仍是 68.27%，与 z = +1 时完全相同，因为区间是对称的

    和第一条算例对照着看，是看清符号「做了什么、又没做什么」最快的办法：两个单侧概率互换，而「之间」纹丝不动。原因是「之间」量的是离均值两侧的距离，它分不出数值在哪一侧——问「分布有多少贴近中心」时这正是你要的，也正是面板除了区间还要印两个单侧数的原因。

局限

这里的每一个数都是正态分布的性质，不是你的数据的性质。任何一组数都能算 Z 分数，但上面那些概率只有在分布真的是正态时才成立——长尾或偏斜的分布里，远处的值比正态曲线说的更常见，而尾部估计是最先失守的地方。有了均值与标准差并不等于分布就是正态的，这两者也给不出「是不是」的判断。另外两点要提醒：极小的概率在两位小数下印不出来，所以远在尾部的数值会显示 0.00%，而真值是一个很小的正数；以及，这里把输入的数值当作一次观测、对照一个已知的均值与离散程度，所以没有计入均值或标准差本身的不确定性——当它们是从小样本估出来的时候，这一点是有影响的。

常见问题

既然已经有概率了，Z 分数还有什么用？
四个数里只有它能在不同分布之间通用。概率绑定在你输入的那条曲线上，而 Z 分数为 1 在任何一条正态分布里都表示同样的「离中心多远」——标准差 15 分的考试成绩、以百分之一毫米计的零件尺寸、或者任意单位的测量都一样。这正是同一张 Z 表能到处用的原因：先化成 Z 分数，再从标准曲线上读面积。
数值很大时，为什么「高于」显示 0.00%？
因为两位小数的百分比印不出那个数有多小。高于均值 6.67 个标准差的数值，上面只剩约 1.3 × 10⁻¹¹ 的比例，差不多是百亿分之几——那是一个真实存在的正数，只是远低于显示的精度。0.00% 要读成「比这个显示精度更小」，不是「不可能」。面板把这条尾部单独算，而不是用「下尾相减」得出来，所以它给的是干净的 0，而不是相减会留下的那个小小的非零值。
这和经验法则是一回事吗？
是，这一页下面那张表就是经验法则改写成「距离」的样子。经验法则说的是：正态分布约 68% 落在一个标准差之内、约 95% 落在两个之内、约 99.7% 落在三个之内；把每一个换成离中心的距离，就是表里那三行。有一处差别值得留意：经验法则通常直接给三个约数，而这里的占比是用计算器同一个累积函数算出来的，所以恰好落在边界上的数值，面板与表给的是同一个答案。
标准差填 0 会怎样？
会被拒绝，而不是给一个答案。除以 0 不是「概率恰好等于 1」，它描述的是一种完全没有离散程度的分布：每次观测都等于均值，「离中心多远」这个概念本身就不成立了。所以面板给的是错误提示，而不是一个看起来合理的 0% 或 100%。标准差为负同样拒绝：标准差是一个距离，不可能为负，而悄悄取绝对值会把数据里的错误盖掉。
数据不是正态分布，能用这一页吗？
Z 分数可以算：任何一组数据都有均值与标准差。需要假设的是那三个概率——它们是正态曲线下的面积，偏斜或长尾的分布对不上。这种对不上首先出现在尾部：远距离之外的真实比例通常比正态曲线声称的更大，所以「三个标准差之外只有 0.3%」要当成正态模型的性质，而不是对你手上这批测量的承诺。
为什么这里的数值按「一次观测」处理，而不是样本均值？
因为三个概率本来就是「一次观测」的量：分布里低于、高于、以及围绕这个数值两侧的比例。拿样本均值对照同一个均值与离散程度是另一套算法，需要的是均值的标准误而不是单个观测的标准差——两者差一个样本量平方根，把其中一个当成另一个用，会得到一个看起来合理、实际是错的答案。如果这里的数值本身就是平均值，请把标准误填进标准差那一栏。

参考资料

相关计算器

Z 分数计算器按数值、均值与标准差算 Z 分数。经验法则计算器算正态分布均值周围 68-95-99.7 的区间。标准差计算器算样本与总体标准差、方差与均值。二项分布计算器算二项分布的概率、均值与方差。