二项分布计算器

P(X = k) = C(n, k) · p^k · (1 − p)^(n − k)，其中 C(n, k) = n! / (k! (n − k)!)

n

试验次数，最多 1000 次——同一个是非事件被独立重复的次数。这个上限是性能约束不是数学约束：二项分布在远大于它的 n 上完全有定义，但这一页要算的组合数随 n 增长，而一个卡住的页面比一个明确拒绝的页面糟得多

k

你要问的成功次数。它不能超过 n——成功次数比试验次数还多不是「罕见结果」，而是一个做不到的请求

p

单次试验的成功概率，按 0 到 100 的百分数填。每次试验都一样，这正是各次试验可交换、成功次数服从二项分布的前提

C(n, k)

二项系数：k 次成功在 n 次试验里有多少种排法。中间的次数之所以最常见，就是因为它——靠近中间的次数能排出的花样远多于极端的次数

p^k · (1 − p)^(n − k)

某一种具体排法的概率（k 次成功、n − k 次失败）。乘上排法数，就把「那一种排法」变成了「随便哪一种排法」

np

成功次数的均值。方差是 np(1 − p)，标准差是它的平方根——面板最后三行给的就是这三个数

面对「数次数」而不是「量数值」的问题时用它：20 个元件里有几个通过检验、12 次罚球能进几个、抛 10 次里至少出现 8 次正面有多大可能。实际动手时优先看那两行累计数，因为目标几乎总是一个门槛——过质检要「至少 k 个」，控预算要「至多 k 个」——而从「恰好」那一行读门槛，就得自己把若干个次数加起来。换别的工具的时机：试验次数事先不固定、每次成功概率在变、或者各次试验互相影响；最后这一种是实践中把前提打破得最多的。

1. 10 次试验，成功 3 次，每次成功的概率 50%

   1. 把 3 次成功放进 10 次试验里，共有 C(10, 3) = 120 种排法
   2. 某一种排法的概率是 0.5³ × 0.5⁷ = 1/1024
   3. 120 / 1024 = 0.1171875，所以恰好成功 3 次的概率是 11.72%
   4. 把 0 到 3 次的概率加起来得至多 17.19%；均值是 np = 10 × 0.5 = 5

   这条算例的重点是两个累计数之间的那道缝：至多 17.19%、至少 94.53%，两者之间空出来的 11.72% 正是「恰好 3 次」——也就是你填进来的那个次数。这道缝也就是「至少 = 100% 减至多」这个常见错误会露馅的地方，那样算出来是 82.81%。均值为 5、标准差 1.58 还顺带说明 3 次这一结果在这个设置下并不稀奇：它只比平均数低了一个出头的标准差。

2. 20 次试验，每次成功的概率 25%

   1. 均值是 np = 20 × 0.25 = 5 次成功
   2. 方差是 np(1 − p) = 20 × 0.25 × 0.75 = 3.75，开方约为 1.94
   3. 恰好成功 4 次的概率是 18.97%，是这里最可能出现的单个次数
   4. 至多 4 次是 41.48%，至少 4 次是 77.48%

   成功 4 次既靠近均值、又是单个最可能的次数，这就解释了两个累计数为何如此不对称：整个分布有 41.48% 落在「最可能的那个次数」或它以下。这种不对称是普遍现象，值得记住——p 偏小的时候分布拖着一条长长的上尾，所以任何不超过均值的次数，「至多这么多次」的概率都比直觉更大。汇总量那三行正是让你不必逐项相加就能看出这一点的东西：均值 5、标准差 1.94，4 次完全落在常见范围里。

3. 100 次试验，一次都没成功，每次成功的概率 2%

   1. k = 0 时只有一种排法——一次成功都没有，所以 C(100, 0) = 1
   2. 它的概率是 0.98¹⁰⁰ ≈ 0.1326，也就是一次都不成功占 13.26%
   3. 「至多 0 次」与「恰好 0 次」是同一个事件，所以那一行与它完全相同
   4. 「至少 0 次」包含所有可能的结果，所以是 100%

   这条算例钉的是「至少」那一行。至少成功 0 次不是一个没有信息的边界，而是一件必然的事——任何结果的成功次数都 ≥ 0——所以 100% 是正确答案，不是占位符。三行连起来读，那个 off-by-one 就露出来了：至多 13.26% 加上至少 100% 超过了 100%，因为「恰好 0 次」被两边都算进去了，而重叠的部分正好是那 13.26%。算例的另一半在均值上：一百次里期望成功两次听起来很稳，可一次都不成功的概率仍然约为八分之一。

4. 1000 次试验，每次成功的概率 50%

   1. 均值是 1000 × 0.5 = 500 次，方差是 250，所以标准差约为 15.81
   2. 恰好成功 500 次——单个最可能的次数——概率是 2.52%
   3. 至多 500 次是 51.26%，至少 500 次同样是 51.26%，因为 500 正好在中心
   4. 两个累计数在这里相等，这种情况只在均值处出现

   这条算例有两件事值得带走。第一，「最可能的次数」不等于「很可能发生的次数」：500 是分布的顶点，可它也只在一百次里出现两次半左右，因为一千个不同的次数要把概率摊开。第二，两个累计数在 51.26% 上完全相等，这是个好用的自检——均值处分布对称，一旦两者不等，说明这个次数偏离了中心。也顺便注意，这里那个 2.52% 是从位数上百的二项系数算出来的，正是这一页给试验次数设上限、而不是硬撑的原因。

二项模型建立在三条前提上，而其中一条不成立时，数字看起来依然合理、实际却是错的。试验次数必须事先固定、而不是边做边定；每次成功的概率必须相同；各次试验必须彼此独立——第三条在实践中坏得最多，因为来自同一批、同一个人、同一天的试验往往同起同落。成功一旦扎堆，真实的离散程度就比这一页给的更宽。另外两条限制要说清楚。试验次数上限 1000 是性能约束而不是数学约束：模型在远大于它的地方照样成立，但计算量随次数增长，而一个卡住的页面对谁都没用。以及，这一页没有按次数排列的概率表：人们想要的那张表每行对应一个可能的成功次数，它取决于你填的试验次数与概率，而这一页的参考表看不到这些输入——面板上那三行，就是那张表在你选定的次数上的形状。

为什么「至少 k 次」不等于 100% 减「至多 k 次」？

因为这两件事不是互补的。「至多 k 次」是 0 到 k 次，「至少 k 次」是 k 到 n 次，而「恰好 k 次」两边都算——用 100% 去减，正好把这一块漏掉，而它偏偏就是你问的那个概率。想要「至少 k 次」的补集，要看「至多 k − 1 次」那一行；或者把三行连起来读：恰好 k 次永远是另外两行之间的那道缝，这道缝本身就是对三个数的校验。

成功概率可以填 0% 或 100% 吗？

可以，而且两者都是有意义的情形而不是边界怪例。0% 意味着这件事不会发生，成功次数必然是 0；100% 意味着每次都会发生，成功次数必然是 n。面板会如实给出相应的 0% 与 100%。如果某个你预计「小但可能」的次数显示为平整的 0%，先回头看一眼概率那一栏——本来想填 10 却填成 0，得到的正是这个结果。

为什么没有一张列出每个成功次数对应概率的表？

因为那张表取决于你填的试验次数与成功概率，而这一页的参考表看不到这些输入——它是由常数算出来的，硬给一张就是在你的标题下印别人那套设置的数。取而代之的是结果面板上的三行，它们给出那张表在你所问次数上的形状：恰好这么多次、比它少的所有情形、比它多的所有情形。想看完整分布，就改「成功次数」再读一次「恰好」那一行——那些值连起来就是那张表。

均值给了什么概率给不了的信息？

它给出整个分布的位置，而位置是判断一个次数算不算多所需的参照。均值 5 次、标准差 1.58 时，成功 3 次很平常；同样 3 次放在均值 12 的分布里就偏得很远。均值是 np，方差是 np(1 − p)，标准差是它的平方根——这三行汇总量是用「中心与离散程度」描述这个分布，而不是一次只看一个概率。

填的成功次数比试验次数还大会怎样？

会被拒绝，而不是返回 0%。成功次数比试验次数多不是「罕见结果」，它根本不是一个结果，返回 0% 会让人以为模型考虑过它、并把它排除了。面板会给出错误提示；试验次数超过 1000 时同理，那是出于性能而拒绝，不是因为数学在那里失效。

各次试验真的必须相互独立吗？

必须，而这是真实数据里最常被打破的一条。成功一旦扎堆——同一批元件、同一个人在同一天的罚球、同一家诊所的病人——各次试验之间就互相带着信息，成功次数的真实离散程度比二项分布给的更宽。扎堆时均值大致还站得住，标准差与尾部概率则不然，所以三行汇总量里最该先怀疑的就是它们。明知数据会扎堆时，该用的是把额外变异建进模型里的那类方法。

• GB/T 3358.1-2009《统计学词汇及符号 第1部分：一般统计术语与用于概率的术语》（推荐性国家标准，现行：2009-10-15 发布 / 2010-02-01 实施，采标；该站注明因涉及国际版权不提供在线阅读，全文需另寻） — 国家市场监督管理总局 国家标准全文公开系统
• GB/T 4086.5-2025《数据分析与决策 统计分布数值表 第5部分：二项分布》（推荐性国家标准，现行：2025-10-05 发布 / 实施；本页六个输出对应的官方数值表口径） — 国家市场监督管理总局 国家标准全文公开系统
• 1.3.6.6.18. Binomial Distribution — e-Handbook of Statistical Methods（英文原版；二项概率函数、均值 np 与方差 np(1 − p)，以及模型所依赖的前提） — 美国国家标准与技术研究院（NIST）
• 4.3 Binomial Distribution — Introductory Statistics 2e（英文原版；次数固定、相互独立、成功概率恒定这三个条件，以及「至多/至少」用的累计形式） — OpenStax（莱斯大学）